RLS算法理論分析及研究＊

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1 引言

RLS（Recursive Least Square）算法，即遞推最小二乘法，在信號處理領域有廣泛的運用。此算法具有優異的未知參數跟蹤能力和快速的收斂性能。圖1是最小二乘算法（Least Square，LS）的 原理圖，w［n］表示在第n時刻的權向量。假設在第n時刻，已經輸入n＋1組信號x［0］，x［1］，…，x［n］，同時輸入n＋1個比較信號d［0］，d［1］，…，d［n］，那么輸出n＋1個誤差信號是［1］：

圖1 LS算法原理圖

令

2 LS數學模型

這里，0＜λ≤1，稱作遺忘因子（減少舊數據的影響）。為了求出最優權向量wopt，引入如下M×（n＋1）矩陣（M表示陣元數目）

和對角矩陣

那么

根據

得到

3 RLS算法

從wopt的表達式可以看出，如果直接計算wopt，不僅涉及到矩陣求逆，還隨著時間的推移，各種矩陣的維數變得越來越大，最終導致計算量的急劇增加。針對這個問題，提出一種遞推的計算方法就十分合理了。遞推最小二乘算法（RLS）正是針對上述缺點提出的計算方法［3］。

基于RTDS與QualNet的電網和通信網半實物聯合仿真系統//童和欽,倪明,李滿禮,司慶華,繆源誠,龔鵬//(8):149

為了方便敘述，令

那么

那么根據矩陣求逆引理，

經過計算推導，RLS算法公式如下述：

4 RLS算法收斂性質

4．1 線性回歸模型

設（Ω，F，P）是基本概率空間，F是事件域，P是概率測度。術語“Ω上的隨機變量X”是指X：Ω→｛所有實數｝是Ω上的可測函數，即每個Borel集B的原像集X-1（B）∈F；術語“離散時間隨機過程”就是由整數指定的隨機變量序列｛Xn｝。當用隨機變量來描述隨機信號時，指標n通常是指時間［4］。

設Yn和υn是隨機過程（注意υn是零均值的隨機過程，即E（υn）＝0），Xn是隨機過程向量，比如

如果存在常系數w1，…，wM，使得

那么這樣的數學模型就稱作線性回歸模型（Linear Regression Model），常系數w1，…，wM就稱作回歸系數，υn稱作誤差過程。通常假定是白噪聲過程。如果令

那么線性回歸模型就可以用向量表示，即

4．2 濾波器系統模型

假定圖2的濾波器系統比較信號d［n］和輸入信號x［n］滿足線性回歸模型

式（12）中，eo［n］是誤差隨機過程，是白噪聲，即［5］：

令

那么

所以

4．3 無偏估計

根據LS 算法數學模型，wopt［n］是隨機過程。針對隨機過程wopt［n］，通常首先考察它的期望E（wopt［n］）。注意到［6］：

那么

所以wopt［n］是wo的無偏估計（Unbiased Estimation）。

4．4 自協方差矩陣

由于wopt［n］是隨機過程，那么不僅要保證它的期望是無偏估計，還要考察它在期望附近的波動情況，即要考察它的自協方差矩陣。為了研究自協方差矩陣，首先令［7］：

那么自協方差矩陣

那么

為了估計Trace（P［n］），假定輸入信號x［n］是各態歷經的平穩信號，那么可以證明當n足夠大的時候

這里，Rxx是輸入信號自相關矩陣，即［8］：

Δ［n］是零均值的Hermite可逆矩陣，即：

那么

可以得到

這里‖A‖表示矩陣A的某種范數。那么成立

所以相關矩陣的最小特征值越大，收斂性越好，并且λ越接近1，收斂性越好。

5 RLS算法仿真

圖2 不同Lamda值對比圖

利用RLS-Systolic模型來進行抗干擾仿真。分別對λ＝0．9、1、0．99三種情況進行仿真，仿真天線陣元數目M＝4，干擾數目L＝2。圖2為仿真對比圖［9］。

從圖2可以看出，Lamda越接近1，收斂情況越好，表現出干擾抑制深度越好。

圖3是RLS和LMS收斂速度對比圖，從圖中可以看出RLS收斂速度要比LMS收斂速度快很多。

圖3 RLS和LMS收斂速度對比圖

6 結語

綜上所述，RLS算法具有優異的未知參數跟蹤能力和快速的收斂性能。通過對RLS算法研究方法的進一步匯總，以及更深入的數學探討，提出了相應性質的估計。這些性質估計表達式揭示了RLS算法的特性，可用來指導工程實踐［10］。

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［6］熊智，劉建業，林雪原，等．激光陀螺捷聯慣性導航系統中慣性器件誤差補償技術［J］．上海交通大學學報，2003，37（11）：1795-1799．

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［8］王海．光纖陀螺溫度影響與誤差補償［J］．北京航空航天大學學報，2007，33（5）：549-551．

［9］郭創，張宗麟，王金林，等．激光陀螺溫度特征點選擇及其補償［J］．光電工程，2006，33（6）：130-134．

［10］陳凱亞，王敏錫．二階伏特拉濾波器RLS 算法改進［J］．電子科技大學學報，2005，34（4）：467-469．