非線性負阻尼極限環型角位移振蕩運動定量分析

蔣增輝，宋 威，賈區耀，陳 農

( 中國航天空氣動力技術研究院，北京 100074)

0 引 言

由氣動俯仰阻尼力矩導致飛行器動不穩定的研究通常限于線性情況，近年來國內外學者提出非線性負阻尼極限環類型的氣動阻尼有可能導致飛行器動不穩定的觀點［1-7］。在作者所從事的風洞自由飛試驗中多次觀察到不同外型飛行器模型在超聲速/高超聲速小迎角狀態下有可能產生具有如下特征的錐形振蕩運動［8-9］，其表現為：

(1) 在小迎角狀態下( 如0°或配平角附近) 受激勵很快達到5°、6°的振幅；

(2) 當進入均勻流場的試驗模型處于小振幅初狀態下，很快被激勵，而處于大振幅初狀態下趨向收斂。

風洞自由飛試驗雖然較易觀察到試驗模型處于小振幅狀態下很快被激勵，處于大振幅初狀態下趨向收斂，但因記錄時間的長度有限，難以對有限振幅、極限環型的被激勵的錐形振蕩運動作出定量評估，并給出該氣動模式下的氣動參數表達式。而飛行記錄的時間較長，故有可能從飛行記錄的數據對非線性負阻尼極限環型的被激勵的錐形振蕩運動作出定量的評估。因此本文依據某飛行器的兩次飛行試驗記錄作角位移振蕩運動特性的定量分析，進而分析出現錐形振蕩運動的該飛行器角運動θ、Ψ 是否屬于自激振蕩引起的非線性負阻尼極限環型振蕩運動，從而論證非線性負阻尼極限環類型的氣動阻尼是否能夠導致飛行器動不穩定。

1 由飛行記錄給定的俯仰( θ)、偏航(Ψ)角位移-時間關系

一個無控、軸對稱外型的超聲速飛行器，飛行中記錄了固連于飛行器質心的坐標系ox1y1z1沿3 個坐標軸方向的角速度ωx，ωy，ωz，則固連坐標系與地面坐標系之間歐拉角的角速度有如下關聯方程［10］：

若已知t=t0時θ=θ0、Ψ=Ψ0、γ=γ0，則對方程組(1) 積分可獲得θ-t，Ψ-t 與γ-t。飛行記錄中t0時的初值θ0，Ψ0，γ0可能不準，但當討論軸對稱體關于θ、Ψ 的振蕩運動特性時，θ0，Ψ0的值對結果影響不大。

對于半固連于飛行器質心坐標系的測量系統，飛行記錄獲得的ωx，ωy，ωz與地面坐標系之間的歐拉角形式與式(1) 類似，其方程形式更為簡單。

圖1 和2 所示為某超聲速軸對稱外型無控飛行器的兩次飛行記錄的俯仰θ -偏航Ψ 角位移時間歷程。該時間歷程由半固連于飛行器質心坐標系的測量系統獲得，并且去除了重力對飛行軌跡的影響，因此在飛行時間段內，若飛行器維持在XOY 平面內飛行，則俯仰角θ、偏航角Ψ 可視同于迎角α 與β。軸對稱體可以近似地認為γ 值對θ、Ψ 方向運動的影響是可略去的。

圖1 第一次飛行記錄的俯仰( θ) -偏航( Ψ) 時間歷程Fig.1 θ-Ψ curves of the first flight

由圖1 和2 可以看出： 在起始的頭幾秒，如圖1( a) 、圖2( a) 所示，θ 和Ψ 的振幅均很快被激勵，且θ-Ψ 軌跡圖形無規律； 隨著時間的推移，振幅繼續增大，飛行記錄的θ-Ψ 時間歷程圖如圖1( b) 、圖2( b)所示近似為橢圓。考慮該飛行器飛行中振幅增大可能是由自激振蕩引起的非線性負阻尼極限環類型的氣動阻尼導致，因此采用下面的微分方程來描述θ 和Ψ 的角位移振蕩運動：

圖2 第二次飛行記錄的俯仰( θ) -偏航( Ψ) 時間歷程Fig.2 θ-Ψ curves of the second flight

2 非線性負阻尼極限環型振蕩運動的振幅外包絡線參數擬合解

常系數非線性微分方程(2) ，采用近似解的多尺度方法、平均法都能得到如下關系式：

設解θ=α( t) cos( ω0t+B( t) ) =α( t) cosφ( 這里

若在φ 的積分周期2π/ω0內，α( t) 、B( t) 近似是幾乎不變的量，則可得近似解

設t=t0時，α( t0) =αt0，對方程(5) 積分得

類似地，關于Ψ 可得到： Ψ = β( t) cos( ω0t + A( t) ) =β( t) cosφ1，設t=t0時，β( t0) =βt0

α( t) 、β( t) 是θ -t 或Ψ -t 振幅的外包絡線，給出飛行記錄曲線θ-t 或Ψ-t 中振幅的峰值α( ti) 、β( ti) ( i=0，1…約10 個點) ，則可通過對非線性組合的待定參數C11，αt0，Cm1或C22，βt0，Cn1作出擬合解，如圖3、4 所示。可以看到，兩次飛行記錄的俯仰方向圖3( a) 、4( a) 和偏航方向的圖3( b) 、4( b) ，擬合結果回代值與觀測值一致性均很好，表明擬合結果可信。數值結果見表1 和2。

圖3 非線性負阻尼極限環型振蕩外包絡線觀測值與擬合值( 第一次飛行數據)Fig.3 Comparison of observations and fitting results for outside envelope curve of non-linear negative damping limit cycle oscillation for the first flight

圖4 非線性負阻尼極限環型振蕩外包絡線觀測值與擬合值( 第二次飛行數據)Fig.4 Comparison of observations and fitting results for outside envelope curve of non-linear negative damping limit cycle oscillation for the second flight

3 非線性負阻尼極限環型氣動阻尼力矩的參數辨識

當θ-Ψ 時間歷程處于橢圓狀態時( 圖1( b) 和圖2( b) 所示狀態) ，根據θ -t、Ψ -t 的時間歷程( 又稱θ、Ψ 的觀測值) ，從運動方程(2) 出發，作氣動參數辨識，得到θ0及C00，Cm1，C11； 或Ψ0及C00，Cn1，C22；再由辨識求得的待定參數，計算出θ-t 或Ψ-t，稱為回代值，與飛行記錄觀測值對比，如圖5 和6所示。可以看到，兩次飛行記錄的俯仰方向圖5( a) 、圖6( a) 和偏航方向的圖5( b) 、圖6( b) ，辨識結果回代值與觀測值一致性均很好，表明辨識結果可信。數值結果見表1 和表2。

由于包絡線擬合對振蕩峰值的誤差較為敏感，而C11作為非線性阻尼項的高次項對于峰值的選取則更為敏感一些，因此由表1 和表2 可以看到，除第一次飛行數據結果中外包絡線擬合得到的C11與辨識結果稍有差異( 分別為380.735 與518.416) 外，由第一次、第二次飛行記錄參數辨識獲得的Cm1，C11或Cn1，C22與外包絡線公式(6) 、( 7) 出發作參數擬合獲得的Cm1，C11或Cn1，C22數值均較為接近。這說明采用兩種方法做定量分析所得的結果是一致的，因而對角位移振蕩運動所作的定量分析結果是可信的。4 個參數Cm1、C11、Cn1和C22數值可由表1 和表2 中數據確定，代入方程( 2) 中即可得到氣動阻尼力矩的典型表達式。由于定量分析得到的參數Cm1、C11、Cn1和C22全部大于零，且C00＜0，因而根據第1 節中所述的判據可知，角運動θ、Ψ 確實是屬于自激振蕩引起的非線性負阻尼極限環型振蕩運動，因而該錐形振蕩運動是由非線性負阻尼極限環型的氣動阻尼力矩所激勵。這說明非線性負阻尼極限環類型的氣動阻尼確實能夠導致飛行器動不穩定。

表1 第一次飛行數據及擬合、辨識結果Table 1 The first flight record and comparison of fitting and parameter identification results

表2 第二次飛行數據及擬合、辨識結果Table 2 The second flight record and comparison of fitting and parameter identification results

圖5 第一次飛行數據飛行記錄與參數辨識回代值Fig. 5 Comparison of flight record of the first flight and parameter identification results

圖6 第二次飛行數據飛行記錄與參數辨識回代值Fig.6 Comparison of flight record of the second flight and parameter identification results

4 結 論

從飛行記錄的俯仰角θ、偏航角Ψ 的觀測值θ -t、Ψ-t 出發，采用氣動參數辨識，及由觀測值θ-t、Ψ-t 的外包絡線通過參數擬合兩種分析方法，取得了非線性負阻尼極限環型氣動阻尼力矩典型表達式Cm1(1 -C11)或Cn1(1 -C22)中的氣動參數Cm1、Cn1以及C11、C22，證明該類錐形振蕩運動是典型的非線性負阻尼極限環型的振蕩運動。進而證明非線性負阻尼極限環類型的氣動阻尼能夠導致飛行器動不穩定。至少在一段可用平均動壓值近似描述的采樣區間內，阻尼氣動模式量化的表達式Cm1(1 -C11)可為地面仿真、優化控制提供。

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