利用可視化思維工具釋放小學生數學思維

鄭煒珍

一、問題的提出

數學是一切科學技術的基礎，一切的科學都是通過數學計算來發現并解決問題的。數學的發展與思維有著密切關系。在學校教學中，大多數有豐富教學經驗的數學教師都發現一個普遍現象：當數學題目或題型發生變化，學生便無法應對，失分率至少提高20%。為什么會這樣呢？其實“知識加工”和 “問題解決”的思考過程往往是不多見的，而且教師和學生都更多關注答案，忽視答案的生成過程。然而，學生思維的發展并不來自于 “答案的累積”，而來自于 “生成答案的思維方法和過程”。教師應該思考怎么才能使學生在數學學習過程中逐步獲得 “深入思考的意識，不斷追問的習慣，奇思妙想的膽略”，使他們能夠在今后的學習中有著自己個性的見解，能自由 “放牧”獨立的思想，獲得敏銳的生活視野，在解決生活中的數學問題上游刃有余。要解決這些問題，筆者認為，必須變 “強調答案”為“強調解答的過程”，變 “依靠感性經驗答題”為 “運用理性思考解題”，而這就要求我們必須把 “看不見的”思維的過程和方法清晰地呈現出來，以便學生更好地理解、記憶和運用。一圖勝千字，圖是最直觀的語言，易讀、易懂、易記而且記得牢。因此，實現 “思維可視化”的最有效方式便是用 “圖”把 “思維”呈現出來。

本文所提的可視化思維工具是指運用一系列圖示技術把本來不可視的思維 （思考方法和思考路徑）呈現出來，使其清晰可見的過程。被可視化的 “思維”更有利于理解和記憶，因此可以有效提高信息加工及信息傳遞的效能，主要使用韋恩圖、X-Y-W線圖、魚骨圖、思維導圖、金字塔圖、蝴蝶圖、包容關系圖、PMI表格等?？梢暬季S圖表將知識以圖解的方法表示出來，直接作用于學生的感官，對學習者提高理解能力和記憶能力，發展邏輯思維和創造性思維有著巨大作用，它在教育領域的應用是學習方式的一場新的革命。本文以 《密鋪》一課為例，通過可視化思維工具實現思想和問題的可視化、對想法和信息進行整理，利用思維可視化工具釋放小學生數學思維的自由。

二、六年級 《密鋪》數學實踐課教學實例

（一）養成運用思維可視化工具進行知識整理、構建知識體系的學習習慣

六年級學生抽象思維已初步形成，可以讓他們掌握常用思維可視化工具的手繪方法并形成技能。如：韋恩圖、X-Y-W線圖、魚骨圖、思維導圖、金字塔圖、蝴蝶圖、包容關系圖、PMI表格等。大概用了3節課，我就把常用思維可視化工具的手繪方法教完。那時剛好是六年級第二學期，新課內容只用7周就講授完，剩下的時間都是復習課，因此我會經常布置學生用可視化思維工具進行知識整理、構建知識體系。學生在課間也分享交流這些可視化思維工具，很期待周五的作業。

有一位名字叫方斯蕾的學生對可視化思維工具已到非常著迷的程度。有一次我布置學生回家選一種可視化思維工具整理某一知識內容，她卻意猶未盡地用各種可視化思維工具整理了很多不同方面的數學知識。又過2周她告訴我她自己在家運用可視化思維工具整理了自己這段時間的數學錯題。可見，學生們在不知不覺中養成了運用思維可視化工具進行知識整理、構建知識體系、分析錯題的學習習慣。圖1、圖2是學生的兩張作品。

圖1

圖2

（二）創造性地使用教材，把缺乏思維挑戰性的教材變為有利于思維發展的資源

我發現很多數學課堂缺乏起碼的吸引力，主要原因是學習內容對學生沒有一定難度，缺乏思維挑戰性。這樣的課堂教學很容易導致學生處于 “淺思考”甚至 “不思考”狀態，妨礙學生思維能力的發展。學生思維能力發展不起來，后期的學習必然會越來越吃力，這樣便導致一種不斷加深的惡性循環。

下面談談我為什么選擇用六年級的學生上五年級上冊教材中的 《密鋪》。

五年級上冊的教學目標是知道哪些圖形可以密鋪就行了，請看這頁電子課本 （見圖3）。而到了初中二級，教學目標則要求是要掌握圖形能否密鋪的理由。對比兩者的目標，掌握平面圖形能否密鋪的理由更需要學生具備一定的思維能力。六年級的學生本應做好中小銜接的準備，因此我大膽地進行教學內容的重組；讓學生不僅知道哪些圖形可以密鋪，還讓學生掌握圖形能否密鋪的理由，讓學生在實踐活動中建模：圖形拼接點的幾個角能圍成360度的就可以密鋪。

圖3

（三）開展基于問題的協作建模學習活動，釋放學生的思維自由，培養學生多種數學思維能力

1.問題情境的創設要有開放性

問題情境的創設要求教師在上課時要善于把備課時的陳述句轉變成疑問句。如這節課的問題情境不應該是教師提供生活中密鋪的圖片，然后告訴學生這就是密鋪。這樣的課就沒提供學生思考的空間，學生是被老師牽著鼻子走的。應該怎樣創設問題情境？我們可以先出示生活中一些能密鋪的圖形，一些不能密鋪的圖形 （如圖4），讓學生自己產生疑問：為什么有的圖形能密鋪，有的圖形卻不能密鋪呢？帶著這樣的疑問和好奇心，就會產生強烈的任務驅動，開啟學生個人思維。

2.在開放的獨立學習任務中培養學生個體的思維能力

圖4

我在很多公開課上發現存在一些問題：在小組交流時學生并不是全都在積極思考；有時經過討論，只有個別學生愿意匯報；在交流時有個別學生在忙別的事情；課堂上教師要求討論時，學生都在講，但沒有聽眾；討論看似熱鬧而沒有效果。沒有獨立思考的合作交流，只是形式上的合作。沒有獨立思考的交流，只是信息的單項傳遞，不會產生共鳴和驚奇，合作交流必然流于形式。鑒于這種情況，我在課堂教學中采取的方法是，讓每個學生先完成獨立任務單再小組完成協作學習任務單，實現人人思考，個個動手，發展個人思維能力。

為了更大程度地釋放學生思維的自由，這節課的小組協作任務定為每組研究任務不同，組內再進行分工，這樣的研究也會更有思維價值。小組的任務分別有研究三角形、梯形、長方形、正方形、平行四邊形等。在一個小組內，再細分研究任務，如研究三角形的小組，不同的同學分別研究等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形等。有的小組更將學習內容深化，如有一個組每個組員分別研究圓形、梯形、等邊三角形、正五邊形、正六邊形等；有個小組研究不規則的圖形能否密鋪。不同的任務驅動學生每個個體的思維在數學的知識海洋自由翱翔，自主學習，真正落實培養學生每個個體的思維能力。

我設計的本節課的獨立學習任務單如下：

根據小組課前分工，請你把圖形用膠水鋪在彩色折紙上，看能否密鋪，再完成以下內容：

?

3.利用可視化思維工具開展基于問題的小組協作建模學習活動，讓學生保持高密度和高強度的思維狀態

研究表明：人類的思維特征是呈放射性的，進入大腦的每一條信息、每一種感覺、記憶或思想 （包括每一個詞匯、數字、代碼、食物、香味、線條、色彩、圖像、節拍、音符和紋路），都可作為一個思維分支表現出來，它呈現出來的就是放射性立體結構 （見圖5）。每一張思維導圖總是從一個中心主題開始，形成一種從中心向四周發射的無窮無盡的分支鏈的形式。導圖利用本身所具備的邏輯歸納的特點，可以幫助我們從材料中找出重點，選擇并提煉關鍵詞，進行全面的邏輯梳理與歸納。

圖5

在這節課中，我讓每個小組開展小組協作學習，把全組學生的獨立學習任務單排成一列，討論找出能否密鋪的原因，討論全組準備利用的思維可視化工具，每組根據能否密鋪畫出一個思維圖，在思維圖中分析出每種圖形能否單獨密鋪的理由，并把剛才每人貼在彩色折紙上的圖貼在思維圖相應的位置中，實現思維可視化 （例見圖6、圖7）。在本節課中基于任務驅動獨立學習后的小組成員有共同的目標或愿景、表現出高度團隊的凝聚力、實行權力共享和責任分擔、成員彼此鼓勵支持、成員相互關懷照顧、充分重視每位成員的閃光點和光明面、最大限度地挖掘或發揮每位成員的潛力、他們利用思維圖一起思考，進行頭腦風暴，從 “個別優秀”到 “人人優秀”。

圖6

圖7

小組協作學習活動后開展組間觀摩 （如圖8），再相互比較。各組組長講解答問，其他組員到各組評價反思可視，最后歸納互補，建構數學模型。整個活動培養了學生語言表述能力、觀察能力、想象能力、概括能力、比較能力、構造能力、綜合能力、轉化能力、模型化能力等思維能力。

這樣，通過特定的圖示來顯現特定的組織類型和結構關系，為教學者和學習者提供了一種使用信息和認知加工的思維支持框架。

圖8

（四）在填寫PMI反思表格的過程中促學生高級思維的形成

數學反思能力的發展與數學思維水平有關，抽象邏輯思維本身就是一種反思的思維。數學反思能力的發展，有助于提高認知效率，縮短認知時間。在這節課準備下課前我讓學生在填寫PMI反思表格的過程中提升高級思維水平，促進學生思維的可持續發展。PMI反思表格見圖9。

圖9

在學習收獲那欄，學生們分別寫到： “我學到用導圖分析問題”； “我學會了什么是密鋪和能否密鋪的理由”；“我收獲了用魚骨圖分析圖形能否密鋪的理由”； “這次我學會如果圖形密鋪，圍成拼接點幾個角的度數之和必須360度”； “用思維圖分析問題更直接清晰”； “我體驗了同學間合作完成一件事的配合”； “我收獲到團隊精神的重要性”； “我收獲了用思維導圖可以解決新學的知識，探究感興趣的問題”； “我知道蜂窩是一種密鋪圖形”。

在不足之處那一欄，學生分別寫到： “小組配合得不太好，做得太慢”； “希望課程時間能夠延長”； “組長未能有效分工，導致思維導圖未完成，真的很遺憾”； “同學間合作的默契不夠”； “要提升用思維導圖分析問題的能力”； “我沒有把研究結論寫得更完美，拼圖形不太美觀”；“自己所在組的思維導圖畫得有點簡單了，不如別組的美觀、豐富”。

在還感興趣的內容那一欄，學生分別寫到： “1/4圓形能否密鋪？”； “密鋪圖形除了出現在地板的應用，還應用在什么方面？”； “我還想再多了解一些有關密鋪的知識，能夠了解更多因為密鋪而組成的美麗圖案”； “希望能運用更多的可視化思維工具分析其他數學問題”； “還有哪些這節課沒提到的圖形能密鋪？”； “希望將來自己當一名設計師，能利用密鋪的知識設計美麗的建筑圖案”； “密鋪和圖形的邊有什么關系嗎？” “我想了解更多的密鋪圖形作品”……

看到學生這些反思，我真的覺得他們都在認真思考。通過反思，學生們發現了在協作知識建構過程中的收獲、不足之處、還感興趣的問題。

總之，開展本實驗一年，我認為思維可視化工具以直觀形象的方式表達知識結構，有利于引導學生進行意義建構，有助于在新授課和活動課中建模，在復習課中建構知識體系；作為教學評價的工具能有效地評價學生創造性思維水平；能有效呈現思考過程及知識的關聯，有助于培養學習者的高級思維技能和知識建構能力。

①林建才，董艷，郭巧云.思維導圖在新加坡小學華文教學中的實驗研究 〔J〕.中國電化教育，2007（10）.

②唐軍.技術支持的思維工具在教學中應用的實踐研究 〔D〕.華東師范大學，2008.

③趙國慶.概念圖、思維導圖教學應用若干重要問題的探討〔J〕 .電化教育研究， 2012 （05） .