一類平面幾何問題的巧解

孟源

一、問題簡介

在給定的圖形中，已知一些角、一些邊的關(guān)系，然后求另外一些角，而不能僅利用多邊形內(nèi)角和、等腰對(duì)等角等簡單的性質(zhì)來求解，我們把這類問題叫做“解角度問題”.這類題通常思考難度較大，初看給人無從下手的感覺.當(dāng)然，如果熟練塞瓦定理的角元形式，解答本類題就是純粹的解三角方程、進(jìn)行三角恒等變換.而本專題避開三角函數(shù)，只用純幾何的方法，通過構(gòu)造等邊三角形巧解這類問題，并給出一般化思路.

二、解題方法及例題

（一）若三角形有一個(gè)角為30°，則以該角對(duì)邊為邊，在30°角同側(cè)作等邊三角形

圖1如圖1，構(gòu)造出來的新頂點(diǎn)，就是原三角形的外心（證明略）.利用圓周角、圓心角等性質(zhì)，可以為接下來的解題提供諸多方便.

當(dāng)然，有時(shí)不能直接構(gòu)造等邊三角形，可以以退為進(jìn)——作60°角，截取某點(diǎn)，再證明構(gòu)造出來的三角形是等邊三角形.這些都是可以靈活調(diào)整的，但核心思想——以“30°角對(duì)邊為邊構(gòu)造等邊三角形”不變.

分析：這題無現(xiàn)成的30°角，難以直接應(yīng)用我們的方法.但若作圖準(zhǔn)確，則可知∠DCA=30°，就有了下面的解法.

如圖6、圖7，有兩種構(gòu)造三角形的方式，而在解題中究竟選哪條腰，向內(nèi)還是向外？這要根據(jù)實(shí)際情況嘗試、選擇.和上一種方法一樣，構(gòu)造等邊三角形都會(huì)出現(xiàn)三角形的外心（等腰三角形的頂點(diǎn)），進(jìn)而為我們利用圓周角、圓心角等性質(zhì)解題帶來方便.

先來回顧例2.

分析：從“等腰的腰作等邊”出發(fā)，注意AB=AC，故以AB或AC為邊作等邊三角形.兩邊都是可以的，這里僅以AB邊的情況為例.

分析：此題的出發(fā)點(diǎn)均是挖掘∠DBC=∠ACB的條件，通過構(gòu)造等腰梯形獲解.構(gòu)造出等腰梯形BCED之后，會(huì)同時(shí)出現(xiàn)等腰△ADE，AE=DE，于是以AE或DE為邊構(gòu)造等邊三角形.筆者經(jīng)過嘗試，發(fā)現(xiàn)以AE為邊更方便.

分析：不難發(fā)現(xiàn)AC=BC，故考慮以等腰三角形的腰為邊作等邊三角形.但是，筆者最初嘗試以AC或以BC為邊向內(nèi)作等邊三角形時(shí)，無法推導(dǎo)下去.經(jīng)過一番反思之后，筆者想到向外作等邊三角形.經(jīng)嘗試，以AC、BC為邊向外作等邊三角形都可以，而以AC為邊要簡捷一些，故采用以AC為邊的方法.

三、總結(jié)

類似的角度問題變化多端，并無定式，但萬變不離其宗——構(gòu)造等邊三角形.當(dāng)然，具體怎么構(gòu)造就大有講究了，因?yàn)閷?shí)際情況往往是復(fù)雜的，并沒有嚴(yán)格教條.因此，利用等邊三角形解決類似問題，方法靈活多樣.上述各題的解法，都是筆者經(jīng)過多次的試驗(yàn)后才得出的，而第一次試驗(yàn)往往是失敗的，筆者在多次失敗中總結(jié)、反思后，才通往了成功.總而言之，目前納入這個(gè)解題理論體系的就兩條路——“30°角”和“等長的邊”，以這兩個(gè)要素為切入點(diǎn)，就是解決此類問題的基礎(chǔ).

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint

一、問題簡介

在給定的圖形中，已知一些角、一些邊的關(guān)系，然后求另外一些角，而不能僅利用多邊形內(nèi)角和、等腰對(duì)等角等簡單的性質(zhì)來求解，我們把這類問題叫做“解角度問題”.這類題通常思考難度較大，初看給人無從下手的感覺.當(dāng)然，如果熟練塞瓦定理的角元形式，解答本類題就是純粹的解三角方程、進(jìn)行三角恒等變換.而本專題避開三角函數(shù)，只用純幾何的方法，通過構(gòu)造等邊三角形巧解這類問題，并給出一般化思路.

二、解題方法及例題

（一）若三角形有一個(gè)角為30°，則以該角對(duì)邊為邊，在30°角同側(cè)作等邊三角形

圖1如圖1，構(gòu)造出來的新頂點(diǎn)，就是原三角形的外心（證明略）.利用圓周角、圓心角等性質(zhì)，可以為接下來的解題提供諸多方便.

當(dāng)然，有時(shí)不能直接構(gòu)造等邊三角形，可以以退為進(jìn)——作60°角，截取某點(diǎn)，再證明構(gòu)造出來的三角形是等邊三角形.這些都是可以靈活調(diào)整的，但核心思想——以“30°角對(duì)邊為邊構(gòu)造等邊三角形”不變.

分析：這題無現(xiàn)成的30°角，難以直接應(yīng)用我們的方法.但若作圖準(zhǔn)確，則可知∠DCA=30°，就有了下面的解法.

如圖6、圖7，有兩種構(gòu)造三角形的方式，而在解題中究竟選哪條腰，向內(nèi)還是向外？這要根據(jù)實(shí)際情況嘗試、選擇.和上一種方法一樣，構(gòu)造等邊三角形都會(huì)出現(xiàn)三角形的外心（等腰三角形的頂點(diǎn)），進(jìn)而為我們利用圓周角、圓心角等性質(zhì)解題帶來方便.

先來回顧例2.

分析：從“等腰的腰作等邊”出發(fā)，注意AB=AC，故以AB或AC為邊作等邊三角形.兩邊都是可以的，這里僅以AB邊的情況為例.

分析：此題的出發(fā)點(diǎn)均是挖掘∠DBC=∠ACB的條件，通過構(gòu)造等腰梯形獲解.構(gòu)造出等腰梯形BCED之后，會(huì)同時(shí)出現(xiàn)等腰△ADE，AE=DE，于是以AE或DE為邊構(gòu)造等邊三角形.筆者經(jīng)過嘗試，發(fā)現(xiàn)以AE為邊更方便.

分析：不難發(fā)現(xiàn)AC=BC，故考慮以等腰三角形的腰為邊作等邊三角形.但是，筆者最初嘗試以AC或以BC為邊向內(nèi)作等邊三角形時(shí)，無法推導(dǎo)下去.經(jīng)過一番反思之后，筆者想到向外作等邊三角形.經(jīng)嘗試，以AC、BC為邊向外作等邊三角形都可以，而以AC為邊要簡捷一些，故采用以AC為邊的方法.

三、總結(jié)

類似的角度問題變化多端，并無定式，但萬變不離其宗——構(gòu)造等邊三角形.當(dāng)然，具體怎么構(gòu)造就大有講究了，因?yàn)閷?shí)際情況往往是復(fù)雜的，并沒有嚴(yán)格教條.因此，利用等邊三角形解決類似問題，方法靈活多樣.上述各題的解法，都是筆者經(jīng)過多次的試驗(yàn)后才得出的，而第一次試驗(yàn)往往是失敗的，筆者在多次失敗中總結(jié)、反思后，才通往了成功.總而言之，目前納入這個(gè)解題理論體系的就兩條路——“30°角”和“等長的邊”，以這兩個(gè)要素為切入點(diǎn)，就是解決此類問題的基礎(chǔ).

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint

一、問題簡介

在給定的圖形中，已知一些角、一些邊的關(guān)系，然后求另外一些角，而不能僅利用多邊形內(nèi)角和、等腰對(duì)等角等簡單的性質(zhì)來求解，我們把這類問題叫做“解角度問題”.這類題通常思考難度較大，初看給人無從下手的感覺.當(dāng)然，如果熟練塞瓦定理的角元形式，解答本類題就是純粹的解三角方程、進(jìn)行三角恒等變換.而本專題避開三角函數(shù)，只用純幾何的方法，通過構(gòu)造等邊三角形巧解這類問題，并給出一般化思路.

二、解題方法及例題

（一）若三角形有一個(gè)角為30°，則以該角對(duì)邊為邊，在30°角同側(cè)作等邊三角形

圖1如圖1，構(gòu)造出來的新頂點(diǎn)，就是原三角形的外心（證明略）.利用圓周角、圓心角等性質(zhì)，可以為接下來的解題提供諸多方便.

當(dāng)然，有時(shí)不能直接構(gòu)造等邊三角形，可以以退為進(jìn)——作60°角，截取某點(diǎn)，再證明構(gòu)造出來的三角形是等邊三角形.這些都是可以靈活調(diào)整的，但核心思想——以“30°角對(duì)邊為邊構(gòu)造等邊三角形”不變.

分析：這題無現(xiàn)成的30°角，難以直接應(yīng)用我們的方法.但若作圖準(zhǔn)確，則可知∠DCA=30°，就有了下面的解法.

如圖6、圖7，有兩種構(gòu)造三角形的方式，而在解題中究竟選哪條腰，向內(nèi)還是向外？這要根據(jù)實(shí)際情況嘗試、選擇.和上一種方法一樣，構(gòu)造等邊三角形都會(huì)出現(xiàn)三角形的外心（等腰三角形的頂點(diǎn)），進(jìn)而為我們利用圓周角、圓心角等性質(zhì)解題帶來方便.

先來回顧例2.

分析：從“等腰的腰作等邊”出發(fā)，注意AB=AC，故以AB或AC為邊作等邊三角形.兩邊都是可以的，這里僅以AB邊的情況為例.

分析：此題的出發(fā)點(diǎn)均是挖掘∠DBC=∠ACB的條件，通過構(gòu)造等腰梯形獲解.構(gòu)造出等腰梯形BCED之后，會(huì)同時(shí)出現(xiàn)等腰△ADE，AE=DE，于是以AE或DE為邊構(gòu)造等邊三角形.筆者經(jīng)過嘗試，發(fā)現(xiàn)以AE為邊更方便.

分析：不難發(fā)現(xiàn)AC=BC，故考慮以等腰三角形的腰為邊作等邊三角形.但是，筆者最初嘗試以AC或以BC為邊向內(nèi)作等邊三角形時(shí)，無法推導(dǎo)下去.經(jīng)過一番反思之后，筆者想到向外作等邊三角形.經(jīng)嘗試，以AC、BC為邊向外作等邊三角形都可以，而以AC為邊要簡捷一些，故采用以AC為邊的方法.

三、總結(jié)

類似的角度問題變化多端，并無定式，但萬變不離其宗——構(gòu)造等邊三角形.當(dāng)然，具體怎么構(gòu)造就大有講究了，因?yàn)閷?shí)際情況往往是復(fù)雜的，并沒有嚴(yán)格教條.因此，利用等邊三角形解決類似問題，方法靈活多樣.上述各題的解法，都是筆者經(jīng)過多次的試驗(yàn)后才得出的，而第一次試驗(yàn)往往是失敗的，筆者在多次失敗中總結(jié)、反思后，才通往了成功.總而言之，目前納入這個(gè)解題理論體系的就兩條路——“30°角”和“等長的邊”，以這兩個(gè)要素為切入點(diǎn)，就是解決此類問題的基礎(chǔ).

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