Chaboche隨動硬化模型參數確定及棘輪效應

姜金朋 陳 濤 金 平

(北京航空航天大學 宇航學院，北京100191)

王 玨

(中國運載火箭技術研究院 總體設計部，北京100076)

材料在平均應力非零的應力控制循環載荷作用下會出現塑性應變累積現象，即棘輪效應，這是材料在循環載荷作用下的重要循環塑性行為，對結構循環疲勞起重要作用，因此，準確預測棘輪發展及損傷對結構疲勞分析有重要影響.大部分循環硬化或軟化金屬達到一定循環次數后穩定，或是屈服面尺寸停止改變，但棘輪仍然增加，因此，隨動硬化(屈服面的移動)是棘輪的主要原因.

Hassan，Corona和Kang等人針對材料循環棘輪特性，對不同材料和不同載荷條件進行了大量試驗研究［1-6］.其中，Hassan 等人［1-4］對碳鋼1020、碳鋼1026和碳鋼1018、不銹鋼304進行了較大應力范圍的試驗，很多研究者采用該文獻結果驗證模型對棘輪效應預測的準確性.

除了進行試驗研究，研究者還提出不同的硬化模型預測材料的循環響應.Prager［7］提出最簡單的隨動硬化模型，能夠反映循環載荷的包辛格效應，但是在描述平均應力非零的應力循環加載時，該模型給出封閉的應力應變滯回環，不能預測棘輪.對Prager硬化律的改進主要有兩種:一種是Besseling［8］和 Mroz［9］提出的多面模型，后來又經進一步改進，但是多線性模型仍然不能預測棘輪;另一種改進是考慮逐漸減弱的記憶效應，引入所謂的“恢復項”，Frederick等人［10］最先提出非線性硬化律，Chaboche［11］在此基礎上將背應力分解成不同分量，每一個分量遵循A-F硬化律.很多研究表明，Chaboche隨動硬化模型能夠有效地預測 棘 輪［12-16］.Hassan 和 Bari［1，12］等 人 評 估 了Prager，A-F，Chaboche，Ohno-Wang 和 Guionnet 5種本構模型對碳鋼棘輪預測的能力，并詳細闡述了這些模型預測成功或失敗的原因，結果表明，Chaboche和Ohno-Wang模型能很好地預測單軸棘輪.Lynda等人［13］進行了應變控制、應力控制的單軸試驗，用Chaboche模型對棘輪效應進行模擬，結果發現，參數優化對得到較好模擬結果有重要作用，Chaboche模型預測單軸棘輪與試驗接近.Rezaiee-Pajand等人［14］通過推導背應力演化和塑性應變累積的關系，建立了一套確定Chaboche硬化模型參數的系統數學方法，利用單軸棘輪試驗數據確定參數，數值計算結果表明，Chaboche模型非常有效.Mahmoudi等人［15］采用多目標遺傳算法計算Chaboche模型參數，同時考慮穩定的應力應變滯回曲線和棘輪曲線，得到的參數用于模型中進行單軸棘輪模擬，結果與試驗吻合很好.Badnava等人［16］基于Chaboche隨動硬化模型，研究了柱狀管在不同加載類型下的循環行為，并且與試驗結果符合良好.

本文利用Hassan等人對碳鋼CS1026的試驗結果，采用單目標遺傳算法優化方法，考慮滯回曲線和棘輪曲線，確定3種不同Chaboche模型的參數，并用四分量模型研究加載順序對棘輪的影響.

1 本構方程

1.1 屈服準則

CHABOCHE隨動硬化模型基于Von Mises屈服準則:

其中，σ為應力張量;α為背應力張量，即屈服面中心;s為偏應力張量;a為偏背應力張量，即偏應力空間中屈服面中心;k為屈服面尺寸，在隨動硬化模型中為常數.

1.2 流動準則

描述塑性流動方向，塑性應變在屈服面梯度方向增加:

其中，dεp為塑性應變增量;λ為塑性乘子.

1.3 隨動硬化律

Chaboche硬化模型是幾個Armstrong硬化模型的疊加，最初Chaboche提出3個背應力分量(即M=3)的模型，α1用來描述中等塑性應變時的非線性行為，α2用來描述塑性應變非常小的彈塑性過渡區的非線性行為，α3用來描述大塑性應變時的近似常切線剛度現象和極限棘輪應變的非線性行為，屈服面中心αx=α1+α2+α3.

2 Chaboche模型參數確定

由于Chaboche模型中參數較多，而且沒有明顯的物理意義，因此很難從試驗數據中直接獲得參數.本文采用單目標遺傳算法優化方法，以應變控制循環加載試驗得到的穩定應力應變滯回曲線(圖1)和應力控制循環加載棘輪試驗得到的應變峰值(每一次循環中的最大應變)vs循環次數曲線(圖2)［5］的數據為輸入，試驗中應變控制的循環載荷和應力控制的循環載荷分別如圖3、圖4所示，圖中，σm為平均應力，σa為應力幅值，應力控制的循環加載試驗有6組，載荷取值水平如表1所示，優化算法中用作輸入的是第2組;Chaboche隨動硬化模型參數為輸出，使預測的滯回曲線和棘輪曲線與試驗的差距最小，目標函數如下式:

圖1 應變循環加載試驗穩定滯回曲線Fig.1 Hysteresis loop under strain controlled cyclic loading

圖2 試驗應變峰值vs循環次數Fig.2 Experimental peak strain vs cyclic number

圖3 應變控制的循環載荷Fig.3 Strain controlled cyclic loading

圖4 應力控制的循環載荷Fig.4 Stress controlled cyclic loading

表1 應力控制循環加載試驗取值水平Table 1 Mean stress and stress amplitudes in experiments psi

本文采用3種Chaboche模型，包括3個非線性背應力分量的模型(N3L0)、3個非線性分量和1個線性分量的模型(N3L1)以及4個非線性分量的模型(N4L0)，通過遺傳算法優化得到的模型參數如表2所示.所得Chaboche模型預測的滯回曲線如圖5所示，從圖中可以看出，3個模型對高應變范圍的線性段預測與試驗曲線基本一致;N3L0與N4L0模型預測的滯回曲線基本相同，對非線性過渡段預測結果與試驗相差較大;N3L1模型在非線性過渡段的預測與試驗基本相符，但在開始屈服段預測的應力值比試驗結果稍低.

圖5 應變控制的滯回曲線Fig.5 Strain controlled hysteresis loop

圖6為3個模型預測的棘輪效應與試驗結果的比較，可以看出，N3L0模型預測的應變峰值總體上比試驗值偏大，Loadcase1和4結果與試驗接近，Loadcase2和5的二十幾次循環結果與試驗吻合，后面的循環預測結果比試驗大，可能是由于未考慮到循環硬化的影響，本文以Loadcase2的試驗結果為優化輸入，得到的模型預測Loadcase3和6結果與試驗相差大;N3L1模型預測結果總體上比試驗值低，這是因為模型中增加的線性項減弱了模型對棘輪的預測，因此Loadcase1～6的前十幾次或三十幾次循環預測結果與試驗相符，而后面循環的預測值比試驗低;N4L0模型預測結果除了Loadcase3比試驗結果大，其他與試驗結果吻合較好.

表2 CS1026的Chaboche模型參數Table 2 Material parameters of CS1026 in Chaboche model

圖6 應變峰值vs循環次數Fig.6 Peak strain vs cyclic number

3 棘輪模擬

從圖6可以看出，隨著應力平均值或應力幅值增大，每一次循環中的應變峰值增大，近線性段斜率增大，表明應變累積速度增加.為研究加載順序對棘輪的影響，采用上文中確定的四分量Chaboche模型N4L0對不同加載水平下的棘輪進行模擬.

對低-高、高-低兩種不同的加載順序分別進行棘輪模擬，應力取值水平如表3所示.每一應力水平進行10次循環加載，其中，先加載的應力平均值和應力幅值記為σm1，σa1，后加載的應力平均值和應力幅值記為σm2，σa2.Loadcase1～6中應力幅值一致，低應力水平的應力平均值相同，高應力水平的應力平均值取3組不同大小的值，棘輪模擬結果如圖7所示，可以看出，加載順序低-高的累積應變高于高-低加載的累積應變，而且，高應力水平的平均應力取值越大，兩種加載順序的累積應變相差越多;后加載的低水平應力下棘輪曲線斜率明顯低于先加載的低水平應力下的斜率，說明前者的應變累積速度明顯低于后者;比較Loadcase2，4，6的低平均應力水平加載可以看出，隨著高應力水平的平均應力增大，低應力水平加載的棘輪曲線斜率變小，應變累積減小，Loadcase6甚至基本沒有應變累積;圖7表明，平均應力加載順序影響棘輪應變累積，后加載的平均應力水平會受到先前加載應力水平的限制，先加載的平均應力水平越高，后加載的應力受限越明顯，應變累積越小.Loadcase7～12中應力平均值一致，低應力水平的應力幅值相同，高應力水平的應力幅值取3組不同大小的值，棘輪模擬結果如圖8所示，兩種加載順序下的累積應變幾乎相同，說明應力幅值加載順序對棘輪應變累積的影響小.

表3 應力取值水平Table 3 Mean stress and stress amplitudes psi

圖7 應力平均值改變時加載順序對棘輪的影響Fig.7 Influence of mean stress sequence on ratcheting

圖8 應力幅值改變時加載順序對棘輪的影響Fig.8 Influence of stress amplitude sequence on ratcheting

4 結論

本文采用遺傳算法優化方法，利用文獻中CS1026試驗的應力應變滯回曲線和棘輪曲線獲得Chaboche模型中的參數，并用包含4個隨動硬化分量的模型進行棘輪模擬，研究加載順序對棘輪的影響，得到以下結論:

1)利用試驗的應力應變滯回曲線和棘輪曲線，采用遺傳算法優化方法，可以有效地確定Chaboche隨動硬化模型參數，3種模型中，N4L0模型對棘輪的預測與試驗結果吻合最好.

2)增大應力幅值或應力平均值，都會使應變峰值增大，且應變累積速度加快;平均應力加載順序對累積應變有較大影響，加載順序高-低的累積應變低于加載順序低-高的累積應變，而且先加載的平均應力越大，后加載的載荷產生的累積應變越小;而應力幅值加載順序對應變累積幾乎沒有影響.

References)

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