兩種自適應噪聲抵消算法的性能仿真＊

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1 引言

傳統(tǒng)濾波器如經(jīng)典的維納濾波器、卡爾曼濾波器，在進行噪聲消除等一系列信號處理過程時，均要求已知信號和隨機噪聲的相關函數(shù)或功率譜密度等統(tǒng)計先驗知識。而自適應濾波器可以跟隨輸入信號和噪聲特性自動調整參數(shù)，不需要事先得知噪聲統(tǒng)計特性，因此日益受到重視。各種自適應算法層出不窮，并在硬件平臺上實現(xiàn)，其優(yōu)異性能已經(jīng)得以驗證。自適應噪聲抵消系統(tǒng)（Adaptive Noise Cancellation，ANC），就是將自適應濾波器應用于噪聲消除的延伸和拓展。尤其對于強背景噪聲中的弱信號檢測與恢復，有著傳統(tǒng)濾波方法所不能比擬的優(yōu)越性［1～3］。

2 自適應噪聲抵消的原理和算法

在自適應濾波器中，若x（n）、y（n）分別為n時刻的輸入、輸出信號，d（n）為期望響應，e（n）為誤差信號，即e（n）＝d（n）-y（n），參數(shù)會根據(jù)事先確定的某種最佳準則和e（n）的值而自動調整，使輸出信號y（n）更加接近d（n）。濾波器濾波效果的關鍵在于所采用自適應算法的優(yōu)劣。LMS算法基于最小均方誤差準則，收斂后的濾波器權系數(shù)向量滿足使輸出信號與期望響應之間的均方誤差最小的要求。它采用梯度最陡下降法，在迭代的每一步根據(jù)實時數(shù)據(jù)估計梯度矢量，按照設定的步長更新權系數(shù)值，直到找到使輸出信號和期望響應之間均方誤差最小的權值為止［2～4］。

以權值為w（n）的橫向濾波器為例，LMS算法的迭代公式為w（n＋1）＝w（n）＋2μe（n）x（n），其中μ＞0，稱為收斂因子，即自適應迭代的步長。而為了降低輸入信號功率對自適應濾波性能的影響，歸一化LMS算法（或稱NLMS算法）將步長或收斂因子μ除以輸入信號的方差，相應的迭代公式［4～5］為w（n＋1）＝w（n）＋因此NLMS算法的流程與LMS算法基本相同，只是在更新權系數(shù)向量前要計算方差的估計值。

自適應噪聲抵消系統(tǒng)的核心部分是自適應濾波器和合適的濾波算法。自適應濾波器有兩路輸入，一路為原始輸入，另一路為參考輸入，不存在期望響應信號。將被噪聲污染的有用信號接到原始輸入端，從噪聲源提取的噪聲接到參考輸入端，這樣自適應濾波器就根據(jù)參考輸入的噪聲估計出混合信號里的噪聲，再和原始輸入端的信號進行抵消，從而恢復出有用信號，達到濾除噪聲的目的［6～10］。

3 LMS和NLMS算法的仿真分析

接下來在Matlab中編寫程序，使用LMS算法和NLMS算法來進行噪聲抑制的仿真分析對比，并探討各種參數(shù)的變化對算法性能的影響。

首先，設定濾波器階數(shù)為4，步長為0．01，有用信號是載波頻率40Hz，幅度為1 的MSK 信號s（n），待抵消的噪聲和參考輸入均為同一路服從高斯分布的隨機白噪聲序列n0（n），功率為1。經(jīng)過2000次迭代運算，仿真結果如圖1所示。

圖1 LMS算法的噪聲抵消效果

圖中曲線a為原始輸入信號x（n）＝s（n）＋n0（n），b為噪聲抵消器的輸出信號y（n），c為有用信號s（n），d則為噪聲抵消器的均方誤差，即E｛［y（n）-s（n）］2｝。可以清楚地看出，已經(jīng)被噪聲嚴重污染的信號經(jīng)過自適應噪聲抵消系統(tǒng)后，有用信號被全部保留下來，而絕大部分噪聲得到了有效的抑制。雖然與純粹的MSK 信號相比，輸出信號波形還有少許毛刺，說明少量殘余噪聲仍然沒被消除，但是殘余噪聲功率很小，經(jīng)過2000次迭代后，輸出信號與有用信號的誤差均方值基本趨于0。

圖2 步長變化時的均方誤差曲線

然后，可以通過修改LMS自適應算法的參數(shù)，討論其對濾波器性能的影響。

1）輸入信號和濾波器其他參數(shù)不變，步長因子分別為0．001、0．005和0．01時，均方誤差曲線如圖2所示，反映出步長的選擇對自適應算法的各項性能影響很大，當步長因子從0．001 變到0．01后，達到穩(wěn)定狀態(tài)的迭代次數(shù)從1200次迅速降為200次，自適應算法的學習時間也大為降低，但是這種收斂速度的提高是以犧牲穩(wěn)態(tài)時的均方誤差為代價的。步長的加大造成濾波器最后失調系數(shù)的增加，濾波器消除噪聲的效果也略有下降。

2）其他條件不變，步長因子為0．01，濾波器的階數(shù)分別為4、8、16時，均方誤差曲線如圖3所示。當步長固定不變時，隨著濾波器所采用階數(shù)的增加，系統(tǒng)達到穩(wěn)定收斂狀態(tài)的均方誤差也在提高，相應的自適應學習時間也不斷拉長，使得濾波器的性能惡化。

圖3 均方誤差與濾波器階數(shù)之間的關系曲線

3）將參考輸入噪聲換成另外一路Matlab隨機生成的高斯白噪聲序列，其余條件不變，經(jīng)過仿真，濾波效果如圖4所示。

圖4 兩路輸入噪聲不相關時的系統(tǒng)性能

圖4中的四個子圖從上到下依次表示原始輸入端、輸出端信號、有用信號和濾波器均方誤差曲線。可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過自適應噪聲抵消系統(tǒng)，噪聲不僅一點沒有被清除或削弱，反而有增強的趨勢。這是因為兩路不相關的高斯白噪聲實際上統(tǒng)計獨立，參考輸入端的信號和待抵消的噪聲分量一點也不相關，自適應濾波器就不能夠將其加工成待抵消的噪聲來和原始輸入信號相減。這個例子充分說明了自適應噪聲抵消系統(tǒng)能正常工作的一個必要條件就是參考輸入端信號一定要與原始輸入信號中的噪聲相關。相反，如果參考輸入端的信號不僅與噪聲相關，還和有用信號有一定的相關性，再次進行仿真，保持其余條件不變，只將原來的參考輸入噪聲再疊加cos（πt／2Ts），Ts是有用MSK 信號的碼元持續(xù)時間，由于MSK 被認為可以分解成兩路正弦加權的OQPSK 信號之和，cos（πt／2Ts）正是其加權函數(shù)。通過這樣的方式，建立起與有用信號相關的參考輸入噪聲。最后抵消的結果如圖5所示，雖然原始輸入中的白噪聲絕大部分已經(jīng)清除掉，但是濾波器也削弱了有用信號，最后輸出的波形與純粹的MSK 相比，有很明顯的失真，收斂后的均方誤差值一直保持在0．5以上，并無遞減趨于0的勢頭。因此參考噪聲的選取是否恰當是影響系統(tǒng)消噪效果的一個關鍵問題。

圖5 參考噪聲與有用信號相關時的消噪效果

當原始輸入為幅度均為1的MSK 信號和噪聲n0＝cos（1．24t）的混合信號，參考輸入噪聲幅度是n0的5倍，但相位比n0領先π／4，即n1＝5cos（1．24t＋π／4），這樣，輸入信號的自相關矩陣就與白噪聲時的對角線矩陣有一定差別，濾波器階數(shù)為4，步長均為0．01，NLMS算法的φ值設定為0．001，經(jīng)過2000次迭代，采用LMS 和NLMS 算法的自適應噪聲抵消系統(tǒng)消噪效果分別如圖6和7所示，兩張圖中四幅子圖曲線所代表含義與圖5相同。觀察這兩張圖片，可以很明顯地發(fā)現(xiàn)LMS算法的輸出信號與有用信號相差很大，基本上被噪聲完全破壞掉，根本無法從中檢測出有用信號，而且均方誤差在經(jīng)過一定時間的迭代后，維持在0．5左右出現(xiàn)振蕩，不能進一步收斂于某一固定值。相比之下，NLMS算法可以成功提取出有用信號，收斂速度很快，300次迭代后的輸出信號與原始輸入的MSK信號幾乎毫無差別，均方誤差的收斂性尤其出色，800次迭代后開始趨于0。這反映出NLMS 算法由于采用了變步長，自適應過程中隨著輸入信號的變化而控制步長，加快了收斂速度，降低了失調系數(shù)。

圖6 LMS算法的噪聲抵消效果

4 結語

1）由LMS算法的原理可知，影響其性能的因素主要有自適應步長和輸入信號自相關矩陣的跡。自適應時間反比于步長，失調系數(shù)與步長成正比［3～7］。當參考輸入信號確定時，其自相關矩陣的特征值就與濾波器的實現(xiàn)階數(shù)有關。濾波器階數(shù)越多，其自相關矩陣的跡就越大，失調系數(shù)越高，而權向量數(shù)目的增多也延緩了其平均收斂速度，使得自適應學習過程變長。所以當別的參數(shù)固定不變時，增大濾波器的階數(shù)會造成濾波器性能的惡化。上面的仿真實驗也充分說明了這一點。

2）當待抵消的噪聲為白噪聲時，LMS 和NLMS算法的濾波效果可能旗鼓相當，但是當輸入噪聲為有色噪聲，且功率很大時，NLMS算法的優(yōu)勢很明顯，LMS算法則存在梯度噪聲被放大，失真度高的問題。

3）為使自適應噪聲抵消系統(tǒng)性能達到最佳，選取合適的參考輸入信號是關鍵，要求其與原始輸入中的噪聲有較大相關性，而與有用信號完全不相關。

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