基于耐撞性的多學科近似模型預測精度研究

吳光強　郭建波

摘 要：以整車100%正面碰撞有限元模型為基礎研究了三種近似模型的預測精度，分析并選取前部結構中對汽車碰撞安全性影響較大的12個部件厚度為變量，利用最優拉丁超立方試驗設計方法生成80個樣本數據并進行計算，應用多學科優化中常用的二次多項式響應面（Quadratic Polynomial Response Surface， QPRS）、Kriging以及徑向基函數（Radial Basis Function，RBF）三種近似方法分別對選取部件的總質量、吸收總能量、B柱最大加速度和踏板侵入量建立近似模型。結果表明：RBF近似方法對部件總質量、吸收總能量、B柱最大加速度預測精度高于其他兩種方法，Kriging近似方法對踏板侵入量預測模型具有較好的精度，QPRS近似方法適合于部件總質量的近似建模。

關鍵詞：耐撞性；二次多項式響應面模型；Kriging模型；RBF模型；預測精度

中圖分類號：U462.2 文獻標志碼：A 文章編號：1005-2550（2014）02-0006-07

隨著社會經濟的發展，汽車保有量的增加導致交通事故不斷增加，因此汽車安全性受到了前所未有的重視。在整車碰撞安全性設計過程中，有限元分析方法已經得到了廣泛的應用。雖然隨著計算機的硬件與軟件水平的提高，有限元分析方法已經成為解決汽車碰撞安全性的重要手段，但是傳統的有限元優化方法主要是建立在設計人員經驗之上，難以找到整車碰撞性能的最優解[1]。近些年來發展起來的多學科優化設計可以通過試驗設計方法（Design of Experiment， DOE）減少試驗數量，通過在設計空間內建立響應面或者類似的近似模型對整車碰撞性能進行優化，找到整車碰撞安全性的最優解。

在過去十年已有許多研究人員對多學科近似模型在整車正面碰撞安全性中的應用進行了研究。其中Shujuan Hou[2]利用二次多項式響應面模型對整車正面碰撞進行優化；王國春[3]利用Kriging模型對汽車前部結構的耐撞性進行了優化；陳國棟[4]利用徑向基函數對整車正面碰撞進行了多學科的優化；F. FANG[5]對二次多項式響應面和RBF模型在整車正面碰撞中的預測精度進行了比較；J. Forsberg[6]利用響應面模型和Kriging模型對防撞梁結構進行了優化。在已有的研究中，大部分研究人員只是將單一或者兩種近似模型應用到整車的正面碰撞中進行預測精度的研究，而對于常用的三種近似模型預測精度以及三種建模方法的適用范圍沒有進行詳細的對比研究。

本文根據整車正面碰撞過程中零部件的總吸能和吸能密度大小選取了前部結構的12個零件（8個變量），利用最優拉丁超立方試驗設計方法進行了80組數據采樣，選取了正面碰撞中使用較多的三種多學科近似模型：二次多項式響應面、Kriging以及RBF模型分別對12個部件總質量、吸收總能量、B柱最大加速度以及踏板侵入量值構造近似模型，比較了三種近似模型的預測精度，分析得到三種近似模型在整車正面碰撞時的適用范圍。

1 三種近似模型的基本理論

1.1 多項式響應面模型

多項式響應面（Polynomial Response Surface，PRS）

最初被應用于物理試驗的擬合，后來在結構優化領域得到應用。利用回歸分析和方差分析決定設計變量和響應間的關系。在多項式響應面模型中常用的主要有可以提供設計變量和響應之間的顯式關系的一次和二次多項式響應面模型。本文中將采用二次多項式響應面模型，其矩陣表達式為：

（1）

式中：f=[f1 f2…fn]T為響應量組成的向量；

為所有基函數組成的矩陣；

β=[β1 β2…βm]T為所有基函數系數組成的向量，其中m為待定系數的個數，n為樣本點的數量。

利用最小二乘法可求出向量β ：

（2）

1.2 Kriging模型

Kriging是一種距離加權的插值近似方法，它以已知樣本信息的動態構造為基礎并充分考慮到變量在空間上的相關特征，通過建立對象問題的近似函數關系來預測未知點。Kriging模型有兩部分組成：其矩陣表達式為：

（3）

式中：f=[f1 f2…fm]，β=[β1 β2…βm]T，m為基函數（如常數項、一階或二階多項式）的數目；Y是矩陣x的已知函數；β為基函數系數的矢量；Z為隨機分布的誤差，其均值為0，方差為σ2，協方差為：

（4）

式（3）中fβ表示設計空間中的全局模型，類似于響應面中的多項式模型。式（3）中的Z用于建立偏離fβ的模型，因此整個模型對試驗設計產生的樣本點進行插值。

1.3 徑向基函數模型

徑向基函數神經網絡，簡稱徑向基函數（Radial Basis Function，RBF），是以徑向函數通過基函數線性疊加構造的模型。徑向基的矩陣形式為：

（5）

式中：f=[f1 f2…fn]T；Ai，j=φ（‖xi-xj‖）（i=1，2…n， j=1，2…n），‖x-xi‖為歐幾里德（Euclidean）距離，φ為基函數；λ=[λ1λ2…λn]T 為基函數系數，n為樣本點數量。

徑向基函數近似模型的特性很大程度上依賴于基函數，常用的基函數有薄板樣條函數（Thin-plate spline）、高斯函數（Gaussian）、多二次函數（Multiquadric）、逆多二次函數（Inverse multiquadric）。當采用高斯或逆多二次函數時，預測模型具有局部估計的特點，而采用薄板樣條或者多二次函數時，模型具有全局估計的特點。

2 試驗設計方法

試驗設計中樣本點的選取與近似模型的精度具有相關性，合理的安排試驗才能以最少的試驗次數最真實的反應設計對象隨設計變量的變化趨勢。endprint

本文所采用的試驗設計方法為最優拉丁超立方設計（Optimal Latin hypercube design，OLHD），OLHD是在采樣空間中將每一個設計變量分成n個間隔（水平），首先在每個變量的n個等間隔中隨機選取一個不重復的間隔，按均勻分布隨機產生一個樣本點，循環n次，即可得到n個樣本點。與其他傳統的試驗設計方法相比，最優拉丁超立方設計使所有的試驗點盡量均勻地分布在設計空間，尤其是對于小樣本設計具有非常好的的空間填充性和均勻性[7]。圖1為利用拉丁超立方設計（LHD）與OLHD對兩因素9水平問題的研究，觀察9個采樣點的分布，可以發現OLHD在設計空間內分布更均勻，在同樣條件下減少試驗設計的樣本數量。

a）隨機拉丁超立方 b）最優拉丁超立方

圖1 隨機拉丁超立方設計和最優拉丁超立方設計

3 常用誤差分析指標

近似模型的預測精度直接影響多學科最優解的有效性。模型精度越高，基于近似模型的多學科優化最優解的可信度也越高。所以，建立近似模型后需要對近似模型的整體精度進行評價，常用評價指標有確定性系數（Coefficient of Determination，R2）、均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE），其數學表達式如下：

（6）

或：

（7）

（8）

式中：yi為測試樣本點的實際響應值；yi為近似模型的預測值；yi為實際響應值的均值；ntest為測試樣本的數量。

4 實例應用及結果分析

4.1 整車正面碰撞有限元模型

圖2 整車碰撞有限元模型

本文使用整車有限元模型進行正面100%重疊剛性壁障碰撞仿真，整車質量1.665 t，包含105萬個單元和93萬個節點。整車以56.5 km/h的速度撞擊剛性墻。在不影響分析結果的條件下為了減少整車碰撞有限元模型的計算時間將原來的計算時間由150 ms縮短為100 ms。整車有限元模型如圖2所示。

4.2 設計變量與設計響應量選擇

汽車的正面碰撞必須滿足相關的國家法規，而且隨著消費者對汽車安全性的重視，更加嚴格的新車評價標準（New Car Assessment Program，NCAP）已經成為消費者選擇汽車的一個重要參考指標。根據NCAP的評價指標，整車在正面碰撞過程中，應該使前部結構能充分變形，最大可能的吸收能量，降低B柱的加速度最大值。同時為了滿足汽車輕量化的要求，在設計過程中不能過多的增加吸能部件總質量。

表1 變量的初始值以及上下限

圖3 設計變量

依據碰撞中變形與吸能最大的原則，在原車碰撞有限元模型中根據零部件吸能總能量和吸能密度大小兩種原則選取了車身前部的12個部件的8種板料厚度（對稱部件用一個厚度變量）作為正面碰撞的設計變量，所選擇的8個變量初始值及上下限如表1所示，變量對應的零部件位置如圖3所示。根據乘員安全性和車身輕量化原則，文中以12個部件總質量m、吸收總能量E、B柱最大加速度值aB以及踏板侵入量In為碰撞后的響應值。

4.3 模型預測精度分析

由于整車碰撞有限元模型的計算成本較高，采用最優拉丁超立方試驗設計方法對設計空間進行了10n（小樣本）次采樣，其中n為設計變量個數，最后共計選取了80組訓練樣本點。

每個訓練樣本點應用LS-DYNA軟件進行計算，每次正面碰撞有限元模型計算仿真耗時約10小時左右，經過800小時的計算得到全部訓練樣本點的仿真結果。對80組訓練樣本點的仿真結果提取整車正面碰撞部件總質量m，吸收總能量E、B柱最大加速度aB以及踏板侵入量In，利用二次多項式響應面、Kriging以及RBF模型對三種響應量分別建立近似模型，得到12組近似模型。

由于Kriging是一種精確的插值技術，模型精確通過樣本點[3]，而根據RBF的定義，RBF也具有相同的特性[5]，所以這兩種模型在訓練樣本點處的擬合誤差基本為0。故若對三種模型進行預測精度的評估，需額外選取檢測點對模型的預測精度進行評價。本文在80組訓練樣本點之外隨機選取了15組數據進行近似模型預測精度的評價。

通過15組檢測點得到12組近似模型的確定性系數R2以及均方根誤差RMSE，12組近似模型的預測值與有限元模型計算出來的實際值的分布如圖4所示。對于確定性系數R2的值越接近1，近似模型的預測精度越高，而對于均方根誤差RMSE的值越小，模型的精度越高。在表2中列出了通過15個檢測點得到的近似模型對四種響應量的R2和RMSE值。

從圖4中的樣本點分布可以看出，對于三種類型的近似模型，部件總質量m的預測精度最高，吸收總能量E與B柱最大加速度aB次之，踏板侵入量In精度最差，從表2的數據上也可以得出相同的結論。分析原因主要是因為前部結構質量m完全取決于12個部件的厚度，所以與變量之間主要成線性關系；而對于吸收總能量E不僅與零部件的厚度有關系，且與部件的形狀有一定的關系，所以其具有弱非線性的特征；而影響車身B柱最大加速度aB和踏板侵入量In的因素最多，呈現出了強非線性的特性，所以可以得到三種近似模型對于響應量的預測精度會隨著非線性程度的增強而出現下降的趨勢，在圖4中的表現為隨著非線性程度的增加，檢測樣本點沿著直線兩側的分布更加分散。

從三種近似模型對于部件總質量m的預測精度中可以看出，RBF與二次多項式響應面的預測精度高于Kriging模型，從圖4中可以看到RBF和二次多項式響應面模型樣本點基本分布在直線之上。分析原因主要是由于RBF模型對于樣本點具有較強的容錯功能，即使樣本中含有“噪聲”輸入，也不會影響網絡的整體性能，而二次多項式響應面模型近似過程中并不是通過每個樣本點，也同樣具有過濾噪點的功能，但是Kriging模型需要通過每個樣本點，所以對于樣本中的噪點不具有過濾功能。endprint

對于零部件吸收總能量E，隨著非線性程度的增加，三種近似模型的預測精度都有所降低，但是Kriging模型的預測精度相對于其他兩種近似模型預測精度相對會增加。

B柱最大加速度aB和踏板侵入量In具有強非線性的特點，從預測精度的值可以看出，RBF預測精度最好，Kriging其次，而且Kriging模型的預測精度已經更加接近RBF模型的精度，尤其在踏板侵入量的預測精度中已超越RBF的預測精度，但二次多項式響應面的預測精度最差，從圖4的分布上也可以得出這樣的結論。

通過以上分析，可以得出以下相應的結論，在多維度小樣本的條件下，文中選擇的三種近似模型中，RBF模型在線性、弱非線性和強非線性的情況下都具有較好的預測精度，這與R. Jin[8]所得到的結論相同；Kriging模型在弱非線性和強非線性的預測精度次于RBF模型，二次多項式響應面模型在線性情況下具有較好的預測精度。

表3 三種近似模型適用范圍

考慮到構建三種近似模型所需的時間：RBF最長，Kriging模型次之，二次多項式模型時間最短，對于B柱最大加速度aB近似建模二次多項式時間約為0.5 s，Kriging約為1.7 s，RBF約為35 s。所以在構建部件總質量m近似模型時可以考慮使用二次多項式模型，在建立吸收總能量E和B柱最大加速度aB近似模型時可以考慮使用RBF近似模型來提高預測的精度。三種模型的適用范圍如表3所示。

5 結論

本文結合最優拉丁超立方試驗設計方法、三種近似模型構建方法以及整車正面碰撞有限元模型，分析了三種近似模型在整車正面碰撞中的預測精度使用范圍，得出以下結論：

（1）隨著響應量非線性程度的增加，三種近似模型的預測精度都會降低，QPRS近似方法的降低程度最大；

（2）在討論的三種近似方法中，RBF方法在三種響應量的近似建模中預測精度都比較好，Kriging方法在吸收總能量E和B柱最大加速度aB近似中精度小于RBF方法但是高于QRPS方法，Kriging模型適用于踏板侵入量In建模，QRPS方法只有在建立部件總質量m時具有較高的精度；

（3）綜合考慮三種方法的建模精度和建模時間兩個因素，得到在整車100%正面碰撞工況下RBF方法適合于建立B柱最大加速度aB和吸收總能量E模型，Kriging適用于建立踏板侵入量模型，QPRS適合于建立部件總質量m模型。

參考文獻：

[1]張勇，李光耀，鐘志華.基于移動最小二乘響應面法的整車輕量化設計優化[J].機械工程學報，2008， 44（11）：192-196.

[2]Shujuan Hou， Duo Dong， Lili Ren， et al. Multivariable crashworthiness optimization of vehicle body by unreplicated saturated factorial design[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2012， 46（6）：891-905.

[3]王國春，成艾國，胡朝輝，等.基于Kriging模型的汽車前部結構的耐撞性優化[J].汽車工程，2011， 33（3）：208-212.

[4]陳國棟，韓 旭，劉桂萍，等.基于自適應徑向基函數的整車耐撞性多目標優化[J].中國機械工程，2011，22（40）：488-493.

[5]H Fang， M Rais-Rohani， Z Liu， M F Horstemeyer. A comparative study of metamodeling methods for multiobjective crashworthiness optimization[J]. Computers & Structures， 2005， 83（25-26）：2121-2136.

[6]J.Forsberg， L.Nilsson. On polynomial response surfaces and Kriging for use in structural optimization of crashworthiness[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2005， 29（3）：232-243.

[7]Xingtao Liao， Qing Li， Xujing Yang， Weigang Zhang， Wei Li. Multiobjective optimization for crash safety design of vehicles using stepwise regression model [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2008， 35（6）：561-569.

[8]R Jin， W Chen， T W Simpson. Comparative studies of metamodelling techniques under multiple modeling criteria[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2001， 23（1）：1-13.endprint

對于零部件吸收總能量E，隨著非線性程度的增加，三種近似模型的預測精度都有所降低，但是Kriging模型的預測精度相對于其他兩種近似模型預測精度相對會增加。

B柱最大加速度aB和踏板侵入量In具有強非線性的特點，從預測精度的值可以看出，RBF預測精度最好，Kriging其次，而且Kriging模型的預測精度已經更加接近RBF模型的精度，尤其在踏板侵入量的預測精度中已超越RBF的預測精度，但二次多項式響應面的預測精度最差，從圖4的分布上也可以得出這樣的結論。

通過以上分析，可以得出以下相應的結論，在多維度小樣本的條件下，文中選擇的三種近似模型中，RBF模型在線性、弱非線性和強非線性的情況下都具有較好的預測精度，這與R. Jin[8]所得到的結論相同；Kriging模型在弱非線性和強非線性的預測精度次于RBF模型，二次多項式響應面模型在線性情況下具有較好的預測精度。

表3 三種近似模型適用范圍

考慮到構建三種近似模型所需的時間：RBF最長，Kriging模型次之，二次多項式模型時間最短，對于B柱最大加速度aB近似建模二次多項式時間約為0.5 s，Kriging約為1.7 s，RBF約為35 s。所以在構建部件總質量m近似模型時可以考慮使用二次多項式模型，在建立吸收總能量E和B柱最大加速度aB近似模型時可以考慮使用RBF近似模型來提高預測的精度。三種模型的適用范圍如表3所示。

5 結論

本文結合最優拉丁超立方試驗設計方法、三種近似模型構建方法以及整車正面碰撞有限元模型，分析了三種近似模型在整車正面碰撞中的預測精度使用范圍，得出以下結論：

（1）隨著響應量非線性程度的增加，三種近似模型的預測精度都會降低，QPRS近似方法的降低程度最大；

（2）在討論的三種近似方法中，RBF方法在三種響應量的近似建模中預測精度都比較好，Kriging方法在吸收總能量E和B柱最大加速度aB近似中精度小于RBF方法但是高于QRPS方法，Kriging模型適用于踏板侵入量In建模，QRPS方法只有在建立部件總質量m時具有較高的精度；

（3）綜合考慮三種方法的建模精度和建模時間兩個因素，得到在整車100%正面碰撞工況下RBF方法適合于建立B柱最大加速度aB和吸收總能量E模型，Kriging適用于建立踏板侵入量模型，QPRS適合于建立部件總質量m模型。

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[8]R Jin， W Chen， T W Simpson. Comparative studies of metamodelling techniques under multiple modeling criteria[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2001， 23（1）：1-13.endprint

對于零部件吸收總能量E，隨著非線性程度的增加，三種近似模型的預測精度都有所降低，但是Kriging模型的預測精度相對于其他兩種近似模型預測精度相對會增加。

B柱最大加速度aB和踏板侵入量In具有強非線性的特點，從預測精度的值可以看出，RBF預測精度最好，Kriging其次，而且Kriging模型的預測精度已經更加接近RBF模型的精度，尤其在踏板侵入量的預測精度中已超越RBF的預測精度，但二次多項式響應面的預測精度最差，從圖4的分布上也可以得出這樣的結論。

通過以上分析，可以得出以下相應的結論，在多維度小樣本的條件下，文中選擇的三種近似模型中，RBF模型在線性、弱非線性和強非線性的情況下都具有較好的預測精度，這與R. Jin[8]所得到的結論相同；Kriging模型在弱非線性和強非線性的預測精度次于RBF模型，二次多項式響應面模型在線性情況下具有較好的預測精度。

表3 三種近似模型適用范圍

考慮到構建三種近似模型所需的時間：RBF最長，Kriging模型次之，二次多項式模型時間最短，對于B柱最大加速度aB近似建模二次多項式時間約為0.5 s，Kriging約為1.7 s，RBF約為35 s。所以在構建部件總質量m近似模型時可以考慮使用二次多項式模型，在建立吸收總能量E和B柱最大加速度aB近似模型時可以考慮使用RBF近似模型來提高預測的精度。三種模型的適用范圍如表3所示。

5 結論

本文結合最優拉丁超立方試驗設計方法、三種近似模型構建方法以及整車正面碰撞有限元模型，分析了三種近似模型在整車正面碰撞中的預測精度使用范圍，得出以下結論：

（1）隨著響應量非線性程度的增加，三種近似模型的預測精度都會降低，QPRS近似方法的降低程度最大；

（2）在討論的三種近似方法中，RBF方法在三種響應量的近似建模中預測精度都比較好，Kriging方法在吸收總能量E和B柱最大加速度aB近似中精度小于RBF方法但是高于QRPS方法，Kriging模型適用于踏板侵入量In建模，QRPS方法只有在建立部件總質量m時具有較高的精度；

（3）綜合考慮三種方法的建模精度和建模時間兩個因素，得到在整車100%正面碰撞工況下RBF方法適合于建立B柱最大加速度aB和吸收總能量E模型，Kriging適用于建立踏板侵入量模型，QPRS適合于建立部件總質量m模型。

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[8]R Jin， W Chen， T W Simpson. Comparative studies of metamodelling techniques under multiple modeling criteria[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2001， 23（1）：1-13.endprint