利用物理意義推導二重積分的計算公式

杜美華

摘 要： 二重積分化為累次積分是非常重要的公式，本文從實際出發，利用積分的物理意義推導二重積分的計算公式。

關鍵詞： 二重積分 物理意義 公式

在高等數學的教材中，二重積分的實際意義有幾何意義和物理意義兩種，分別代表是曲頂柱體的體積和平面薄片的質量，但是傳統教材中只是從幾何意義出發，給出二重積分的計算公式。在本文中將從物理意義出發，給出直角坐標系下二重積分的計算公式。

假設區域D為X型區域，f（x，y）在區域D內連續，則區域D上二重積分的計算公式為

■f（x，y）dxdy=？蘩■■dx？蘩■■f（x，y）dy（1）

引理：設有一桿粗細可以忽略，占有實數軸上的區間[x■，x■]，其線密度為ρ（x），則此桿的質量為m=？蘩■■ρ（x）dx。

設有一平面薄片占有平面區域D，其面密度為f（x，y），由二重積分的物理意義可知，此薄片的質量為

m=■f（x，y）dxdy（2）

下面推導公式（1）。

？坌x∈[a，b]，過x作平行于y軸的直線，分別交區域D的邊界于點A、B，則區域D可以看成是這些平行于y軸的直線段AB的集合，從而平面薄片的質量為所有這些直線段質量的總和，直線段AB上的點橫坐標都為x，縱坐標y由φ■（x）到φ■（x），其線密度為f（x，y）（x看作常數），由引理知其質量為

m（x）=？蘩■■ρ（y）dy=？蘩■■f（x，y）dy（3）

另外，將直線段AB投影于x軸，投影點即為x，相應地將直線段AB的質量壓縮在點x上，則平面薄片的質量亦即為閉區間[a，b]的質量。由（3）可知，閉區間[a，b]的線密度為m（x），于是閉區間[a，b]的質量為

m=？蘩■■m（x）dx=？蘩■■[？蘩■■f（x，y）dy]dx

=？蘩■■dx？蘩■■f（x，y）dy

由（2）式可知，

■f（x，y）dxdy=？蘩■■dx？蘩■■f（x，y）dy

同理，此方法對Y型區域也成立。

特別的，當f（x，y）=1，（x，y）∈D時，面密度為常數1，此時由公式

m=μ×σ

其中μ為面密度，σ薄片的面積，可知二重積分

■f（x，y）dxdy=■1dxdy=σ

這是和幾何意義推導二重積分的計算公式是不相違背的。

用物理意義來推導二重積分的計算公式，能加強對二重積分物理意義的理解，也加強了知識間的內在聯系，也讓學生理解到二重積分能夠解決能用這一類和式的極限■■f（ξ■，η■）△σ■求解的實際的問題。類似的，三重積分利用物理意義，在直角坐標系下將立體分別投影在坐標面上和數軸上，可得“2+1”模式的投影法和“1+2”模式的截面法。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社出版，2007，6.

[2]吳贛昌.高等數學（理工類）[M].北京：中國人民大學出版社，2006，3.