基于λ-等效原則的并聯(lián)系統(tǒng)備件配置方法＊

（海軍工程大學(xué)兵器工程系 武漢 430033）

1 引言

備件配置優(yōu)化，即為裝備確定備件品種和數(shù)量最合理的配置，以在有限的資源約束條件下實(shí)現(xiàn)最大的備件供應(yīng)效能，或者以最小的資源實(shí)現(xiàn)要求的供應(yīng)效能水平［1～2］。對(duì)于工程中由多部件組成的系統(tǒng)而言，為了確保其連續(xù)工作能力，通常會(huì)對(duì)其配置一定數(shù)量的備件。在配置過(guò)程中，為了使系統(tǒng)具備較高的連續(xù)工作能力，往往需要配置較多的備件，這就產(chǎn)生了高額的保障費(fèi)用（如采購(gòu)和庫(kù)存費(fèi)用）。而配置備件較少，又會(huì)頻繁出現(xiàn)備件短缺的情況，導(dǎo)致系統(tǒng)不可用。因此，在有限經(jīng)費(fèi)條件下，如何合理地配置備件以滿足系統(tǒng)的使用要求，具有重要的經(jīng)濟(jì)意義和使用價(jià)值。

針對(duì)由不同壽命分布類型不可修部件組成的系統(tǒng)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了大量的相關(guān)研究。通過(guò)綜合考慮系統(tǒng)的戰(zhàn)備完好性或任務(wù)可靠度，以及保障費(fèi)用等條件建立了相應(yīng)的備件配置模型，并且通過(guò)采用邊際效益、動(dòng)態(tài)規(guī)劃或遺傳算法等優(yōu)化算法對(duì)備件配置方案進(jìn)行了優(yōu)化。如文獻(xiàn)［1］針對(duì)部件服從任意壽命分布的多部件系統(tǒng)，提出了基于蒙特卡羅仿真-邊際效益分析的備件配置優(yōu)化算法。文獻(xiàn)［3］綜合考慮備件的費(fèi)用、體積和質(zhì)量等因素，提出了系統(tǒng)保障度分配模型并采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的優(yōu)化方法得到備件的配置方案；文獻(xiàn)［4］利用邊際效益方法和仿真優(yōu)化方法解決備件配置優(yōu)化問(wèn)題的思路；文獻(xiàn)［5］針對(duì)Weibull分布型多部件備件組成的串聯(lián)系統(tǒng)，提出了備件需求量的改進(jìn)算法。盡管上述方法成功地解決了部分問(wèn)題，但存在一定的適用性。比如大部分文獻(xiàn)［6～7］僅研究了指數(shù)壽命分布組成的系統(tǒng)的備件配置問(wèn)題，對(duì)于實(shí)際中存在的不同壽命分布類型組成的系統(tǒng)備件，由于其自身的復(fù)雜性（壽命規(guī)律不同），導(dǎo)致備件配置模型十分復(fù)雜，往往僅能通過(guò)仿真手段進(jìn)行求解。特別是對(duì)于并聯(lián)系統(tǒng)而言，由于結(jié)構(gòu)的特殊性，導(dǎo)致較少文獻(xiàn)對(duì)其進(jìn)行研究。由此可見(jiàn)，針對(duì)多壽命分布類型組成的并聯(lián)系統(tǒng)，如何建立其備件配置優(yōu)化模型，從而可以準(zhǔn)確、直觀地獲得備件優(yōu)化解析解尚需進(jìn)一步研究。

針對(duì)由不同壽命分布類型部件組成的并聯(lián)系統(tǒng)的備件配置問(wèn)題，首先依據(jù)累積失效相等原則，將不同壽命分布部件等效為指數(shù)型部件；然后在此基礎(chǔ)上建立以系統(tǒng)保障度為約束條件，以保障費(fèi)用為目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，并利用邊際效應(yīng)算法，對(duì)不同壽命分布類型的部件的備件配置數(shù)量進(jìn)行了優(yōu)化求解；最后通過(guò)具體案例的應(yīng)用，對(duì)計(jì)算方法進(jìn)行了進(jìn)一步的說(shuō)明和檢驗(yàn)。

2 非指數(shù)分布等效為指數(shù)分布方法

2．1 λ-等效原則

衡量一種分布的基本參數(shù)包括失效率、平均壽命、可靠度等。已有的文獻(xiàn)研究表明，盡管平均壽命等效方法對(duì)于非指數(shù)型備件的數(shù)量確定具有適應(yīng)性，但具有保守性。但如果按照這種方法進(jìn)行備件需求預(yù)測(cè)，方便的同時(shí)又會(huì)造成備件的浪費(fèi)，有時(shí)甚至是過(guò)度浪費(fèi)。通過(guò)數(shù)值分析表明了，累積失效相等方法由于具有較高的近似精度而更加適合艦船裝備備件需求數(shù)量的確定［8～9］。

所謂失效率是指部件在工作到給定時(shí)間后，單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的概率。若部件的壽命分布函數(shù)為F（t），其失效率函數(shù)為λ（t），平均壽命為μ，則其在（0，t］時(shí)間內(nèi)平均故障累積函數(shù)（Cumulative Hazard Function，CHF）為

平均故障累積函數(shù)反映了備件在時(shí)間t內(nèi)的平均故障次數(shù)。當(dāng)該分布為指數(shù)型分布時(shí)，有H′其中λ′為常數(shù)。若采用平均故障累積函數(shù)相等原則，將非指數(shù)分布等效為指數(shù)分布時(shí)，即要求H（t）＝H′（t）＝λ′t，得到

稱上述等效原則為累積失效相等原則，簡(jiǎn)稱λ-等效原則［10］。通過(guò)該方法，可將非指數(shù)型分布等效成失效率為常數(shù)的指數(shù)分布，表明在相等時(shí)間內(nèi)平均累積故障次數(shù)相等。

2．2 非指數(shù)型分布備件的λ-等效方法

根據(jù)文獻(xiàn)［5］的推導(dǎo)計(jì)算，分別有威布爾分布、正態(tài)分布、伽馬分布型備件的λ-等效方法如下：

1）威布爾型備件的λ-等效方法

對(duì)于服從參數(shù)為（β，λ）的威布爾型分布備件，當(dāng)形狀參數(shù)β＞1時(shí)，其平均壽命為（1＋1／β），失效率可等效為λ1＝λtβ-1。

當(dāng)保障時(shí)間T≤μ時(shí)：

當(dāng)保障時(shí)間T＞μ時(shí)：

2）正態(tài)型備件的λ-等效方法

對(duì)于服從（μ，σ）的正態(tài)型備件，其失效率可等效為

當(dāng)保障時(shí)間T≤μ時(shí)：

當(dāng)保障時(shí)間T＞μ時(shí)：

3）伽馬型備件的λ-等效方法

對(duì)于服從（α，λ）的伽馬型備件，其平均壽命μ＝α／λ，失效率可等效為

當(dāng)保障時(shí)間T≤μ時(shí)：

當(dāng)保障時(shí)間T＞μ時(shí)：

3 不同壽命分布部件并聯(lián)系統(tǒng)備件配置優(yōu)化建模

為簡(jiǎn)化計(jì)算，本文建立的并聯(lián)系統(tǒng)備件需求預(yù)測(cè)模型假設(shè)如下：1）所有部件均為不可修件，且初始時(shí)各部件為全新件；2）不考慮環(huán)境、氣候、人為因素等對(duì)部件壽命的影響；3）忽略換件時(shí)間。

假設(shè)并聯(lián)系統(tǒng)由m個(gè)部件組成，系統(tǒng)各部件服從失效率為λ′i（t）（i＝1，2，…，m）的不同壽命分布，通過(guò)λ-等效方法將各部件服從不同壽命分布的失效率λ′i（t）分別等效為服從λi（i＝1，2，…，m）的指數(shù)分布。不同的備件配置費(fèi)用不同，記為Si（i＝1，2，…，m）。

在實(shí)際使用中，裝備總是優(yōu)先考慮完成任務(wù)的能力，在此基礎(chǔ)上使費(fèi)用消耗最低。因此，本文建模以并聯(lián)系統(tǒng)的總費(fèi)用S為目標(biāo)函數(shù)，以保障度P為約束條件，尋求最優(yōu)的備件配置數(shù)量，使并聯(lián)系統(tǒng)在保障度限制條件下達(dá)到最小的費(fèi)用消耗，則并聯(lián)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

其中，ni為各部件對(duì)應(yīng)的備件配置數(shù)量，λk為各部件等效為指數(shù)分布后的失效率，α為并聯(lián)系統(tǒng)保障度。

4 運(yùn)用邊際效益方法優(yōu)化計(jì)算備件配置數(shù)量

使用邊際效益方法對(duì)并聯(lián)系統(tǒng)的備件配置進(jìn)行優(yōu)化，在尋求系統(tǒng)保障度與備件費(fèi)用之間的最佳平衡時(shí)，重復(fù)以下兩個(gè)步驟直到滿足保障度要求和費(fèi)用限制：計(jì)算給定庫(kù)存水平下的系統(tǒng)的保障度Ps；使用邊際效益方法確定各部件對(duì)應(yīng)備件的購(gòu)置順序，選擇購(gòu)置效益最高的備件作為下一步的購(gòu)置對(duì)象，計(jì)算備件購(gòu)置后的系統(tǒng)保障度。具體計(jì)算步驟如下：

步驟1 計(jì)算給定庫(kù)存水平下的系統(tǒng)的保障度Ps。假設(shè)并聯(lián)系統(tǒng)由m個(gè)指數(shù)型部件組成，其第i個(gè)部件的備件庫(kù)存為ni，對(duì)于壽命服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布的部件，其系統(tǒng)保障度由式（9）求得。

步驟2 使用邊際效益分析方法。經(jīng)過(guò)步驟1，可以算出庫(kù)存水平為（n1，n2，…，nm）時(shí)的系統(tǒng)保障度Ps，若此時(shí)的Ps未達(dá)到目標(biāo)保障度P，就在原庫(kù)存水平下選擇某種部件增加一個(gè)備件，則有m可能，分別為（n1＋1，n2，…，nm），（n1，n2＋1，…，nm），…，（n1，n2，…，nm＋1）。定義增長(zhǎng)因子Ai為第i個(gè)部件庫(kù)存量從ni增加到ni＋1時(shí)，系統(tǒng)的新舊保障度與該部件單個(gè)費(fèi)用的比值，其計(jì)算表達(dá)式如下

其中，Pi＋1表示第i個(gè)部件增加一個(gè)備件后的系統(tǒng)保障度，Si表示第i個(gè)部件的單個(gè)費(fèi)用。根據(jù)式（10）計(jì)算出所有部件對(duì)應(yīng)的增長(zhǎng)因子Ai，并比較出值最大的Ai，則值最大的Ai就是要增加庫(kù)存的部件，其庫(kù)存量增加1。把增加后的庫(kù)存作為新的庫(kù)存水平，重復(fù)以上步驟，直到系統(tǒng)保障度達(dá)到目標(biāo)保障度。

步驟3 得出備件配置數(shù)量。在步驟2中，系統(tǒng)保障度達(dá)到目標(biāo)保障度時(shí)庫(kù)存水平即為備件配置數(shù)量。

5 算例分析

假設(shè)并聯(lián)系統(tǒng)分別由如表1所示的三個(gè)部件組成，其壽命分布特征參數(shù)、單價(jià)在表中列出，初始庫(kù)存為0，要求該系統(tǒng)在工作時(shí)間1000小時(shí)內(nèi)，系統(tǒng)保障度達(dá)到0．97。采用近似方法和邊際效益優(yōu)化后得到的備件配置數(shù)量如表1所示，總費(fèi)用為2．22，系統(tǒng)保障度為0．9972。

表1 并聯(lián)系統(tǒng)各部件相關(guān)數(shù)據(jù)及配置數(shù)量

為驗(yàn)證該配置數(shù)量是否有效，利用Monte-Carlo方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真流程圖如圖1所示。通過(guò)10000次的仿真驗(yàn)算，在此配置方案下，該并聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)保障度為0．9868，與近似計(jì)算得出的系統(tǒng)保障度比較接近，且達(dá)到系統(tǒng)保障度要求，說(shuō)明近似計(jì)算方法是有效的。

6 結(jié)語(yǔ)

本文介紹了將非指數(shù)型部件等效為指數(shù)型部件的λ-等效方法，建立了并聯(lián)系統(tǒng)以保障度為約束條件，以保障費(fèi)用為目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型；針對(duì)由不同壽命分布類型不可修部件組成并聯(lián)系統(tǒng)的備件配置問(wèn)題，通過(guò)運(yùn)用λ-等效原則，結(jié)合邊際效應(yīng)方法近似計(jì)算出系統(tǒng)各部件的備件配置數(shù)量，并通過(guò)Monte-Carlo方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，證明該方法是有效的，為并聯(lián)系統(tǒng)的配置優(yōu)化問(wèn)題提供了一種新思路。

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