從特殊到一般探明數列迷宮

陶華

摘 要： 從特殊入手研究數列的性質，再擴大到一般，有利于培養學生良好的思維習慣，提高分析問題和解決問題的能力.

關鍵詞： 函數與數列 特殊到一般 類比歸納

數列的學習在整個高中數學中比重很大，難度不小，重在培養學生的觀察、分析、歸納、猜想、推理能力，以及知識、方法的遷移能力，使學生逐步養成細心觀察、認真分析、善于總結的好習慣.這所迷宮以等差數列、等比數列為基石，復雜多變，讓很多學生都難以捉摸.數列的通項和前項和是問題的關卡，從特殊到一般[1]，運用已有的認知結構，才能打通新問題的轉化路徑.

1.探求數列通項

數列作為一種特殊的函數，數列的通項公式是相應的函數解析式.研究函數性質主要是抓住函數解析式，所以研究數列性質時經常需要求出數列的通項公式.

案例1：已知數列{a■}中首項a■=a，滿足a■=a■+n+1，求數列{a■}的通項.

解法一：（累加法）移項得a■-a■=n+1，有a■-a■=2，a■-a■=3，…，a■-a■=n，變形相加得a■-a■=■-1（n≥2）；當n=1時，也適合左邊的等式.所以a■=■+a-1.

解法二：（待定系數法）設a■=x·n■+yn+z，依次求出前四項為a，a+2，a+5，a+9，代入解出x=■，y=■，z=a-1，則a■=■+a-1.代入驗證，遞推公式成立.

解法一對多個等式進行累加消去，轉化為一般項a■與首項a■的關系，進而表示通項公式.解法二是建立在解法一的基礎上，通過觀察分析通項結果形式，直接設通項公式的類型，由特殊幾項求出系數，得到一般項的公式，即通項公式.不妨推廣到一般情況.

推廣1：已知數列{a■}中首項a■=a，滿足a■=a■+kn+p（其中k，p為常數），求數列{a■}的通項.

分析：設a■=A·n■+Bn+C，依次求出前四項為a，a+k+p，a+3k+2p，a+6k+3p，代入解出A=■，B=p-■，C=a-p.代入驗證，遞推公式成立.當k=p=1時，與案例1吻合.當k=0時，a■=a■+p，則{a■}是等差數列，此時A=0，B=p，C=a-p.

等差數列是一類重要的數列模型，從函數角度看，等差數列是一次型函數[2].推廣1數列是二次型函數，數列的后一項減前一項，組成的新數列是等差數列，這樣的數列被稱為二級等差數列，形象地稱差后等差數列，比如3，7，12，18，25，….等差數列求和后得到的數列{S■}滿足S■-S■=a■（n≥2），所以{S■}是二級等差數列.從公式S■=na■+■d可看出等差數列的前n項和是二次型函數.類似的，三級等差數列是三次型函數，比如1，10，31，70，133，…通項公式為a■=n■+2n-2.從遞推關系的特征入手，由特殊到一般，確定數列的通項公式.這樣的方法同樣適用數列的前n項和問題.

2.研究等比數列

等比數列是刻畫離散現象的重要數學模型，可幫助解決很多實際問題，比如生活中的分期付款、資產折舊等，數學上的分形幾何等.從函數角度看，等比數列是指數型函數，可類比等差數列進行分析.

案例2：已知數列{a■}中首項a■=a，滿足a■=2a■+n+1，求數列{a■}的通項.

解法一：（構造法）令a■+x（n+1）+y=2（a■+xn+y），與已知遞推公式比較，解出x=1，y=2，從而轉化為新數列{b■}，b■=a■+n+2，新首項b■=a+3.若a=-3即b■=0，則b■=0，即新數列是等差數列，所以a■=-n-2，也是等差數列；若a≠-3即b■≠0，則新數列是公比為2的等比數列，所以b■=b■·2■=（a+3）·2■，得出a■=（a+3）·2■-n-2.分類討論后對比兩個公式，數列{a■}可以統一為a■=（a+3）·2■-n-2.

解法二：（待定系數法）設a■=x·2■+yn+z，依次求出前四項為a，2a+2，4a+7，8a+18，代入解出x=■，y=-1，z=-2，則a■=（a+3）·2■-n-2.代入驗證，遞推公式成立.

推廣2已知數列{a■}中首項a■=a，滿足a■=qa■+kn+p（q≠0且q≠1，k，p為常數），求數列{a■}的通項.

分析：設a■=A·q■+Bn+C，依次求出前三項為a，qa+k+p，q■a+q（k+p）+2k+p，代入解出A=■+■-■，B=■，C=■-■.代入驗證，遞推公式成立.

當q=2，k=1，p=1時，與案例2吻合.當q=2，k=0，p=1時，a■=2a■+1，A=■，B=0，C=-1，有a■=（a+1）·2■-1.當q=2，k=0，p=0時，a■=2a■，則{a■}是等比數列（首項a≠0），此時A=■，B=C=0，a■=a·2■.

3.反思分析

等比數列求和的第一步是辨清q=1還是q≠1，若q=1則數列也是公差為0的等差數列，稱為常數列.在推廣2中若q=1，推廣2的結論將沒有意義，要回到推廣1.在實際教學中，學生總會忽視對公比的討論.

在案例2解法一的構造過程中，需要對{a■}的首項分兩種情況討論，因為這直接影響新數列{b■}的類型，以及原數列{a■}的性質.在推廣2中令A=0，即a=■-■時，{a■}是關于的一次函數，所以{a■}是等差數列.當a≠■-■即A≠0時，a■表達式中含有q■項，也就是說a■不是關于n的一次函數，所以{a■}不是等差數列.所以對于同一個遞推關系，首項的異樣會導致數列性質的不同.特別是在填空題中，檢驗核對前三項，可避免計算錯誤，減少低級問題，比如首項不符的分段數列.

參考文獻：

[1]楊鵬飛.例談從特殊到一般思維方法的培養[J].數學學習與研究，2011（19）.

[2]梁長會，任憲偉.多角度求解一類等差數列客觀題[J].數學通訊，2013（17）.