控制截面的極限分析法速算最大剪力與彎矩

張國鋒+寧錄+趙帥陽+彭巖巖+宮偉力

摘 要：剪力和彎矩是梁彎曲時橫截面上存在的兩種基本內力。基于這兩種內力之間的微分關系，用控制截面法計算其最大剪力與彎矩。不僅解題速度快而且正確率也高，能真正達到事半功倍的效果。老師在引導學生用這種方法分析題目時，當學生有了一定的感悟和表達，不要急于將剩下的一切和盤托出，而要趁熱打鐵，不斷連續追問，充分調動每位學生的積極性，以最大限度挖掘學生的潛能，這種互動啟發式的教學方法正是當今中國高等教育改革應當大力推薦的教學方法。

關鍵詞：控制截面 剪力 彎矩 互動啟發式教學

中圖分類號：TB3 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）08（c）-0098-02

Control section of limit analysis to simplify maximum shear force and bending moment

Zhang Guofeng1，Ning Lu2，Zhao Shuaiyang3，Peng Yanyan1，Gong Weili1

（1 School of Mechanics & Civil Engineering， China University of Mining & Technology ， Beijing ，100083； 2. School of Mechanical Electronic & Information Engineering， China University of Mining & Technology， Beijing 100083；3. College of Geoscience & Surveying Engineering ， China University of Mining & Technology， Beijing 100083）

Abstract：Shear force and bending moment are two kinds of basic internal force on the bending beam， based on the differential relation between the two kinds of internal force with control section method for calculating the maximum shear force and bending moment can not only fast but also high accuracy， in this way can we really achieve twice the result with half the effort. While teachers guiding students to analysis the topic in this way， when students have a certain feeling and expression， dont jump to the rest of the CARDS but strike while the iron is hot， and keep continuous cross-examine， fully arouse the enthusiasm of each student， excavate the potential of students to the largest extent， the interaction of heuristic is one of the teaching method that Chinas higher education reform should be strongly adopted.

Key words：Control section shear Force bending moment interaction heuristic teaching

1 控制截面的極限分析法簡介

工程中很多時候需要計算梁彎曲時所受的最大正應力和最大切應力[1]來和相應材料的許用正應力和許用切應力比較從而來校核梁的強度看其是否符合安全標準。從梁彎曲時的正應力公式，切應力公式中可以看出要計算梁彎曲時所受的最大正應力和最大切應力的關鍵就要求最大彎矩，最大剪力（對已知型號的各種鋼他們的，，b都是已知量，可通過查表得到）[2-4]。傳統計算梁彎曲時的最大剪力和彎矩不僅步驟繁瑣而且剪力方程和彎矩方程很容易搞錯。

從高等數學中函數的微分關系和間斷點[5]的求法中受到啟發進而將這種極限思想應用到控制截面的方法中來，這種學科之間的滲透關系正是互動啟發式教學的靈感之一。在這種教學過程中不僅發揮了老師“教”的主導作用也充分調動了學生“學”和“用”的主觀能動性[6]。從課本中的例題和習題中可以歸納出在梁彎曲時所受的力大多數只涉及到集中載荷、集中力偶和均布載荷，在這三種外加載荷的作用下其剪力圖都是線性的，考慮到剪力方程和彎矩方程之間的微分關系[7]，剪力圖和彎矩圖就可以根據特殊點很快畫出來。因而在教學過程中很自然的對這種規律會拋出問題引導學生去求這些線性圖形的特殊點然后根據微分方程找出剪力圖和彎矩圖之間的內在聯系[8-9]。這些特殊點就是高等數學中函數的間斷點。在間斷點處去求剪力和彎矩的突變正是控制截面的極限分析法解題的關鍵所在。

2 教學設計

對課本中的理論學習、定理推導、或典型例題由老師首先進行提綱式講解，并且堅持板書為主PPT為輔。在同學們對梁彎曲的基礎知識有了進一步了解后提出控制截面的極限分析法這個解題思路，并稍微點撥，然后留十分鐘左右時間讓學生自己深入思考這種解題方法的核心，接著師生一起互動討論，由學生說出各自的討論結果及心得體會，最后再由老師給予評價并總結結論。endprint

從老師講解提示的方法中慢慢領悟到控制截面的極限分析法解題關鍵就是找間斷點，間斷點所在位置就是力的作用點處。而控制截面法就是以這些力（集中力及力偶）的作用點（O）為界在無限靠近它的左右兩側分別取一個截面，如果選取梁的左側為坐標原點，則只需將O點的受力歸結到其右側計算，O點受力情況對左邊截面剪力和彎矩都無影響。考慮到均布載荷需要用到微積分的方法來計算，其受力的首端和尾端兩側作用面可以合二為一。找出這些間斷點后，在相應的坐標上將這些間斷點標出來，在剪力圖上用直線將這些相鄰的點連接起來便得到梁彎曲時的剪力圖，將間斷點處的彎矩標出來后再根據剪力方程和彎矩方程之間的微分關系確定彎矩圖應該是直線還是拋物線。

2.1 實例分析

在同學們對控制截面的極限法有了進一步的思考后由老師給出一道隨堂練習，并要求學生在規定時間內寫出解題思路及主要步驟。

例：一橫梁受如圖1所示的作用力，畫出該梁彎曲時的剪力圖和彎矩圖并指出可能的危險截面。

解：分析先由靜力學知識可求得B、D兩點處的支座反力分別為，。在A、B、C、D、E這五個間斷點上作用有三種不同性質的力，A、B兩點都是集中載荷，C點是一附加力偶，DE段之間是均布載荷。取AC這段為代表用控制截面法分析B、C兩點左右兩側截面上剪力與彎矩的變化，其受力如圖1所示：

（1）取B點分析集中力的作用。在B點左側截面1-1上，B處受力對該截面無任何影響，該截面的剪力等于其左側所有外力在該截面上投影的代數和，彎矩為所有外力乘上力的作用點到該截面的距離求得1-1截面上剪力 （1）

彎矩 （2）

在計算截面2-2上剪力和彎矩時就要將B點處的受力考慮進去，由于截面2-2對B點的力矩為零故B點所受外力對B左右兩側截面上彎矩無影響。根據受力情況直接寫出2-2截面上

（3）

（4）

（2）取C這個特殊點分析集中力偶的作用。在截面3-3上不考慮C點所加力偶對其受力影響而在截面4-4上將其考慮進去。由于外加載荷為集中力偶，其對剪力和彎矩變化的影響剛好和（1）相反，集中力偶影響其作用點兩側彎矩而對剪力無影響。根據受力情況直接寫出3-3截面上：

（5）

（6）

4-4截面上：

（7）

（8）

（3）DE這段為均布載荷作用區且D點外加一集中力，在分析這段時對D點兩側截面的分析先不考慮均布載荷對其影響而按照集中力的方法去分析。由于E點為梁的端點，由平衡條件可知在該處剪力和彎矩都應該為零。其它各點同理分析，畫出剪力和彎矩的大致圖形如圖3所示。

（4）從圖上很清楚的可以看出剪力和彎矩的突變位置都是在這些間斷點處，最大剪力和最大彎矩就是在這些間斷點中的某處產生的，因此梁的危險截面也是在這些間斷點處中的某處。知道了危險截面有利于提前采取措施，防止不必要的事故發生。該例中最大剪力在AB段和D點，最大彎矩在C點。

2.2 歸納總結

完成以上教學任務后可總結剪力圖和彎矩圖的以下規律：

①集中力作用區控制截面兩側剪力有突變，突變值即該處作用力的大小，彎矩沒有突變。集中力偶作用區剛好相反，彎矩有突變剪力是相同的；

②無荷載區彎矩圖、剪力圖均為直線；③均布載荷作用區剪力圖仍然為直線；彎矩圖此時為拋物線其三個特殊點分別為均布載荷作用區的始端、末端與在此段內剪力為零的點。

根據以上三條規律再加上前面用控制截面求得的間斷點兩側的特殊值剪力圖和彎矩圖就能夠很容易畫出來了，這樣從圖中最大剪力及最大彎矩及其作用點就一目了然了。

3 結語

從問題的提出到解決的整個過程中沒有出現難懂的專業術語也沒有長篇大論擺公式講道理，這樣原本枯燥無味的課堂氣氛就輕松了很多，學生學得欲望也高了。這一點正是互動啟發式教學的亮點之一。因此為了適應創新型人才培養的需要，大學本科生課堂教學也需要改變傳統的教學方法而其焦點就是注重培養學生獨立思考，自主學習的能力。而這種互動啟發式的教學方法就突破了傳統的教學方法。在這種啟發式、討論式教學，研究型學習中，不僅提高了課堂教學效率、深化了書本知識、，也使得同學們的研究能力與創新性思維得到了訓練與提高。

參考文獻

[1] 胡偉平，張行，孟慶春.受橫向分布載荷直梁彎曲應力分析的分離變量解法[J].工程力學，2009（6）：42-45.

[2] 周敏，潘玉山.基于VB建立《工程力學》中三種梁的剪力和彎矩圖[J].無錫職業技術學院學報，2003（2）：28-32.

[3] 黃毅.工程力學.北京科技大學，東北大學編。高等教育出版社.

[4] 林建平，林瓊華.剪力和彎矩的計算規律[J].寧德師專學報（自然科學版），1999（4）：265-266.

[5] 同濟大學數學系.高等數學（第六版）（上冊）[M].高等教育出版社，2007.

[6] 張懷明，徐波，丁祥千.淺談青年教師應處理好的三種關系[J].新課程（教育學術），2010（11）.

[7] 張千.彎曲梁上剪力、彎矩和分布載荷間微分關系[J].價值工程，2011（29）.

[8] 姚愛民.巧求剪力、彎矩值，畫剪力、彎矩圖[J].新課程（教育學術），2010（11）.

[9]韓瑞功.理論力學中剪力、彎矩、載荷集度之間的微分關系[J].信陽師范學院學報（自然科學版），2010（3）.endprint

從老師講解提示的方法中慢慢領悟到控制截面的極限分析法解題關鍵就是找間斷點，間斷點所在位置就是力的作用點處。而控制截面法就是以這些力（集中力及力偶）的作用點（O）為界在無限靠近它的左右兩側分別取一個截面，如果選取梁的左側為坐標原點，則只需將O點的受力歸結到其右側計算，O點受力情況對左邊截面剪力和彎矩都無影響。考慮到均布載荷需要用到微積分的方法來計算，其受力的首端和尾端兩側作用面可以合二為一。找出這些間斷點后，在相應的坐標上將這些間斷點標出來，在剪力圖上用直線將這些相鄰的點連接起來便得到梁彎曲時的剪力圖，將間斷點處的彎矩標出來后再根據剪力方程和彎矩方程之間的微分關系確定彎矩圖應該是直線還是拋物線。

2.1 實例分析

在同學們對控制截面的極限法有了進一步的思考后由老師給出一道隨堂練習，并要求學生在規定時間內寫出解題思路及主要步驟。

例：一橫梁受如圖1所示的作用力，畫出該梁彎曲時的剪力圖和彎矩圖并指出可能的危險截面。

解：分析先由靜力學知識可求得B、D兩點處的支座反力分別為，。在A、B、C、D、E這五個間斷點上作用有三種不同性質的力，A、B兩點都是集中載荷，C點是一附加力偶，DE段之間是均布載荷。取AC這段為代表用控制截面法分析B、C兩點左右兩側截面上剪力與彎矩的變化，其受力如圖1所示：

（1）取B點分析集中力的作用。在B點左側截面1-1上，B處受力對該截面無任何影響，該截面的剪力等于其左側所有外力在該截面上投影的代數和，彎矩為所有外力乘上力的作用點到該截面的距離求得1-1截面上剪力 （1）

彎矩 （2）

在計算截面2-2上剪力和彎矩時就要將B點處的受力考慮進去，由于截面2-2對B點的力矩為零故B點所受外力對B左右兩側截面上彎矩無影響。根據受力情況直接寫出2-2截面上

（3）

（4）

（2）取C這個特殊點分析集中力偶的作用。在截面3-3上不考慮C點所加力偶對其受力影響而在截面4-4上將其考慮進去。由于外加載荷為集中力偶，其對剪力和彎矩變化的影響剛好和（1）相反，集中力偶影響其作用點兩側彎矩而對剪力無影響。根據受力情況直接寫出3-3截面上：

（5）

（6）

4-4截面上：

（7）

（8）

（3）DE這段為均布載荷作用區且D點外加一集中力，在分析這段時對D點兩側截面的分析先不考慮均布載荷對其影響而按照集中力的方法去分析。由于E點為梁的端點，由平衡條件可知在該處剪力和彎矩都應該為零。其它各點同理分析，畫出剪力和彎矩的大致圖形如圖3所示。

（4）從圖上很清楚的可以看出剪力和彎矩的突變位置都是在這些間斷點處，最大剪力和最大彎矩就是在這些間斷點中的某處產生的，因此梁的危險截面也是在這些間斷點處中的某處。知道了危險截面有利于提前采取措施，防止不必要的事故發生。該例中最大剪力在AB段和D點，最大彎矩在C點。

2.2 歸納總結

完成以上教學任務后可總結剪力圖和彎矩圖的以下規律：

①集中力作用區控制截面兩側剪力有突變，突變值即該處作用力的大小，彎矩沒有突變。集中力偶作用區剛好相反，彎矩有突變剪力是相同的；

②無荷載區彎矩圖、剪力圖均為直線；③均布載荷作用區剪力圖仍然為直線；彎矩圖此時為拋物線其三個特殊點分別為均布載荷作用區的始端、末端與在此段內剪力為零的點。

根據以上三條規律再加上前面用控制截面求得的間斷點兩側的特殊值剪力圖和彎矩圖就能夠很容易畫出來了，這樣從圖中最大剪力及最大彎矩及其作用點就一目了然了。

3 結語

從問題的提出到解決的整個過程中沒有出現難懂的專業術語也沒有長篇大論擺公式講道理，這樣原本枯燥無味的課堂氣氛就輕松了很多，學生學得欲望也高了。這一點正是互動啟發式教學的亮點之一。因此為了適應創新型人才培養的需要，大學本科生課堂教學也需要改變傳統的教學方法而其焦點就是注重培養學生獨立思考，自主學習的能力。而這種互動啟發式的教學方法就突破了傳統的教學方法。在這種啟發式、討論式教學，研究型學習中，不僅提高了課堂教學效率、深化了書本知識、，也使得同學們的研究能力與創新性思維得到了訓練與提高。

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[8] 姚愛民.巧求剪力、彎矩值，畫剪力、彎矩圖[J].新課程（教育學術），2010（11）.

[9]韓瑞功.理論力學中剪力、彎矩、載荷集度之間的微分關系[J].信陽師范學院學報（自然科學版），2010（3）.endprint

從老師講解提示的方法中慢慢領悟到控制截面的極限分析法解題關鍵就是找間斷點，間斷點所在位置就是力的作用點處。而控制截面法就是以這些力（集中力及力偶）的作用點（O）為界在無限靠近它的左右兩側分別取一個截面，如果選取梁的左側為坐標原點，則只需將O點的受力歸結到其右側計算，O點受力情況對左邊截面剪力和彎矩都無影響。考慮到均布載荷需要用到微積分的方法來計算，其受力的首端和尾端兩側作用面可以合二為一。找出這些間斷點后，在相應的坐標上將這些間斷點標出來，在剪力圖上用直線將這些相鄰的點連接起來便得到梁彎曲時的剪力圖，將間斷點處的彎矩標出來后再根據剪力方程和彎矩方程之間的微分關系確定彎矩圖應該是直線還是拋物線。

2.1 實例分析

在同學們對控制截面的極限法有了進一步的思考后由老師給出一道隨堂練習，并要求學生在規定時間內寫出解題思路及主要步驟。

例：一橫梁受如圖1所示的作用力，畫出該梁彎曲時的剪力圖和彎矩圖并指出可能的危險截面。

解：分析先由靜力學知識可求得B、D兩點處的支座反力分別為，。在A、B、C、D、E這五個間斷點上作用有三種不同性質的力，A、B兩點都是集中載荷，C點是一附加力偶，DE段之間是均布載荷。取AC這段為代表用控制截面法分析B、C兩點左右兩側截面上剪力與彎矩的變化，其受力如圖1所示：

（1）取B點分析集中力的作用。在B點左側截面1-1上，B處受力對該截面無任何影響，該截面的剪力等于其左側所有外力在該截面上投影的代數和，彎矩為所有外力乘上力的作用點到該截面的距離求得1-1截面上剪力 （1）

彎矩 （2）

在計算截面2-2上剪力和彎矩時就要將B點處的受力考慮進去，由于截面2-2對B點的力矩為零故B點所受外力對B左右兩側截面上彎矩無影響。根據受力情況直接寫出2-2截面上

（3）

（4）

（2）取C這個特殊點分析集中力偶的作用。在截面3-3上不考慮C點所加力偶對其受力影響而在截面4-4上將其考慮進去。由于外加載荷為集中力偶，其對剪力和彎矩變化的影響剛好和（1）相反，集中力偶影響其作用點兩側彎矩而對剪力無影響。根據受力情況直接寫出3-3截面上：

（5）

（6）

4-4截面上：

（7）

（8）

（3）DE這段為均布載荷作用區且D點外加一集中力，在分析這段時對D點兩側截面的分析先不考慮均布載荷對其影響而按照集中力的方法去分析。由于E點為梁的端點，由平衡條件可知在該處剪力和彎矩都應該為零。其它各點同理分析，畫出剪力和彎矩的大致圖形如圖3所示。

（4）從圖上很清楚的可以看出剪力和彎矩的突變位置都是在這些間斷點處，最大剪力和最大彎矩就是在這些間斷點中的某處產生的，因此梁的危險截面也是在這些間斷點處中的某處。知道了危險截面有利于提前采取措施，防止不必要的事故發生。該例中最大剪力在AB段和D點，最大彎矩在C點。

2.2 歸納總結

完成以上教學任務后可總結剪力圖和彎矩圖的以下規律：

①集中力作用區控制截面兩側剪力有突變，突變值即該處作用力的大小，彎矩沒有突變。集中力偶作用區剛好相反，彎矩有突變剪力是相同的；

②無荷載區彎矩圖、剪力圖均為直線；③均布載荷作用區剪力圖仍然為直線；彎矩圖此時為拋物線其三個特殊點分別為均布載荷作用區的始端、末端與在此段內剪力為零的點。

根據以上三條規律再加上前面用控制截面求得的間斷點兩側的特殊值剪力圖和彎矩圖就能夠很容易畫出來了，這樣從圖中最大剪力及最大彎矩及其作用點就一目了然了。

3 結語

從問題的提出到解決的整個過程中沒有出現難懂的專業術語也沒有長篇大論擺公式講道理，這樣原本枯燥無味的課堂氣氛就輕松了很多，學生學得欲望也高了。這一點正是互動啟發式教學的亮點之一。因此為了適應創新型人才培養的需要，大學本科生課堂教學也需要改變傳統的教學方法而其焦點就是注重培養學生獨立思考，自主學習的能力。而這種互動啟發式的教學方法就突破了傳統的教學方法。在這種啟發式、討論式教學，研究型學習中，不僅提高了課堂教學效率、深化了書本知識、，也使得同學們的研究能力與創新性思維得到了訓練與提高。

參考文獻

[1] 胡偉平，張行，孟慶春.受橫向分布載荷直梁彎曲應力分析的分離變量解法[J].工程力學，2009（6）：42-45.

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[3] 黃毅.工程力學.北京科技大學，東北大學編。高等教育出版社.

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[8] 姚愛民.巧求剪力、彎矩值，畫剪力、彎矩圖[J].新課程（教育學術），2010（11）.

[9]韓瑞功.理論力學中剪力、彎矩、載荷集度之間的微分關系[J].信陽師范學院學報（自然科學版），2010（3）.endprint