函數(shù)的凹凸性在解題中的應(yīng)用

李慷慨

函數(shù)的凹凸性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，在各地質(zhì)檢和高考中經(jīng)常考到函數(shù)的凹凸性的應(yīng)用，若能靈活應(yīng)用函數(shù)的凹凸性，則在解決高中數(shù)學(xué)有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問題時(shí)就能起到事半功倍的效果.本文簡單介紹一下函數(shù)的凹凸性及其簡單應(yīng)用.

一、函數(shù)的凹凸性

定義：設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上的任意兩點(diǎn)x1，x2和任意實(shí)數(shù)λ∈（0，1）總有：

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

則稱f為I上的凸函數(shù).

反之，如果總有：

f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），

則稱f為I上的凹函數(shù).

定理1 f為I上的凸函數(shù)的充要條件是：對于I上的任意三點(diǎn)x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.

f為I上的凹函數(shù)的充要條件是：對于I上的任意三點(diǎn)x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.

定理2 f為I上的凸函數(shù)的充要條件是：對于I上的任意兩點(diǎn)x1≠x2，總有：

f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.

f為I上的凹函數(shù)的充要條件是：對于I上的任意兩點(diǎn)x1≠x2，總有：

f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.

定理3 設(shè)f為區(qū)間I上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在I上f為凸（凹）函數(shù)的充要條件是：

f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.

二、函數(shù)的凹凸性在解題中的應(yīng)用

【例1】 （2013年蚌埠二質(zhì)檢第15題）已知點(diǎn)A（x1，x21），B（x2，x22）是函數(shù)y=x2的圖像上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖像可知，線段AB總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論x21+x222>（x1+x22）2成立.運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函數(shù)y=lgx（x∈（0，+∞））的圖像上的不同兩點(diǎn)，則類似地有 成立.

分析：本題考查類比推理及函數(shù)的凹凸性，主要要求學(xué)生能理解題目給出的已知條件或教師在平時(shí)的教學(xué)中滲透函數(shù)的凹凸性的相關(guān)內(nèi)容.根據(jù)題意和函數(shù)的凹凸性易知答案為lgx1+lgx22

【例2】 （2012年蚌埠一質(zhì)檢第21題）已知函數(shù)f（x）=2x+alnx（a∈R）.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)f（x）的最小值為φ（a），求φ（a）的最大值；

（3）若函數(shù)f（x）的最小值為φ（a），m、n為φ（a）定義域A內(nèi)的任意兩個(gè)值，試比較φ（m）+φ（n）2與φ（m+n2）的大小.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）

函數(shù)的凹凸性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，在各地質(zhì)檢和高考中經(jīng)常考到函數(shù)的凹凸性的應(yīng)用，若能靈活應(yīng)用函數(shù)的凹凸性，則在解決高中數(shù)學(xué)有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問題時(shí)就能起到事半功倍的效果.本文簡單介紹一下函數(shù)的凹凸性及其簡單應(yīng)用.

一、函數(shù)的凹凸性

定義：設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上的任意兩點(diǎn)x1，x2和任意實(shí)數(shù)λ∈（0，1）總有：

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

則稱f為I上的凸函數(shù).

反之，如果總有：

f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），

則稱f為I上的凹函數(shù).

定理1 f為I上的凸函數(shù)的充要條件是：對于I上的任意三點(diǎn)x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.

f為I上的凹函數(shù)的充要條件是：對于I上的任意三點(diǎn)x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.

定理2 f為I上的凸函數(shù)的充要條件是：對于I上的任意兩點(diǎn)x1≠x2，總有：

f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.

f為I上的凹函數(shù)的充要條件是：對于I上的任意兩點(diǎn)x1≠x2，總有：

f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.

定理3 設(shè)f為區(qū)間I上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在I上f為凸（凹）函數(shù)的充要條件是：

f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.

二、函數(shù)的凹凸性在解題中的應(yīng)用

【例1】 （2013年蚌埠二質(zhì)檢第15題）已知點(diǎn)A（x1，x21），B（x2，x22）是函數(shù)y=x2的圖像上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖像可知，線段AB總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論x21+x222>（x1+x22）2成立.運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函數(shù)y=lgx（x∈（0，+∞））的圖像上的不同兩點(diǎn)，則類似地有 成立.

分析：本題考查類比推理及函數(shù)的凹凸性，主要要求學(xué)生能理解題目給出的已知條件或教師在平時(shí)的教學(xué)中滲透函數(shù)的凹凸性的相關(guān)內(nèi)容.根據(jù)題意和函數(shù)的凹凸性易知答案為lgx1+lgx22

【例2】 （2012年蚌埠一質(zhì)檢第21題）已知函數(shù)f（x）=2x+alnx（a∈R）.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)f（x）的最小值為φ（a），求φ（a）的最大值；

（3）若函數(shù)f（x）的最小值為φ（a），m、n為φ（a）定義域A內(nèi)的任意兩個(gè)值，試比較φ（m）+φ（n）2與φ（m+n2）的大小.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）

函數(shù)的凹凸性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，在各地質(zhì)檢和高考中經(jīng)常考到函數(shù)的凹凸性的應(yīng)用，若能靈活應(yīng)用函數(shù)的凹凸性，則在解決高中數(shù)學(xué)有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問題時(shí)就能起到事半功倍的效果.本文簡單介紹一下函數(shù)的凹凸性及其簡單應(yīng)用.

一、函數(shù)的凹凸性

定義：設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上的任意兩點(diǎn)x1，x2和任意實(shí)數(shù)λ∈（0，1）總有：

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

則稱f為I上的凸函數(shù).

反之，如果總有：

f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），

則稱f為I上的凹函數(shù).

定理1 f為I上的凸函數(shù)的充要條件是：對于I上的任意三點(diǎn)x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.

f為I上的凹函數(shù)的充要條件是：對于I上的任意三點(diǎn)x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.

定理2 f為I上的凸函數(shù)的充要條件是：對于I上的任意兩點(diǎn)x1≠x2，總有：

f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.

f為I上的凹函數(shù)的充要條件是：對于I上的任意兩點(diǎn)x1≠x2，總有：

f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.

定理3 設(shè)f為區(qū)間I上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在I上f為凸（凹）函數(shù)的充要條件是：

f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.

二、函數(shù)的凹凸性在解題中的應(yīng)用

【例1】 （2013年蚌埠二質(zhì)檢第15題）已知點(diǎn)A（x1，x21），B（x2，x22）是函數(shù)y=x2的圖像上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖像可知，線段AB總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論x21+x222>（x1+x22）2成立.運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函數(shù)y=lgx（x∈（0，+∞））的圖像上的不同兩點(diǎn)，則類似地有 成立.

分析：本題考查類比推理及函數(shù)的凹凸性，主要要求學(xué)生能理解題目給出的已知條件或教師在平時(shí)的教學(xué)中滲透函數(shù)的凹凸性的相關(guān)內(nèi)容.根據(jù)題意和函數(shù)的凹凸性易知答案為lgx1+lgx22

【例2】 （2012年蚌埠一質(zhì)檢第21題）已知函數(shù)f（x）=2x+alnx（a∈R）.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)f（x）的最小值為φ（a），求φ（a）的最大值；

（3）若函數(shù)f（x）的最小值為φ（a），m、n為φ（a）定義域A內(nèi)的任意兩個(gè)值，試比較φ（m）+φ（n）2與φ（m+n2）的大小.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）