基于π定理推導的樁基最大地震附加彎矩計算公式

馬 亢，陳東霞，牛富生，孫 慶

（1.廈門大學建筑與土木工程學院，福建 廈門361005；2.同濟大學巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海200092）

建筑物（含基底樁基）建造完成后，樁基即承擔一定的從上部結構傳遞來的豎向荷載.它是樁體幾何設計和配筋的主要依據，與地震峰值加速度（PGA）、上部結構傳至樁基的荷載水平、樁身剛／強度、地基土性等因素密切相關，準確確定樁基最大彎矩及分布特征對樁基抗震設計尤為關鍵且必要.

目前，在國內外諸多設計規范中仍未有統一明確的樁基抗震設計圖表或計算依據，如我國的《建筑樁基技術規范》（TGJ94－2008）、《建筑抗震設計規范》（GB50011—2010）等，以及國外某些專業規范：如U－niform Building Code （ICBO—1997）、Eurocode（EN—1998）、Indian Seismic Code（IS1893—2002）等均未有嚴格意義上專門的樁基抗震計算規定.樁基抗震設計很大程度上仍采用擬靜力法（如動力系數法，取靜力最大設計彎矩的1.1倍作保守設計）、簡化數理模型計算和其他各類地震復核方法［1－3］；或者專門針對存在液化土層中的樁基，通過折減承載力或控制液化側擴地基變形等做法作保守設計［4－5］.顯然，這些做法都是不嚴謹的，缺乏科學性，以致地震中樁基損毀現象屢見不鮮，在實際樁基抗震設計時也不經濟.至今，關于樁－土動力相互作用的研究很多，也出現了一批有意義的成果，但絕大多數仍集中于針對上部結構的動力分析上（如橋體結構、建筑結構等），均忽視了樁基本身的抗震研究，這對低層較輕的上部結構可能影響不大，但對高層高重結構，地震時樁基與地基土的相互作用強烈，樁基自身的安全穩定性也是一個須重點關注的問題，并有待進一步規范.

作者在既往研究中［6－8］對黏性土中樁基震害破壞機制及樁－土動力相互作用機理已作較為深入地探討，并獲得一定認識.文獻［6］通過離心機地震模型試驗得出：地震下樁－土間動力相互作用迫使樁基產生地震附加彎矩，一定情況下（如樁基承受上部結構較重、地震強度較大時）將十分顯著，在樁基配筋時須另計考慮；更因兩者動力相互作用致使基礎與土表運動的非一致性，兩者在加速度時程、反應譜特征、周期及放大效應等方面均存在顯著差異，傳統結構抗震設計中采用自由場土表的地震動參數直接作為基底參數是不嚴謹的；文獻［7］對兩組剛度（EI）差異顯著的樁基（EI最大相差10.5倍，以剛性樁和柔性樁區分之）開展的離心機地震模型試驗及工程模擬的有限元軟件ABAQUS計算得出：樁頭固定的樁基，其最大彎矩發生于樁筏聯結處；對于柔性樁，地震中周圍土體對樁基主要為約束效應，致使樁基某個深度以下彎矩很小，可忽略不計；對于剛性樁，土體對樁基主要是施加附加慣性力作用，致使基礎周期明顯高于自由場土體，從而樁體在較深處彎矩仍十分顯著.文獻［8］通過研發黏土在地震作用下的軟化降強本構模型，并串聯至ABAQUS程序而計算得到的樁基彎矩規律，與試驗結果基本一致.本文將以此3篇文獻中既得成果及大量原始彎矩數據為基礎（見表1示），繼續作深入研究，對實際樁基工程中最大地震附加彎矩的設計及計算提出判據，以為工程設計施工時借鑒、采用.

1 π定理

人們在研究某一自然現象時，目標是希望能將其本質過程表達為一種定量的函數關系：

其中，x1，x2，…，xn表示與該過程有關的物理量及某些物理常數.

由于自然現象的本質是與測量單位制的選擇無關的，而描述某一自然現象各個物理量的數值卻與單位制有關.當函數關系式（1）改寫成無量綱形式時：

它才真正反映了自然過程的本質，因為無量綱物理量的數值與單位制的選擇無關.式（2）中π1，π2，…，πr是由n個變量x1，x2，…，xn組合而成的r個無量綱變量，不含任何與物理量的測量方法有關的系數.此舉通過減少變量數目（r＜n），大大簡化了研究工作.從式（1）到式（2）的處理過程實為量綱分析和相似性理論的方法.這個方法涉及各物理量之間存在的本質上的深刻聯系，它在很多科學領域中都曾起過重大作用［9－11］.Buckingham 的π 定理是相似性原理及 量 綱 分析方法的成功應用，可簡述為：對某過程具有重要性的變量數目n減去基本變量的數目m（一般取長度l、質量m和時間t，m＝3），就是獨立的無量綱組合變量的數目r（＝n－m）.本文將以此為理論基礎，對既往研究中取得的大量原始數據作進一步分析歸納，即導出樁基最大地震彎矩計算公式.

2 π式的確定

2.1 研究問題

對于樁基地震彎矩的研究，以Nikolaou［12］為代表的研究者作了較好的工作.Nikolaou通過對長細比為20和40的兩類樁基開展的數值計算及數學分析，對雙層土中單樁的最大彎矩，最早提出計算公式如下：

式中，arock為基巖加速度峰值，lp為樁長，d為樁徑，Ep、E1分別為樁體與上層土的彈性模量；V1、V2分別為上下土層的剪切波速；h1為上層土的厚度.

由于式（1）未考慮上部結構傳至樁基的荷載水平及地基域土體的慣性質量效應，后來，Nikolaou［13］經過改進又提出了一個計算公式：

式中，ρ1為上層土體的密度，這在一定程度上考慮了地基域土體的質量（即慣性效應），是對以前工作作了重要改進，但仍未考慮從上部結構傳至樁基的荷載效應.由相關研究可知，樁端所承受的荷載水平不僅對樁身彎矩峰值影響顯著，而且還決定著樁（筏）基結構的自振頻率，是極為重要的工程因素之一.故此，本文針對包括樁承荷載水平在內的最廣泛因素作用下樁基最大彎矩開展討論.

表1 已完成樁基的特性參數及研究工況Tab.1 Properties parameters and study cases of piles in finished research

本文研究的樁（筏）基型式，單一土層底部為基巖，土層厚度與樁長相等；樁底支立于基巖上，樁端承受一定的從上部結構傳遞的荷載（以分擔筏板重量計）.這是樁－筏－土體系在地震下的動力相互作用研究的典型問題，即作者在以往研究中（試驗及ABAQUS計算分析）采用的同一數理模型.影響樁身最大彎矩Mmax的因素繁多，其中最具代表性的可由式（5）表達如下：

其中，最大彎矩：Mmax；樁長為lp；樁的直徑為d；樁彈性模量為Ep；筏板質量為mraft；土體剪切模量為Gs；基巖加速度（輸入）為ab；樁的密度為ρpile；土體密度為ρs.

2.2 π式的確定

由于式（5）中lp、mraft及ab包含有l、m、t這3個基本量綱，故選取其作為基本量.根據π定理，式（5）中9個物理量可組合成6個無量綱π式，因此，根據樁－筏結構與地基土體系各自的地震屬性，及其與地震工程中各因素間的內在聯系，分別提出并推導如下：

1）無量綱彎矩：

該式可由樁（直徑為d和彈性模量為Ep）的應變εm（無量綱）與相應彎矩M之間的關系導得：

此項主要表達兩者慣性質量效應之比（樁基本身質量及其所承擔的從上部結構傳遞至筏板，并進而傳遞至樁端的慣性質量），即誰占主導或程度大小.由于，地震中樁基彎矩只主要發生于一定深度范圍內，即可采用此深度范圍（lα）樁基質量即mpile，可計為：

其中，lα可根據一個普用公式（Poulos［14］；Randolph［15］）確定：

4）樁（筏）基結構與自由場土體的自振頻率之比：

當π3＝1時，即為共振效應，是工程中極力回避的.樁（筏）基結構可按單自由度系統（SDOF）考慮，在上述3）中，樁基質量已有考慮，此處視樁為無重柱，EpIp為樁體剛度，樁（筏）基結構剛度k可表達為：

其中，a為常數，其值取決于樁端約束條件.

因此，樁筏基礎的共振頻率可表達為：

對于與樁長（lp）等厚的土體，其主周期理論解為：

其中，Vs為土體的剪切波波速，且有：

因此土體的頻率為：

由式（16）～（18）可得到兩者的頻率比：

5）等效地基域的質量與基礎質量（包括上部結構傳至基礎的荷載）之比：

此項主要表達地基域與基礎體系的慣性質量之比，即表達地基域與基礎體系的慣性強弱表征.假設樁在土體的延伸深度決定著其所影響的地基域范圍，即樁在土體內的延伸越長，其所影響的地基域范圍也越廣，因此：

6）地震峰值加速：

其中，g為重力加速度.

3 π式的優化組合

根據量綱分析原理，各π式可表示成冪積關系［16］.因此，無量綱彎矩π0可由其他5個無量綱π式表達如下：

式中，a′0、a1～a5、ab為常數.

對于地震條件下的軟黏土，滲透系數較小，且因地震時間較短，不易排水，故：

將式（13）代入式（12），得：

即：

將表1中所有彎矩數據繪于圖1中，可見：極其分散且毫無規律.逐次引入上述推導所得“π式冪”（如先引入π0，見圖2），并不斷動態試探和誤差控制可將這些原始數據點壓縮至一個最小范圍的線性窄帶中（見圖3），經數學分析可確定式（24）中待定參數a″0，a′1，a2，a″2，a′3，a4和a5的最佳值，見式（25）、（26）.

圖1 各種工況下樁基的原始最大彎矩值Fig.1 Original maximum bending moment of pile with different slender ratio under different cases

圖2 π0與樁基長細比π1的關系Fig.2 Relation betweenπ0and slender ratio

圖3可得，數據群“窄帶”線性方程：Y＊＝0.147 X＊，Y＊與X＊分別代表引入π式冪變量后的復合指標，因此：通過還原各π式冪，即：

圖3 最終壓縮得到的線性窄帶Fig.3 Final condensed plot after a series of linearization

由于本研究中（試驗及ABAQUS計算分析）上部結構傳至筏板荷載由4根樁共同承擔，故有：

mload為每根樁基單獨承擔的荷載，因此式（28）可進一步改寫為一般形式：

式（30）導出了多因素下樁基最大彎矩的最終計算公式，它考慮了包括上部結構傳至樁基荷載水平在內的最廣泛影響因素.該式是基于試驗和ABAQUS計算數據導得［17－18］.通過對式中各參數的逐一敏性分析，可知其符合既往研究和工程實際的因素變化趨勢（如：Mmax∝E1.12P最大彎矩隨樁基剛度而增大，樁基剛度越大，產生的彎矩也越大；Mmax∝a0.9b最大彎矩隨地震強度增大而增大等）.

4 預測公式與權威設計圖表對比

Tabesh和Poulos［19］基于 Winkler地基梁的理論分析和數值計算，提出了在地震作用下樁身最大彎矩的幾類工程設計圖表.該研究假設線彈性均質土體中單樁受到從基巖輸出的地震波作用，峰值加速度（PGA）均為0.1 g；樁基包括木樁和混凝土樁兩類型，彈性模量分別設為10和30GPa；樁徑范圍為0.2～1.5m；土的彈性模量包括25，50和100MPa 3種；樁頭承受的荷載采用極限承載力安全系數來表達，分別為2，2.5和3.

圖4 式（30）確定的最大彎矩值與 Tabesh［19］對比Fig.4 Comparison of maximum bending moments between Eq（30）of this study and the design charts by Tabesh［19］

圖4為本文式（30）與 Tabesh［19］計算得出的樁身最大彎矩對比，可見，在樁徑較小情況下，兩者計算的樁基最大彎矩基本相符，在樁徑較大時差異較大.因式（30）和在 Tabesh和Poulos［19］的研究思路與方法完全不同，但總體上言，量值和變化趨勢兩者基本一致，說明本文導出的式（30）是合理正確的，在目前尚無成熟的樁基抗震規范情況下是具有一定參考價值的.

5 總 結

本文運用π定理，在既往研究獲取的大量原始樁基彎矩的基礎之上，通過充分考慮影響樁基彎矩的諸多因素，提出并推導出6個無量綱π式，通過數學分析為樁基（樁筏固定聯接）在地震作用下產生的最大附加彎矩理論推導得出的計算公式，符合權威工程設計圖表規律，具有一定工程應用性.本文所討論的是黏性土中樁基，對于砂性土，其地震破壞模式主要是液化及其導致的大變形，這在國內外有較多研究成果可以借鑒；對于多層土中樁基彎矩計算，可按最不利土層參數或各層土參數的加權平均取值.

本文為樁基抗震研究提供了一種新的研究思路，當原始研究數據足夠多（試驗及數值計算）時，導出的計算彎矩公式更為準確，并力求在工程設計實踐中得到檢驗、修正并積累經驗.

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