Excel中用Newton迭代法求解土的最優含水率和最大干密度的方法

彭永凱

（中鐵隧道集團有限公司 工程試驗中心， 洛陽 471009）

土的擊實試驗是鐵路、水利（水庫壩體）等工程設計和施工中必須使用的一項基礎試驗。目前，在擊實試驗的數據后處理上，用Excel已經非常普遍，不過仍有不少人在計算最優含水率和最大干密度的取值時采用圖解或一元二次方程求最大值等方法。這些方法存在一定問題：圖解法人為誤差較大，一元二次方程求最大值法只有效利用了3個擊實結果，誤差較大。本文主要介紹在Excel中根據試驗數據自動生成擊實曲線，趨勢線擬合公式，再用Newton迭代法求解高次方程，得出最優含水率和最大干密度的方法。

l 擊實曲線與擬合公式的確定

按照《鐵路工程土工試驗規程》等有關試驗規程的規定，同一土樣須配制成5份以上不同含水率的試件，并分別測定含水率和相對應的試件重，從而得出不同含水量時土壤的干密度，再以含水率（%）為橫坐標、干密度（g/cm3）為縱坐標，在坐標紙上繪出相對應的點，按數據點在圖上的走勢，繪成圓滑的曲線，曲線峰值對應的含水量與千容重即為最優含水率（ω）與最大干密度（ρd）。而此曲線即為擊實曲線。

與擊實試驗規程的規定相對應的數值分析方法就是插值，常用的插值方法為Lagrange多項式插值。根據Lagrange插值多項式的定義可知其性質為：Lagrange插值多項式的存在是唯一的。也就是說通過已知的數據點只能做出唯一的一條曲線滿足Lagrange插值函數的定義。Lagrange插值多項式對應的曲線通過所有的離散數據點，相關系數等于1。用鼠標右鍵單擊圖表上的任一數據點，單擊彈出的快捷菜單中的“添加趨勢線”，再單擊“選項”按鈕，選擇“顯示R平方值”可以驗證插值多項式的相關系數等于1。對于擊實試驗數據來說，Lagrange插值多項式的階數通常為試驗數據的個數減去1，即當試驗數據個數為5時，相應的Lagrange插值多項式的階數為4，這時候干密度—含水量的關系表達式為：

其中，f(x)為當含水量為x時的干密度，x為含水量，a、b、c、d、e為插值系數。

2 擊實曲線的繪制與擬合公式的生成

在Excel中：（1）采用表1（某土樣擊實結果）數據,以含水率ω(%)為橫坐標、干密度ρd(g/cm3)為縱坐標插入僅帶數據標記點的散點圖。（2）在散點圖中右鍵點擊其中一數據標記點，選擇添加趨勢線，趨勢預測/回歸分析類型為多項式，順序為4，勾選顯示公式、顯示R平方值。（3）右鍵點擊所生成的公式，設置趨勢線標簽格式，選擇數字，數字的小數位數修改為6。至此，所生成的圖1散點圖中趨勢線為表1試驗數據的擊實曲線，圖1中公式為擬合公式，R為相關系數。

表1 某土樣擊實結果

擊實曲線為一凸曲線，極大值即為最大干密度，所對應含水率為最優含水率，可求解擬合公式（y＝f(x)）的極大值和對應的x取得。

圖1 由表1擊實數據繪制的ρd-ω關系曲線與擬合結果

3 最優含水率與最大干密度的求解

在試驗的含水率區間內，對擬合公式y＝f(x)求導，y為最大干密度值。為一元三次方程，可通過卡爾丹公式求解。卡爾丹公式判別條件較多，不利于Excel自動計算，本文用Newton迭代法求解，通用性強，并適用于更高次方程的求解。

Newton迭代法：設f(x*)=0, f'(x*)≠0,且f(x)在x*的領域N(x*)內有二階連續導數，則Newton迭代格式：

至少是平方收斂的。

設：f(x) = ax4+bx3+cx2+dx+e= 0.001519x4-0.076543x3+1.411141x2-11.257362x+34.559444

則：f'(x)=4ax3+3bx2+2cx+d=0.006076x3-0.229629x2+2.822282x-11.257362

f"(x)=12ax2+6bx+2c=0.018228x2-0.459258x+2.822282

取x0＝12.9（表1某土樣擊實結果中最大干密度對應的含水率），用Newton迭代法迭代過程見表2。

表2 Newton迭代法迭代過程

由表2可知，該迭代計算收斂速度非常快，x2=x3=x4=x5=x6, x2即為最終迭代結果，是最優含水率。把最優含水率代進f(x) = ax4+bx3+cx2+dx+e，求得最大干密度f(x)＝1.92。

把計算結果（最優含水率12.6%，最大干密度1.92 g/cm3)與圖1比較，可知此計算結果與從圖上直接估讀值接近，理論上精度更高。

在Excel中完成如上節中所述的步驟（2）和步驟（3）后，以后再有擊實數據，則可以輸入擊實試驗數據后自動生成擊實曲線，求得最優含水率和最大干密度，省時、省力且精度良好。

4 結束語

土的最大干密度和最優含水率可以用數解法確定。本文重點介紹利用Excel處理擊實數據，生成擊實曲線并計算最優含水量和最大干密度的方法。文中舉例介紹了本方法的核心內容，由于Excel最多可進行6階多項式擬合，因此，本方法可以處理7個擊實數據內的所有擊實問題。

[1]黃 英，符必昌. 確定土的最大干密度和最優含水率 [J].巖土工程學報，2002，24（4）.

[2]王兵團，張作泉，趙平福. 數值分析簡明教程[M]. 北京：清華大學出版社，北京交通大學出版社，2012，8.