閉格的性質

李慶國+吳瓊+伍秀華

摘要：對閉格進行研究，給出了閉格的等價刻畫，討論了閉格與Locale的關系，并證明了閉格的笛卡爾乘積仍是閉格.同時，得到了閉格在保任意并的滿態(tài)射下仍是閉格，最后證明了閉格在閉包運算下的像是閉格.

關鍵詞：閉格； 并不可約元； Locale； 笛卡爾乘積； 閉包運算

中圖分類號：O153.1 文獻標識碼：A

近幾十年來，隨著理論計算機科學的發(fā)展，格理論與拓撲結構受到計算科學家和數學家越來越多的關注.在 ＼[1＼]中Raney通過引入完備集環(huán)的概念，給出了完備集環(huán)的格表示，也就是Raney在文＼[2＼]中定義的完全分配的代數格，并給出了完全分配完備格的等價定理.在＼[3＼]中Davey等人又給出代數格的概念，指出代數格中的任意元都是所有緊元的并，一個代數格可以構造一個與之同構的有上界的代數交結構；反之，一個有上界的代數交結構也可以構成一個代數格.在[4]中郭蘭坤和李慶國提出了F擴張閉包空間并實現了代發(fā)domain的集族表示，從而拓廣了Davey等人的結果.而且，許多學者系統(tǒng)研究了閉包系統(tǒng)的性質[5-6].在＼[7＼]中，楊田和李慶國等對有限并是封閉的閉包算子所構建的有上界的交結構（稱之為拓撲交結構）進行研究，并引入閉格的概念，給出了拓撲交結構的格表示.在本文中，我們繼續(xù)對閉格進行研究，討論了閉格的等價刻畫和閉格與Frame的關系以及它的基本性質，并得到閉格在保任意并的滿態(tài)射下仍是閉格，最后證明了閉格運算下的像是閉格.

首先，給出閉格的一些基本概念.

（2）對于任意的a，b∈L， 都有Da∪Db=Da∨b.

定理1[7] 設C為集合X上的閉包算子，Lc是相應的有上界的交結構，則如下命題等價：

（1） C是拓撲閉包算子.

（2）若對于任意X的子集A和B均有C（A∪B）=C（A）∪C（B）.

（3）Lc是有上界的拓撲交結構.

定理2[7]（1）若L為有上界的拓撲交結構，則L可構成閉格.

（2）若L為閉格，則L：=Daa∈L是一個有上界的拓撲交結構，并且與L同構.

定理3[7]（1）若L為拓撲交結構，則L可構成一個閉半格.

（2）若L為閉半格， 則L：=Daa∈L是一個拓撲交結構，并且與L同構.

1閉格的等價刻畫

在本節(jié)中，繼續(xù)對閉格進行研究，給出了閉格的等價刻畫.

定理4設L是完備格，對于任意的a∈L都有a=∨Da， 則下列條件是等價的：

（1）對于任意的a，b∈L，都有Da∪Db=Da∨b.

（2）并不可約元與并素元是等價的，即J（L）=P（L）.

（3）L是分配格.

證（1）（2）假設對任意的x∈P（L），存在a，b∈L使得x=a∨b. 由并素元的定義可知若x≤a∨b，則對任意的a，b∈L有x≤a或x≤b. 又x=a∨b意味著x≥a且x≥b. 故x=a或x=b.從而P（L）J（L）.

反之，設x∈J（L）滿足x≤a∨b. 由Da∨b定義知x∈Da∨b=Da∪Db.

根據定義6有x∈Da或x ∈Db，即x≤a或x≤b. 則J（L）P（L）， 所以P（L）=J（L）.

（3）（2）只需證J（L）P（L）.

假設對任意的x∈J（L），存在a，b∈L滿足x≤a∨b，那么x=x∧（a∨b）. 因 為 L是分 配 格，則x=（x∧a）∨（x∧b）. 由并不可約元的定義又可知x=x∧a或x=x∧b，因此x≤a或x≤b，故J（L）P（L）. 所以P（L）=J（L）.

定理5設L是完備格，Pa={p∈P（L）p≤a}. 則L為閉格當且僅當對任意的a∈L， a=∨Pa.

證 充分性. 對任意的a∈L，a=∨Pa， 而PaDa，則a∈L，a=∨Da. 由定理4可知只須證明L為分配格. 對任意的a，b，c∈L，顯然a∧（b∨c）≥（a∧b）∨（a∧c）成立.

下面證明a∧（b∨c）≤（a∧b）∨（a∧c）.

由已知條件有a∧（b∨c）=∨Pa∧（b∨c）. 對任意的p∈Pa∧（b∨c）， 有p≤a∧（b∨c）， 則p≤a且p≤b∨c. 又由于p∈P（L）， 因此當p≤b∨c時，可以推出p≤b或者p≤c， 綜合上述可知p≤a∧b或者p≤a∧c， 即p≤（a∧b）∨（a∧c）， 所以a∧（b∨c）=∨Pa∧（b∨c）≤（a∧b）∨（a∧c） 必要性顯然成立.

注因此可知楊田對有上界的交結構（稱之為拓撲交結構）進行研究定義的閉格與1959年S.Papert定義的閉集格是一樣的.

由于閉格具有很好的分配性質，所以討論閉格與Locale的關系.

定義7[10] 設L是完備格且滿足無限分配律，即對任意的a∈L，BL， 有a∧∨B=∨a∧bb∈B， 則稱L是Locale.

定義8[10]以滿足無限分配律的完備格為對象，以保任意并，有限交的映射為態(tài)射所構成的范疇稱為Frame范疇，并記作Frm. 在Frame范疇中，對象稱為frame，態(tài)射稱為frame同態(tài).

定義9[10]設L是Locale. 若frame同態(tài)φ：L→Ω（ptL）是單射（從而是格同構），則稱Locale L是空間式的，或稱L有足夠多的點.

引理1[10]設L是Locale，則下列條件等價：

（1）L是空間式的.

（2）對任意的a，b∈L，a>b， 存在p∈ptL使得p（a）=1與p（b）=0.

（3）對任意的a，b∈L，a>b， 存在L的素元x使得a>x，b≤x.

（4）對任意的a∈L，a是L的素元之交.

命題1空間式Locale的對偶是閉格.

證由定理5和引理1可知空間式Locale L的對偶滿足情形：任意的元都是L對偶的并素元之并，因而L的對偶是閉格.

2主要性質

在本節(jié)中，給出閉格的完備子格仍是閉格的條件，證明了閉格的笛卡爾乘積仍然是閉格和閉格的保任意并的滿態(tài)射像仍是閉格.同時得到了閉格在閉包運算下的態(tài)射仍是閉格.

定義10設L是閉格，非空子集SL. 若S對L中的任意非空并和任意非空交都封閉，即對任意的非空子集AS， ∨LA和∧LA存在時，總有∨LA， ∧LA∈S成立，則稱S是L的完備子格.

引理2 設S是閉格L的完備子格且為下集，則P（L）∩S=P（S）.

證 設x∈P（S）， 若存在a，b∈L使得x≤a∨b，則x≤（a∨b）∧x. 由定理4知，L是分配格，則x≤（a∨b）∧x=（a∧x）∨（b∧x）.

由S是L的下集可知，a∧x，b∧x∈S，故（a∧x）∨（b∧x）∈S. 又x是S中的并素元，因此x≤a∧x或x≤b∧x. 從而x≤a或x≤b， 即x∈P（L）∩S， 所以P（S）P（L）∩S. 反之，設x∈P（L）∩S， 若存在a，b∈S使得x≤aVsb， 則x≤a∨Lb， 從而x≤a或x≤b， 即x∈P（S）.

定理6設S是閉格L的完備子格且為下集， 則S仍是閉格.

證由定理5只須證x=∨s（P（S）∩↓sx）.顯然∨s（P（S）∩↓sx）≤x，設x∈S且S是L的下集，則↓sx=↓x. 而根據引理2可知

∨s（P（S）∩↓sx）=∨s（P（L）∩↓x∩S）=∨s（P（L）∩↓x）∨L（P（L）∩↓x）=x

所以x=∨s（P（S）∩↓sx）， 即S是閉格.

定理7設Lii∈I是一族閉格，記L=∏i∈ILi是笛卡爾乘積集，則L賦予逐點序也是閉格.

證設（Li）i∈I為一族閉格，記L=∏i∈ILi. 由閉格的定義可知i∈I，Li為分配格. 令a，b，c∈L， 則有

即L是分配格.對于任意的aii∈I， 令δi={x∈∏i∈ILi|xi≤ai且xi∈J（Li），j≠i時xj=0}顯然∪i∈Iδi中的元是∏i∈ILi中的并不可約元，且∪i∈Iδi在∏i∈ILi的并是aii∈I. 綜上可得L是閉格.

定理8設L是閉格，Q是完備格. 若f：L→Q為保任意并的滿映射， 且f（P（L））P（Q）， 則Q是閉格.

證由于f為滿映射，則對任意的y∈Q， 存在x∈L， 使 得 f（x）=y.

顯然 ∨（P（Q）∩↓f（x））≤f（x）. 又L是閉格，則f（x）=f∨PL∩↓x=∨fPL∩↓x.

對于任意的z∈PL∩↓x，則z≤x，由于f是保任意并的映射，則f（z）≤f（x）

參考文獻

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[2]RANEY G N. A subdirectunion representation for completely distributive complete lattice [J]. Proc Amer Math Soc， 1953， 4： 518-522.

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[9]GIERZ G， HOFAMANN K H， KEIMEL K， et al. Continuous lattice and domains [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2003.

[10]鄭崇友， 樊磊， 崔宏斌. Frame與連續(xù)格[M]. 北京： 首都師范大學出版社， 2000：44-106.

ZHENG Chongyou， FAN Lei， CUI Hongbin. Frame and continuous lattice [M]. Beijing： Capital Normal University Press， 2000：44-106.（In Chinese）

命題1空間式Locale的對偶是閉格.

證由定理5和引理1可知空間式Locale L的對偶滿足情形：任意的元都是L對偶的并素元之并，因而L的對偶是閉格.

2主要性質

在本節(jié)中，給出閉格的完備子格仍是閉格的條件，證明了閉格的笛卡爾乘積仍然是閉格和閉格的保任意并的滿態(tài)射像仍是閉格.同時得到了閉格在閉包運算下的態(tài)射仍是閉格.

定義10設L是閉格，非空子集SL. 若S對L中的任意非空并和任意非空交都封閉，即對任意的非空子集AS， ∨LA和∧LA存在時，總有∨LA， ∧LA∈S成立，則稱S是L的完備子格.

引理2 設S是閉格L的完備子格且為下集，則P（L）∩S=P（S）.

證 設x∈P（S）， 若存在a，b∈L使得x≤a∨b，則x≤（a∨b）∧x. 由定理4知，L是分配格，則x≤（a∨b）∧x=（a∧x）∨（b∧x）.

由S是L的下集可知，a∧x，b∧x∈S，故（a∧x）∨（b∧x）∈S. 又x是S中的并素元，因此x≤a∧x或x≤b∧x. 從而x≤a或x≤b， 即x∈P（L）∩S， 所以P（S）P（L）∩S. 反之，設x∈P（L）∩S， 若存在a，b∈S使得x≤aVsb， 則x≤a∨Lb， 從而x≤a或x≤b， 即x∈P（S）.

定理6設S是閉格L的完備子格且為下集， 則S仍是閉格.

證由定理5只須證x=∨s（P（S）∩↓sx）.顯然∨s（P（S）∩↓sx）≤x，設x∈S且S是L的下集，則↓sx=↓x. 而根據引理2可知

∨s（P（S）∩↓sx）=∨s（P（L）∩↓x∩S）=∨s（P（L）∩↓x）∨L（P（L）∩↓x）=x

所以x=∨s（P（S）∩↓sx）， 即S是閉格.

定理7設Lii∈I是一族閉格，記L=∏i∈ILi是笛卡爾乘積集，則L賦予逐點序也是閉格.

證設（Li）i∈I為一族閉格，記L=∏i∈ILi. 由閉格的定義可知i∈I，Li為分配格. 令a，b，c∈L， 則有

即L是分配格.對于任意的aii∈I， 令δi={x∈∏i∈ILi|xi≤ai且xi∈J（Li），j≠i時xj=0}顯然∪i∈Iδi中的元是∏i∈ILi中的并不可約元，且∪i∈Iδi在∏i∈ILi的并是aii∈I. 綜上可得L是閉格.

定理8設L是閉格，Q是完備格. 若f：L→Q為保任意并的滿映射， 且f（P（L））P（Q）， 則Q是閉格.

證由于f為滿映射，則對任意的y∈Q， 存在x∈L， 使 得 f（x）=y.

顯然 ∨（P（Q）∩↓f（x））≤f（x）. 又L是閉格，則f（x）=f∨PL∩↓x=∨fPL∩↓x.

對于任意的z∈PL∩↓x，則z≤x，由于f是保任意并的映射，則f（z）≤f（x）

參考文獻

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ZHENG Chongyou， FAN Lei， CUI Hongbin. Frame and continuous lattice [M]. Beijing： Capital Normal University Press， 2000：44-106.（In Chinese）

命題1空間式Locale的對偶是閉格.

證由定理5和引理1可知空間式Locale L的對偶滿足情形：任意的元都是L對偶的并素元之并，因而L的對偶是閉格.

2主要性質

在本節(jié)中，給出閉格的完備子格仍是閉格的條件，證明了閉格的笛卡爾乘積仍然是閉格和閉格的保任意并的滿態(tài)射像仍是閉格.同時得到了閉格在閉包運算下的態(tài)射仍是閉格.

定義10設L是閉格，非空子集SL. 若S對L中的任意非空并和任意非空交都封閉，即對任意的非空子集AS， ∨LA和∧LA存在時，總有∨LA， ∧LA∈S成立，則稱S是L的完備子格.

引理2 設S是閉格L的完備子格且為下集，則P（L）∩S=P（S）.

證 設x∈P（S）， 若存在a，b∈L使得x≤a∨b，則x≤（a∨b）∧x. 由定理4知，L是分配格，則x≤（a∨b）∧x=（a∧x）∨（b∧x）.

由S是L的下集可知，a∧x，b∧x∈S，故（a∧x）∨（b∧x）∈S. 又x是S中的并素元，因此x≤a∧x或x≤b∧x. 從而x≤a或x≤b， 即x∈P（L）∩S， 所以P（S）P（L）∩S. 反之，設x∈P（L）∩S， 若存在a，b∈S使得x≤aVsb， 則x≤a∨Lb， 從而x≤a或x≤b， 即x∈P（S）.

定理6設S是閉格L的完備子格且為下集， 則S仍是閉格.

證由定理5只須證x=∨s（P（S）∩↓sx）.顯然∨s（P（S）∩↓sx）≤x，設x∈S且S是L的下集，則↓sx=↓x. 而根據引理2可知

∨s（P（S）∩↓sx）=∨s（P（L）∩↓x∩S）=∨s（P（L）∩↓x）∨L（P（L）∩↓x）=x

所以x=∨s（P（S）∩↓sx）， 即S是閉格.

定理7設Lii∈I是一族閉格，記L=∏i∈ILi是笛卡爾乘積集，則L賦予逐點序也是閉格.

證設（Li）i∈I為一族閉格，記L=∏i∈ILi. 由閉格的定義可知i∈I，Li為分配格. 令a，b，c∈L， 則有

即L是分配格.對于任意的aii∈I， 令δi={x∈∏i∈ILi|xi≤ai且xi∈J（Li），j≠i時xj=0}顯然∪i∈Iδi中的元是∏i∈ILi中的并不可約元，且∪i∈Iδi在∏i∈ILi的并是aii∈I. 綜上可得L是閉格.

定理8設L是閉格，Q是完備格. 若f：L→Q為保任意并的滿映射， 且f（P（L））P（Q）， 則Q是閉格.

證由于f為滿映射，則對任意的y∈Q， 存在x∈L， 使 得 f（x）=y.

顯然 ∨（P（Q）∩↓f（x））≤f（x）. 又L是閉格，則f（x）=f∨PL∩↓x=∨fPL∩↓x.

對于任意的z∈PL∩↓x，則z≤x，由于f是保任意并的映射，則f（z）≤f（x）

參考文獻

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