芻議建模思想在初中數學中的應用

高燮瑋

一、引言

模型思想是《課程標準（2011年版）》新增的核心概念.《課程標準（2011年版）》同時指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.”我們的數學教學不僅要使學生獲得新的知識、培養學生的思維能力，更要培養學生運用數學知識去思考和處理日常生活問題的能力，使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展.這正是新課程改革和數學教育的目的.

二、對數學建模的認識

在義務教育階段的數學教學中，用字母、數字及其他數學符號建立起來的代數式、關系式、方程、函數、不等式及各種圖表、圖形等，都是數學模型.中小學階段的數學模型一般是指“針對特定的現實問題或具體實物對象進行數學抽象所得到的數學模型”.

《課程標準（2011年版）》以義務教育數學課堂的實際情況出發，將這一過程進一步簡化為三個環節.第一環節，“從現實生活或具體情境中抽象出數學問題.”這說明發現和提出問題是數學建模的起點；第二環節，“用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律”.在這一步中，學生要通過觀察、分析、抽象、概括、判斷等數學活動，完成模式抽象，得到模型，這是建模最重要的一個環節；最后一個環節，通過模型去求出結果，并用此結果去解釋、討論它在現實問題中的意義.

具體來講，數學模型方法的操作順序大致如下所示.

三、初中階段常見的數學模型舉例

在課堂教學中，教師應該讓學生先去研究問題本身的解決辦法，然后探索發現這類問題的一般規律，進一步理解這類問題的本質特征，從而建構解題模型，真正理解并掌握這一類問題的解決方法.

例如，人教版八年級上冊“軸對稱”中有這樣一個問題如下.

在上述過程中，我們將找水泵站位置的問題轉化為“如何在一條直線上找到一點，使其到直線同一側的兩點距離之和最短”的問題，即將這個實際的問題轉化為數學模型，并建立起兩者之間的聯系，最終解決問題.反過來，如何將得到的數學模型應用到其他的問題中呢？

模型應用如下.

1.如圖2，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點，求PB+PE的最小值是 .

2.如圖3，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；

3.如圖4，∠AOB=45°，P是∠AOB內一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值.

圖2 圖3 圖4

盡管這三個問題分別以菱形、圓、角為載體，但是問題都是求某些線段和的最小值.解決問題時，都是根據圖形軸對稱的特質，利用軸對稱的原理，得到問題中的數學模型.讓學生體會如何從變化的背景中提取出相應的數學模型，如何將這種變式或者變形化歸為已知的數學模型，并將已知的做法應用到這些問題中，從而解決問題，這對培養學生模型思想很有幫助.

（模型二）初一（5）共有40名學生，在元旦班級聯歡晚會上兩兩握手，那么他們共握手多少次？

對這個問題，我們可以做這樣的假設：第1個學生分別與其他39位同學握手，可握39次手；第2個學生也分別與其他39位同學握手，可握39次手；……依此類推，第40位同學與其他39位同學握手，可握39次手，如此共握手40×39次，顯然此時每兩人之間都握了兩次手進行計算的.因此，按照題意，40個人每兩人之間握一次手共握了40×392=780次手.

若該班共有n名學生，則有n（n-1）2次握手.像這一類問題我們不妨把它叫做“握手問題”.解決這類問題的方法叫做“握手解法”.

利用“握手解法”我們還可以解決很多數學問題.

【例1】 已知一條直線上共有5個點，那么這條直線上共有幾條線段？

分析：如果把5個點看做是上個問題中的5名學生；每構成一條線段，即學生兩兩握手一次.而5個學生兩兩握手時，按照“握手解法”，共握5×42=10次手，從而直線上5個點共構成10條線段.

類似“握手問題”的問題還有很多.

問題1：往返于甲、乙兩地的客運火車，中途停靠三個車站，問有多少種不同的票價？

問題2：初一（5）班40人，彼此互相通一次電話，總共需通話幾次？

問題3：上星期，我們七年級6個班進行班級拔河比賽，第一輪采用單循環賽，問共需進行幾場比賽？

問題4：平面上有n個點，任三點不在一條直線上，那么過兩點畫一條直線，共可畫多少條直線？

問題5：在一個已知角的內部，從頂點出發，引n-2條射線，共組成多少個角？

在上述的問題中，我們可以發現，這些問題都是個體之間兩兩互相產生一次聯系，即我們可以把這些個體，如問題1中的每個火車站、問題2中的每個同學、問題3中的每個班級等，視作“握手問題”中的每個學生.問題互相之間產生的一次聯系，比如問題4中兩點之間畫出一條連線，問題5中每兩個射線組成一個角等，視作“握手問題”中的互相握手一次.利用已有的解決經驗，發現可以直接套用n（n-1）2，從而解決問題.

在解決問題的過程中，注重讓學生建立“握手問題”的模型，為了加深對其數學本質的理解，我們還可以拓展以下問題.

問題1：新年來臨，同學們互相贈送卡片，我們班40名同學共需多少卡片？

問題2：一個n邊形的對角線共多少條？

問題1中，由于是互贈卡片，所以總數量為n·（n+1），顯然不需要除以2；問題2中，由于n邊形每個頂點只與（n-3）個頂點能連成對角線，所以結果顯然為n（n-3）2.在這兩個問題中，發生的背景還是題目中個個體與其他個體發生一次聯系，但是學生不能再直接套用“握手問題”的公式n（n-1）2，而是要理解這些問題的本質，才能解決問題.

對于中學生來說，進行數學建模教學的目的是要培養學生運用數學知識去思考和處理日常生活問題的能力，更重要的是要通過數學建模的方法來培養他們的數學思維能力，并將學習的模型內化為自己的能力，從而解決相關或者類似的問題.因此，教師在教學時，應將自己定位為學生解決問題的引導者，注重培養學生的數學思維能力.

（責任編輯 黃桂堅）endprint

一、引言

模型思想是《課程標準（2011年版）》新增的核心概念.《課程標準（2011年版）》同時指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.”我們的數學教學不僅要使學生獲得新的知識、培養學生的思維能力，更要培養學生運用數學知識去思考和處理日常生活問題的能力，使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展.這正是新課程改革和數學教育的目的.

二、對數學建模的認識

在義務教育階段的數學教學中，用字母、數字及其他數學符號建立起來的代數式、關系式、方程、函數、不等式及各種圖表、圖形等，都是數學模型.中小學階段的數學模型一般是指“針對特定的現實問題或具體實物對象進行數學抽象所得到的數學模型”.

《課程標準（2011年版）》以義務教育數學課堂的實際情況出發，將這一過程進一步簡化為三個環節.第一環節，“從現實生活或具體情境中抽象出數學問題.”這說明發現和提出問題是數學建模的起點；第二環節，“用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律”.在這一步中，學生要通過觀察、分析、抽象、概括、判斷等數學活動，完成模式抽象，得到模型，這是建模最重要的一個環節；最后一個環節，通過模型去求出結果，并用此結果去解釋、討論它在現實問題中的意義.

具體來講，數學模型方法的操作順序大致如下所示.

三、初中階段常見的數學模型舉例

在課堂教學中，教師應該讓學生先去研究問題本身的解決辦法，然后探索發現這類問題的一般規律，進一步理解這類問題的本質特征，從而建構解題模型，真正理解并掌握這一類問題的解決方法.

例如，人教版八年級上冊“軸對稱”中有這樣一個問題如下.

在上述過程中，我們將找水泵站位置的問題轉化為“如何在一條直線上找到一點，使其到直線同一側的兩點距離之和最短”的問題，即將這個實際的問題轉化為數學模型，并建立起兩者之間的聯系，最終解決問題.反過來，如何將得到的數學模型應用到其他的問題中呢？

模型應用如下.

1.如圖2，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點，求PB+PE的最小值是 .

2.如圖3，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；

3.如圖4，∠AOB=45°，P是∠AOB內一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值.

圖2 圖3 圖4

盡管這三個問題分別以菱形、圓、角為載體，但是問題都是求某些線段和的最小值.解決問題時，都是根據圖形軸對稱的特質，利用軸對稱的原理，得到問題中的數學模型.讓學生體會如何從變化的背景中提取出相應的數學模型，如何將這種變式或者變形化歸為已知的數學模型，并將已知的做法應用到這些問題中，從而解決問題，這對培養學生模型思想很有幫助.

（模型二）初一（5）共有40名學生，在元旦班級聯歡晚會上兩兩握手，那么他們共握手多少次？

對這個問題，我們可以做這樣的假設：第1個學生分別與其他39位同學握手，可握39次手；第2個學生也分別與其他39位同學握手，可握39次手；……依此類推，第40位同學與其他39位同學握手，可握39次手，如此共握手40×39次，顯然此時每兩人之間都握了兩次手進行計算的.因此，按照題意，40個人每兩人之間握一次手共握了40×392=780次手.

若該班共有n名學生，則有n（n-1）2次握手.像這一類問題我們不妨把它叫做“握手問題”.解決這類問題的方法叫做“握手解法”.

利用“握手解法”我們還可以解決很多數學問題.

【例1】 已知一條直線上共有5個點，那么這條直線上共有幾條線段？

分析：如果把5個點看做是上個問題中的5名學生；每構成一條線段，即學生兩兩握手一次.而5個學生兩兩握手時，按照“握手解法”，共握5×42=10次手，從而直線上5個點共構成10條線段.

類似“握手問題”的問題還有很多.

問題1：往返于甲、乙兩地的客運火車，中途?？咳齻€車站，問有多少種不同的票價？

問題2：初一（5）班40人，彼此互相通一次電話，總共需通話幾次？

問題3：上星期，我們七年級6個班進行班級拔河比賽，第一輪采用單循環賽，問共需進行幾場比賽？

問題4：平面上有n個點，任三點不在一條直線上，那么過兩點畫一條直線，共可畫多少條直線？

問題5：在一個已知角的內部，從頂點出發，引n-2條射線，共組成多少個角？

在上述的問題中，我們可以發現，這些問題都是個體之間兩兩互相產生一次聯系，即我們可以把這些個體，如問題1中的每個火車站、問題2中的每個同學、問題3中的每個班級等，視作“握手問題”中的每個學生.問題互相之間產生的一次聯系，比如問題4中兩點之間畫出一條連線，問題5中每兩個射線組成一個角等，視作“握手問題”中的互相握手一次.利用已有的解決經驗，發現可以直接套用n（n-1）2，從而解決問題.

在解決問題的過程中，注重讓學生建立“握手問題”的模型，為了加深對其數學本質的理解，我們還可以拓展以下問題.

問題1：新年來臨，同學們互相贈送卡片，我們班40名同學共需多少卡片？

問題2：一個n邊形的對角線共多少條？

問題1中，由于是互贈卡片，所以總數量為n·（n+1），顯然不需要除以2；問題2中，由于n邊形每個頂點只與（n-3）個頂點能連成對角線，所以結果顯然為n（n-3）2.在這兩個問題中，發生的背景還是題目中個個體與其他個體發生一次聯系，但是學生不能再直接套用“握手問題”的公式n（n-1）2，而是要理解這些問題的本質，才能解決問題.

對于中學生來說，進行數學建模教學的目的是要培養學生運用數學知識去思考和處理日常生活問題的能力，更重要的是要通過數學建模的方法來培養他們的數學思維能力，并將學習的模型內化為自己的能力，從而解決相關或者類似的問題.因此，教師在教學時，應將自己定位為學生解決問題的引導者，注重培養學生的數學思維能力.

（責任編輯 黃桂堅）endprint

一、引言

模型思想是《課程標準（2011年版）》新增的核心概念.《課程標準（2011年版）》同時指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.”我們的數學教學不僅要使學生獲得新的知識、培養學生的思維能力，更要培養學生運用數學知識去思考和處理日常生活問題的能力，使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展.這正是新課程改革和數學教育的目的.

二、對數學建模的認識

在義務教育階段的數學教學中，用字母、數字及其他數學符號建立起來的代數式、關系式、方程、函數、不等式及各種圖表、圖形等，都是數學模型.中小學階段的數學模型一般是指“針對特定的現實問題或具體實物對象進行數學抽象所得到的數學模型”.

《課程標準（2011年版）》以義務教育數學課堂的實際情況出發，將這一過程進一步簡化為三個環節.第一環節，“從現實生活或具體情境中抽象出數學問題.”這說明發現和提出問題是數學建模的起點；第二環節，“用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律”.在這一步中，學生要通過觀察、分析、抽象、概括、判斷等數學活動，完成模式抽象，得到模型，這是建模最重要的一個環節；最后一個環節，通過模型去求出結果，并用此結果去解釋、討論它在現實問題中的意義.

具體來講，數學模型方法的操作順序大致如下所示.

三、初中階段常見的數學模型舉例

在課堂教學中，教師應該讓學生先去研究問題本身的解決辦法，然后探索發現這類問題的一般規律，進一步理解這類問題的本質特征，從而建構解題模型，真正理解并掌握這一類問題的解決方法.

例如，人教版八年級上冊“軸對稱”中有這樣一個問題如下.

在上述過程中，我們將找水泵站位置的問題轉化為“如何在一條直線上找到一點，使其到直線同一側的兩點距離之和最短”的問題，即將這個實際的問題轉化為數學模型，并建立起兩者之間的聯系，最終解決問題.反過來，如何將得到的數學模型應用到其他的問題中呢？

模型應用如下.

1.如圖2，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點，求PB+PE的最小值是 .

2.如圖3，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；

3.如圖4，∠AOB=45°，P是∠AOB內一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值.

圖2 圖3 圖4

盡管這三個問題分別以菱形、圓、角為載體，但是問題都是求某些線段和的最小值.解決問題時，都是根據圖形軸對稱的特質，利用軸對稱的原理，得到問題中的數學模型.讓學生體會如何從變化的背景中提取出相應的數學模型，如何將這種變式或者變形化歸為已知的數學模型，并將已知的做法應用到這些問題中，從而解決問題，這對培養學生模型思想很有幫助.

（模型二）初一（5）共有40名學生，在元旦班級聯歡晚會上兩兩握手，那么他們共握手多少次？

對這個問題，我們可以做這樣的假設：第1個學生分別與其他39位同學握手，可握39次手；第2個學生也分別與其他39位同學握手，可握39次手；……依此類推，第40位同學與其他39位同學握手，可握39次手，如此共握手40×39次，顯然此時每兩人之間都握了兩次手進行計算的.因此，按照題意，40個人每兩人之間握一次手共握了40×392=780次手.

若該班共有n名學生，則有n（n-1）2次握手.像這一類問題我們不妨把它叫做“握手問題”.解決這類問題的方法叫做“握手解法”.

利用“握手解法”我們還可以解決很多數學問題.

【例1】 已知一條直線上共有5個點，那么這條直線上共有幾條線段？

分析：如果把5個點看做是上個問題中的5名學生；每構成一條線段，即學生兩兩握手一次.而5個學生兩兩握手時，按照“握手解法”，共握5×42=10次手，從而直線上5個點共構成10條線段.

類似“握手問題”的問題還有很多.

問題1：往返于甲、乙兩地的客運火車，中途?？咳齻€車站，問有多少種不同的票價？

問題2：初一（5）班40人，彼此互相通一次電話，總共需通話幾次？

問題3：上星期，我們七年級6個班進行班級拔河比賽，第一輪采用單循環賽，問共需進行幾場比賽？

問題4：平面上有n個點，任三點不在一條直線上，那么過兩點畫一條直線，共可畫多少條直線？

問題5：在一個已知角的內部，從頂點出發，引n-2條射線，共組成多少個角？

在上述的問題中，我們可以發現，這些問題都是個體之間兩兩互相產生一次聯系，即我們可以把這些個體，如問題1中的每個火車站、問題2中的每個同學、問題3中的每個班級等，視作“握手問題”中的每個學生.問題互相之間產生的一次聯系，比如問題4中兩點之間畫出一條連線，問題5中每兩個射線組成一個角等，視作“握手問題”中的互相握手一次.利用已有的解決經驗，發現可以直接套用n（n-1）2，從而解決問題.

在解決問題的過程中，注重讓學生建立“握手問題”的模型，為了加深對其數學本質的理解，我們還可以拓展以下問題.

問題1：新年來臨，同學們互相贈送卡片，我們班40名同學共需多少卡片？

問題2：一個n邊形的對角線共多少條？

問題1中，由于是互贈卡片，所以總數量為n·（n+1），顯然不需要除以2；問題2中，由于n邊形每個頂點只與（n-3）個頂點能連成對角線，所以結果顯然為n（n-3）2.在這兩個問題中，發生的背景還是題目中個個體與其他個體發生一次聯系，但是學生不能再直接套用“握手問題”的公式n（n-1）2，而是要理解這些問題的本質，才能解決問題.

對于中學生來說，進行數學建模教學的目的是要培養學生運用數學知識去思考和處理日常生活問題的能力，更重要的是要通過數學建模的方法來培養他們的數學思維能力，并將學習的模型內化為自己的能力，從而解決相關或者類似的問題.因此，教師在教學時，應將自己定位為學生解決問題的引導者，注重培養學生的數學思維能力.

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