用函數思想指導高中數學解題

張百香

摘 要： 函數思想即以函數性質、函數理念作為基本出發點分析、轉化和解決數學問題.函數思想本質上屬于數學思想中的一種常見類型，在數學教學實踐活動中起著橫向聯系之功效，有助于分析與解決高中數學難題.文章強調以函數思想為指導思想，指導高中數學方程式、不等式，以及數列等知識內容的解題程序，以期能夠成為高中數學解題教學的參考標準.

關鍵詞： 函數思想 高中數學解題 方程式 不等式 數列

函數思想本身屬于數學中較重要的一種思想，在高中數學解題教學中起著舉足輕重的作用.函數貫穿高中數學的始終，近幾年各地高考均加大了函數知識的考查范圍與比例，因此建議教師把函數思想視作高中數學解題教學的主線.

1.函數思想指導高中數學方程式解題程序

方程式即包含未知數的一個等式，且含有一個或多個未知數，是對未知量及已知量之間實際數量關系的直接表述.盡管方程式與函數的基本概念存在著差異，但同時也具有必然聯系.若能用解析式直接表示函數，則可將其視作方程式.以函數思想指導方程式解題，可將函數視作一個已知量，且該已知的函數值為零，即可轉化成一個方程式，或者是把一個方程式視作兩個相同的函數，實現以函數問題代替方程問題的目標，那么所求方程的解即為函數圖像中的交點[1].對于高中數學方程式，在解方程環節，針對方程式較復雜的題目，以常規方式解題通常需要花費較多時間，難度也相對較大，不僅學生難以掌握，經常會在同樣的環節出錯，而且給教師開展教學活動帶來一定的難度.鑒于此，若借由函數思想，以函數性質、函數圖像作為參考標準解題，則能夠在短時間內達到解題目的，同時其準確性也相對較高.

比如，在方程式中，已知lgx+x=2的根為x■，10■+x=2的根為x■，需要求解x■+x■.那么在求解x■+x■時，若單純分割方程和函數，則無法直接達到解題目標.主要由于該方程式由指數函數、線性函數和對數函數構成，因此借由函數思想畫出函數圖像之后，其圖像交點即為方程的解.由此可見，把方程式轉換為lgx=2-x，10■=2-x之后，建立直角坐標系，即可發現方程的解即為三個函數相交的兩個點.

2.函數思想指導高中數學不等式解題程序

函數思想指導高中數學解題時，必須創建數學模型，且該數學模型應當表明兩個變量之間的關系，將其用作指導高中數學不等式解題，具有較高可行性[2].函數區間中的正負和不等式具有直接關系，若把不等式右面部分視作零，將其左面以函數形式表現出來，則可直接通過函數性質、函數圖像解題.

比如，若實數p滿足4≥p≥0的要求，且x■+3+px>p+4x，在求解x的取值范圍時，可以將x視作自變量，并構造出函數-x2-3+p+（4-p）x=y.由于4≥p≥0，因此y>0，再求解x的取值范圍時，即可選擇一元二次方程的實根分布解決問題，但是該解題程序十分復雜，并不建議使用.如果假設（4x-x■-3）+（1-x）p=f（p）>0，4≥p≥0，那么針對函數f（p）而言，只需要f（0）>0，f（4）>0，即可達到解題目標，x的取值范圍為x<-1，x>3.

3.函數思想指導高中數學數列解題程序

數列即指根據一定順序、規律所排列起來的數字，每一數字代表著數列中的一個項，所以對于數列問題，在解題環節可把數列視作項數函數，函數公式則為數列通項公式.高中數學數列的解題環節，把數列視作一個函數值，以函數性質、函數圖像進行解題，即可簡化數列解題程序.這是由于數列和函數中具有明顯的相同點與不同點，借由類比法，有效把握數學變量的規律及特征，使函數思想和數列得以有機融合，從而實現數列的解題目標[3].

比如，在數列f（m）中，m為自然數，而f（m）=1+■+■+■+…+■，求f（m+1）-f（m）的值.在該數列中，若將分子與分母分開，可發現分母為正整數列，即1，2，3，4，…，3m-1.那么=f（m+1）-f（m）=（1+■+■+■+…+■+■+■+■）-（1+■+■+■+…+■）=■+■+■.必須強調的是，高中數列解題環節，必須把握函數和數列之間的聯系.數列本身是函數的一種特殊形式，數列項為函數值，數列序號則為自變量，數列的圖像為點組成，函數圖像則為曲線組成.因此在具體應用過程中，應當合理把握兩者之間的共同特性，并在此基礎上結合各自特征，最終達到解題目的.

綜上所述，基于函數思想指導高中數學解題具有一定的可行性，但是在建立函數思想時，需要加強實踐教學，通過不斷練習與深入研究，培養學生形成函數思想與函數意識，并形成以函數知識解決高中數學難題的自覺性和主動性，從而達到高中數學教學的整體目標，努力為社會培養出更多的創新型、實用型、綜合型人才.

參考文獻：

[1]陳瑩.立足函數觀點 觀察數列問題——例談用函數圖像性質解決數列問題[J].中學教研（數學），2013，09（05）：15-17.

[2]劉見樂，羅敏娜.用函數思想指導高中數學解題[J].中國數學教育，2011，05（05）：45-46.

[3]周維貞.高中數學解題中常見的數學思想方法探析[J].解題技巧與方法，2014，11（11）：74-75.