線性代數與理工科專業的聯系

薛艷梅+鄭柏超

摘 要：線性代數是理工科專業的基礎課程之一，但學生對其在專業課中的應用知之甚少。該文分別以線性代數在計算機、密碼學、力學中的應用為例，具體分析線性代數在專業課學習的重要作用，以培養學生學習及應用線性代數的興趣與意識。

關鍵詞：線性代數 計算機 密碼學 力學

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（b）-0220-01

線性代數是高等院校理工科以及經濟管理類學生的必修基礎課，其在開課面之廣、影響和重視程度上僅次于高等數學，它具有較強的邏輯性、抽象性以及廣泛的實用性。通過兩年的線性代數教學工作，我主要有以下體會。

學生普遍反映線性代數較之高等數學更抽象，內容更枯燥，不容易理解，更不清楚學習線性代數的目的。這導致學生失去主動學習的熱情和動力，多數學生純粹為了考試而勉強學習，學了那么多理論，考完試擱置不用，實在很浪費。當然，這也不能全歸責于學生，究其原因，主要有以下兩點：一方面，從教材來考慮，大多線性代數教材均是以理論知識為主，很少列舉一些與實際生活或專業相聯系的例子，也就是太數學化了。另一方面，從教師角度來考慮，講授線性代數的老師大多來自數學專業，數學功底都不錯，但由于一些工程背景、知識面及課時的限制，大多數老師也只是傳授課本上的數學知識，這樣不能很好地引導學生學習的主動性，從而達不到好的教學效果。因此教師首先要拓寬自己的知識面，積極探索總結一些與線性代數相關的應用實例。這樣為不同專業講授本門課程時，可以多列舉一些與其專業相關的例子。例如可以為經濟學專業學生講解一些生產成本投入產出的例子，為信息工程專業學生多講解信息編碼、編程的例子。在計算機廣泛應用的今天，線性代數的理論知識為計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、力學等奠定了很好的基礎。該文主要以線性代數在計算機、密碼學、力學中的應用為例，分析了線性代數在專業知識中的應用，從而讓學生更深入的了解線性代數的應用價值，進一步培養學生學習及應用線性代數的興趣與意識。

1 線性代數在計算機中的應用

高教司曾用“用MATLAB和建模實踐改造工科線性代數”項目的總目標就是推廣線性代數與科學計算的結合，因此將線性代數與計算機計算結合起來是非常有必要的。計算機可以解決線性代數的一些難題而線性代數可以為計算機編程。特別是我們最常用的一種數學軟件——Matlab軟件，該軟件具有強大的數值計算功能。例如把方程的階次提高到3元以上時，計算步驟有可能會十分繁瑣，如果將線性代數的計算應用到計算機里面則會節省很多時間。例如，Wassily Leontief教授把美國經濟用500個變量的500個線性方程組描述，而后又把系統簡化為42個變量的42個線性方程，經過幾個月的編程，并利用當時的計算機運行了56個小時才求出其解。如果手算的話估計花費幾倍的時間都不止，這體現了線性代數在計算機中強大的應用價值。將線性代數與計算機應用結合起來，既激發了學生學習線性代數的積極性，又培養了學生的動手實踐能力。

2 線性代數在密碼學中的應用

在早期密碼研究中，有直接利用矩陣作為密碼表的，比如將26個字母放在以下5乘5的矩陣里

，

這樣，每個字母就對應了兩個字符——分別是其所在的行數和列數，如對應32，對應44等，如果接受的密文為32 15 42 42 54 13 23 42 24 43 44 32 11 43，則對應的明文即為Merry Christmas。該加密方法簡單直接，但也容易攻破。現行的加密算法則是建立在早期加密算法基礎之上，大致可以歸結為對明文代表的數據進行變換，比如置換、輪換、線性變換等。這樣經過變換之后的算法更復雜，不容易攻破。我們舉一個簡單的例子，把英文字母用一個整數來表示，然后傳送這組整數。這種方法是很容易根據數字出現的頻率來破譯，例如出現頻率特別高的數字，很可能就對應于字母E。而我們可以用矩陣的乘法來進行加密。例如整數矩陣的行列式等于，則的元素也必定是整數。而經過如此變換過的消息，同樣兩個字母對應的數字不同，所以就較難破譯。接收方只需將這個消息乘以就可以復原。當然還有在線性代數的基礎上采用更復雜的加密算法，該文不再贅述。

3 線性代數在力學中的應用

在現代生產和日常生活中，機械已成為代替和減輕人類勞動、提高勞動生產率的主要手段。而在機械工程領域中經常會遇到復雜的線性方程組的數值求解問題。例如機器人機構樹狀解和設計方案的多解問題等。并且線性方程可以作為一種定量尺度，廣泛用于設計或選擇鋼種，制定或修訂標準、控制熔煉成分等方面。這在機械工程領域中起著十分重要的作用。

4 結語

在當前的信息化時代，我們尤其要注重學生能力與實踐意識的培養，而線性代數作為理工科的基礎課程之一，它的重要性是毋庸置的。因此，在線性代數的教學中，我們要盡量和學生的專業課相結合，使線性代數的知識更通俗易懂，以提高學生學習的積極性和主動性，真正做到學以致用。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.工程數學線性代數[M].5版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 李家，李援南.線性代數在密碼學中的應用[J].北京電子科技學院學報， 2013，21（4）：74-79.

[3] 李艷曉，邵玉麗.線性代數在理工科專業課中的應用[J].數學學習與研究， 2014（1）.

[4] 王海俠，孫和軍，王青云.改進線性代數教學方法的幾點想法[J].高等數學研究，2010，13（6）：13-15.

[5] 王利東，劉婧.從應用實例出發的線性代數教學模式探討[J].數學教育學報， 2012，21（3）：83-85.

[6] 馬朝忠，鄧西云.突出應用背景知識介紹彰顯線性代數實用特性[J].中國科教創新導刊，2012（35）：113.

[7] 湯燕.矩陣在密碼學中的應用[J].科教文匯，2010（8）：83-84.

[8] 李尚志.線性代數精彩應用案例（之一）[J].大學數學，2006，22（3）：1-8.

[9] 陳懷琛.線性代數要與科學計算結成好伙伴[J].大學數學，2010，26（1）：28-34.

[10] 陳懷琛.MATLAB及其在理工課程中的應用指南[M].西安：西安電子科技大學出版社，2007.endprint

摘 要：線性代數是理工科專業的基礎課程之一，但學生對其在專業課中的應用知之甚少。該文分別以線性代數在計算機、密碼學、力學中的應用為例，具體分析線性代數在專業課學習的重要作用，以培養學生學習及應用線性代數的興趣與意識。

關鍵詞：線性代數 計算機 密碼學 力學

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（b）-0220-01

線性代數是高等院校理工科以及經濟管理類學生的必修基礎課，其在開課面之廣、影響和重視程度上僅次于高等數學，它具有較強的邏輯性、抽象性以及廣泛的實用性。通過兩年的線性代數教學工作，我主要有以下體會。

學生普遍反映線性代數較之高等數學更抽象，內容更枯燥，不容易理解，更不清楚學習線性代數的目的。這導致學生失去主動學習的熱情和動力，多數學生純粹為了考試而勉強學習，學了那么多理論，考完試擱置不用，實在很浪費。當然，這也不能全歸責于學生，究其原因，主要有以下兩點：一方面，從教材來考慮，大多線性代數教材均是以理論知識為主，很少列舉一些與實際生活或專業相聯系的例子，也就是太數學化了。另一方面，從教師角度來考慮，講授線性代數的老師大多來自數學專業，數學功底都不錯，但由于一些工程背景、知識面及課時的限制，大多數老師也只是傳授課本上的數學知識，這樣不能很好地引導學生學習的主動性，從而達不到好的教學效果。因此教師首先要拓寬自己的知識面，積極探索總結一些與線性代數相關的應用實例。這樣為不同專業講授本門課程時，可以多列舉一些與其專業相關的例子。例如可以為經濟學專業學生講解一些生產成本投入產出的例子，為信息工程專業學生多講解信息編碼、編程的例子。在計算機廣泛應用的今天，線性代數的理論知識為計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、力學等奠定了很好的基礎。該文主要以線性代數在計算機、密碼學、力學中的應用為例，分析了線性代數在專業知識中的應用，從而讓學生更深入的了解線性代數的應用價值，進一步培養學生學習及應用線性代數的興趣與意識。

1 線性代數在計算機中的應用

高教司曾用“用MATLAB和建模實踐改造工科線性代數”項目的總目標就是推廣線性代數與科學計算的結合，因此將線性代數與計算機計算結合起來是非常有必要的。計算機可以解決線性代數的一些難題而線性代數可以為計算機編程。特別是我們最常用的一種數學軟件——Matlab軟件，該軟件具有強大的數值計算功能。例如把方程的階次提高到3元以上時，計算步驟有可能會十分繁瑣，如果將線性代數的計算應用到計算機里面則會節省很多時間。例如，Wassily Leontief教授把美國經濟用500個變量的500個線性方程組描述，而后又把系統簡化為42個變量的42個線性方程，經過幾個月的編程，并利用當時的計算機運行了56個小時才求出其解。如果手算的話估計花費幾倍的時間都不止，這體現了線性代數在計算機中強大的應用價值。將線性代數與計算機應用結合起來，既激發了學生學習線性代數的積極性，又培養了學生的動手實踐能力。

2 線性代數在密碼學中的應用

在早期密碼研究中，有直接利用矩陣作為密碼表的，比如將26個字母放在以下5乘5的矩陣里

，

這樣，每個字母就對應了兩個字符——分別是其所在的行數和列數，如對應32，對應44等，如果接受的密文為32 15 42 42 54 13 23 42 24 43 44 32 11 43，則對應的明文即為Merry Christmas。該加密方法簡單直接，但也容易攻破。現行的加密算法則是建立在早期加密算法基礎之上，大致可以歸結為對明文代表的數據進行變換，比如置換、輪換、線性變換等。這樣經過變換之后的算法更復雜，不容易攻破。我們舉一個簡單的例子，把英文字母用一個整數來表示，然后傳送這組整數。這種方法是很容易根據數字出現的頻率來破譯，例如出現頻率特別高的數字，很可能就對應于字母E。而我們可以用矩陣的乘法來進行加密。例如整數矩陣的行列式等于，則的元素也必定是整數。而經過如此變換過的消息，同樣兩個字母對應的數字不同，所以就較難破譯。接收方只需將這個消息乘以就可以復原。當然還有在線性代數的基礎上采用更復雜的加密算法，該文不再贅述。

3 線性代數在力學中的應用

在現代生產和日常生活中，機械已成為代替和減輕人類勞動、提高勞動生產率的主要手段。而在機械工程領域中經常會遇到復雜的線性方程組的數值求解問題。例如機器人機構樹狀解和設計方案的多解問題等。并且線性方程可以作為一種定量尺度，廣泛用于設計或選擇鋼種，制定或修訂標準、控制熔煉成分等方面。這在機械工程領域中起著十分重要的作用。

4 結語

在當前的信息化時代，我們尤其要注重學生能力與實踐意識的培養，而線性代數作為理工科的基礎課程之一，它的重要性是毋庸置的。因此，在線性代數的教學中，我們要盡量和學生的專業課相結合，使線性代數的知識更通俗易懂，以提高學生學習的積極性和主動性，真正做到學以致用。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.工程數學線性代數[M].5版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 李家，李援南.線性代數在密碼學中的應用[J].北京電子科技學院學報， 2013，21（4）：74-79.

[3] 李艷曉，邵玉麗.線性代數在理工科專業課中的應用[J].數學學習與研究， 2014（1）.

[4] 王海俠，孫和軍，王青云.改進線性代數教學方法的幾點想法[J].高等數學研究，2010，13（6）：13-15.

[5] 王利東，劉婧.從應用實例出發的線性代數教學模式探討[J].數學教育學報， 2012，21（3）：83-85.

[6] 馬朝忠，鄧西云.突出應用背景知識介紹彰顯線性代數實用特性[J].中國科教創新導刊，2012（35）：113.

[7] 湯燕.矩陣在密碼學中的應用[J].科教文匯，2010（8）：83-84.

[8] 李尚志.線性代數精彩應用案例（之一）[J].大學數學，2006，22（3）：1-8.

[9] 陳懷琛.線性代數要與科學計算結成好伙伴[J].大學數學，2010，26（1）：28-34.

[10] 陳懷琛.MATLAB及其在理工課程中的應用指南[M].西安：西安電子科技大學出版社，2007.endprint

摘 要：線性代數是理工科專業的基礎課程之一，但學生對其在專業課中的應用知之甚少。該文分別以線性代數在計算機、密碼學、力學中的應用為例，具體分析線性代數在專業課學習的重要作用，以培養學生學習及應用線性代數的興趣與意識。

關鍵詞：線性代數 計算機 密碼學 力學

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（b）-0220-01

線性代數是高等院校理工科以及經濟管理類學生的必修基礎課，其在開課面之廣、影響和重視程度上僅次于高等數學，它具有較強的邏輯性、抽象性以及廣泛的實用性。通過兩年的線性代數教學工作，我主要有以下體會。

學生普遍反映線性代數較之高等數學更抽象，內容更枯燥，不容易理解，更不清楚學習線性代數的目的。這導致學生失去主動學習的熱情和動力，多數學生純粹為了考試而勉強學習，學了那么多理論，考完試擱置不用，實在很浪費。當然，這也不能全歸責于學生，究其原因，主要有以下兩點：一方面，從教材來考慮，大多線性代數教材均是以理論知識為主，很少列舉一些與實際生活或專業相聯系的例子，也就是太數學化了。另一方面，從教師角度來考慮，講授線性代數的老師大多來自數學專業，數學功底都不錯，但由于一些工程背景、知識面及課時的限制，大多數老師也只是傳授課本上的數學知識，這樣不能很好地引導學生學習的主動性，從而達不到好的教學效果。因此教師首先要拓寬自己的知識面，積極探索總結一些與線性代數相關的應用實例。這樣為不同專業講授本門課程時，可以多列舉一些與其專業相關的例子。例如可以為經濟學專業學生講解一些生產成本投入產出的例子，為信息工程專業學生多講解信息編碼、編程的例子。在計算機廣泛應用的今天，線性代數的理論知識為計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、力學等奠定了很好的基礎。該文主要以線性代數在計算機、密碼學、力學中的應用為例，分析了線性代數在專業知識中的應用，從而讓學生更深入的了解線性代數的應用價值，進一步培養學生學習及應用線性代數的興趣與意識。

1 線性代數在計算機中的應用

高教司曾用“用MATLAB和建模實踐改造工科線性代數”項目的總目標就是推廣線性代數與科學計算的結合，因此將線性代數與計算機計算結合起來是非常有必要的。計算機可以解決線性代數的一些難題而線性代數可以為計算機編程。特別是我們最常用的一種數學軟件——Matlab軟件，該軟件具有強大的數值計算功能。例如把方程的階次提高到3元以上時，計算步驟有可能會十分繁瑣，如果將線性代數的計算應用到計算機里面則會節省很多時間。例如，Wassily Leontief教授把美國經濟用500個變量的500個線性方程組描述，而后又把系統簡化為42個變量的42個線性方程，經過幾個月的編程，并利用當時的計算機運行了56個小時才求出其解。如果手算的話估計花費幾倍的時間都不止，這體現了線性代數在計算機中強大的應用價值。將線性代數與計算機應用結合起來，既激發了學生學習線性代數的積極性，又培養了學生的動手實踐能力。

2 線性代數在密碼學中的應用

在早期密碼研究中，有直接利用矩陣作為密碼表的，比如將26個字母放在以下5乘5的矩陣里

，

這樣，每個字母就對應了兩個字符——分別是其所在的行數和列數，如對應32，對應44等，如果接受的密文為32 15 42 42 54 13 23 42 24 43 44 32 11 43，則對應的明文即為Merry Christmas。該加密方法簡單直接，但也容易攻破。現行的加密算法則是建立在早期加密算法基礎之上，大致可以歸結為對明文代表的數據進行變換，比如置換、輪換、線性變換等。這樣經過變換之后的算法更復雜，不容易攻破。我們舉一個簡單的例子，把英文字母用一個整數來表示，然后傳送這組整數。這種方法是很容易根據數字出現的頻率來破譯，例如出現頻率特別高的數字，很可能就對應于字母E。而我們可以用矩陣的乘法來進行加密。例如整數矩陣的行列式等于，則的元素也必定是整數。而經過如此變換過的消息，同樣兩個字母對應的數字不同，所以就較難破譯。接收方只需將這個消息乘以就可以復原。當然還有在線性代數的基礎上采用更復雜的加密算法，該文不再贅述。

3 線性代數在力學中的應用

在現代生產和日常生活中，機械已成為代替和減輕人類勞動、提高勞動生產率的主要手段。而在機械工程領域中經常會遇到復雜的線性方程組的數值求解問題。例如機器人機構樹狀解和設計方案的多解問題等。并且線性方程可以作為一種定量尺度，廣泛用于設計或選擇鋼種，制定或修訂標準、控制熔煉成分等方面。這在機械工程領域中起著十分重要的作用。

4 結語

在當前的信息化時代，我們尤其要注重學生能力與實踐意識的培養，而線性代數作為理工科的基礎課程之一，它的重要性是毋庸置的。因此，在線性代數的教學中，我們要盡量和學生的專業課相結合，使線性代數的知識更通俗易懂，以提高學生學習的積極性和主動性，真正做到學以致用。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.工程數學線性代數[M].5版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 李家，李援南.線性代數在密碼學中的應用[J].北京電子科技學院學報， 2013，21（4）：74-79.

[3] 李艷曉，邵玉麗.線性代數在理工科專業課中的應用[J].數學學習與研究， 2014（1）.

[4] 王海俠，孫和軍，王青云.改進線性代數教學方法的幾點想法[J].高等數學研究，2010，13（6）：13-15.

[5] 王利東，劉婧.從應用實例出發的線性代數教學模式探討[J].數學教育學報， 2012，21（3）：83-85.

[6] 馬朝忠，鄧西云.突出應用背景知識介紹彰顯線性代數實用特性[J].中國科教創新導刊，2012（35）：113.

[7] 湯燕.矩陣在密碼學中的應用[J].科教文匯，2010（8）：83-84.

[8] 李尚志.線性代數精彩應用案例（之一）[J].大學數學，2006，22（3）：1-8.

[9] 陳懷琛.線性代數要與科學計算結成好伙伴[J].大學數學，2010，26（1）：28-34.

[10] 陳懷琛.MATLAB及其在理工課程中的應用指南[M].西安：西安電子科技大學出版社，2007.endprint