基于規劃算法的多層地基一維固結超孔隙水壓力估算*

劉紅軍，上官士青，王 虎

（中國海洋大學1.環境科學與工程學院；2.海洋環境與生態教育部重點實驗室，山東 青島 266100）

太沙基于1923年提出了至今仍在工程界廣泛采用的飽和黏土一維固結方程，并用分離變量法給出了解析解。天然地基的成層性使得太沙基一維固結理論不能直接應用，Schiffman等［1］求得了荷載隨時間呈線性增長情況下多層地基固結的解析解；Gibson等［2］對大變形固結進行了一系列研究，提出了有限差分求解的孔隙比為控制變量的一維大變形固結方程；謝康和等［3］獲得了多層地基在任意變荷載下的解析解；吳雄志等［4］考慮了滲流力的影響，對太沙基一維固結理論進行了修正；Chen等［5］采用了DQM算法提出了多層地基在部分透水界面下且在任意荷載下的解；潘旦光等［6］提出了一種基于直接模態攝動算法的適用于變參數土層的半解析解；吳健等［7］在Gibson地基中壓縮指數和滲透指數不同比值條件下，進行了解析解推導和有限元數值分析；Kim等［8］在一維固結理論中引用了接觸面邊界關系以適應大應變的計算；Huang等［9］分析提出了一種耦合壓縮量和超孔隙水壓力以及非耦合單純計算超孔隙水壓力的有限元解法；謝新宇等［10］通過電阻網絡對太沙基一維固結解進行了模擬。

有限差分在計算固結問題上簡便實用，對于時間本身就是離散的；同樣采用有限元方法嚴格的計算固結問題，仍需要對時間進行離散。曾攀等［11］給出了彈塑性多孔介質的參變量變分原理（增量形式），可以得到x，z，t均離散的勢能方程，用于構建有限元模型。張洪武等［12］采用二次規劃（數學規劃的一種）的算法求解了彈塑性biot固結，給出了時間卷積全量形式的參變量變分原理，通過時間卷積不需要迭代。無論通過何種方法考慮時間離散問題都較為復雜，因此筆者嘗試不考慮時間離散，建立一種不同固結度下超孔隙水壓力分布估算方法，這種情況下模型計算更為簡便。

本文基于彈性地基及孔隙比與有效應力線性關系的假設，以分層土總勢能公式作為規劃算法求解的目標函數，并將固結離散為n個部分進行，通過離散的太沙基解析式描述每個部分的固結過程中時間與超孔隙水壓力的對數關系，建立了數學規劃模型。該模型可依據平均固結度（以孔壓定義，下同）求解多層地基各單元超孔隙水壓力分布。該方法計算時不需要按時步進行計算，模型求解簡單，無需考慮矩陣運算等求解中的數學問題。

1 計算思路及固結過程的離散

非線性規劃是具有非線性約束條件或目標函數的數學規劃，是運籌學的1個重要分支，廣泛用于經濟學中生產力分配、車輛調度、概率論、圖論、拓撲學等的計算分析。非線性規劃研究1個n元實函數在一組等式或不等式的約束條件下的極值問題，即為1個在可行域中求極值的問題。被求極值的函數稱為目標函數，形成可行域的關系式稱為約束條件。在太沙基解的經典假設中，地基土被假設為彈性，將地基土離散為n個單元后可以將其視為n個線性彈簧，這些線性彈簧 （代表骨架）的行為特征符合滲流約束下的最小勢能原理。對于固結問題可嘗試利用規劃算法對固結過程中的要素進行分配使整個系統勢能最小進行求解。

本文數學模型的計算流程見圖1，首先將固結過程離散，分為n部分進行，用太沙基解析解分別表示離散后超孔隙水壓力消散的區域，將這種情況下太沙基解析解中無實際物理意義的滲透系數k定義為滲流能力ki。在滲流能力ki總量為一定值的情況下，分配ki的大小使系統勢能最小，求得在不同固結度情況下，各土層單元的超孔隙水壓力分布。

圖1 數學規劃算法流程Fig.1 Flow chart for mathematical optimization algorithm

2 基于最小勢能原理的控制方程

假設地基為成層彈性體，在均布荷載作用下壓縮，其系統總體勢能可表示為

式中：∏為土體總勢能；F為均布外力；Ei為第i單元的彈性模量（壓縮模量）；si為第i層土體的壓縮量；s總為地表沉降，即所有分層土體壓縮量之和。

基于有效應力原理，假設水體無法壓縮（水沒有彈性勢能），可以得到土體單元有效應力與該單元超孔隙水壓力的關系：

式中：d為某單元有效應力增量；du為某單元超空隙水壓力增量。

側限條件下孔隙比的變化增量與豎向有效應力變化增量的關系：

式中：e為孔隙比，a為壓縮系數。

某一單元土層壓縮量與孔隙比的關系為

代入離散的勢能方程可得：

式中：li為第i單元厚度；q為均布荷載（方向為負）。

由勢能方程的表述可見，土層總體的勢能主要由超孔隙水壓力增量du控制，但實際上式（7）僅是“完整的”彈性骨架的全量形式，與水相關的項目由于不能時間離散，不能完整表述，因此略去。模型主要通過解析解的孔隙水壓力時間關系約束彈性骨架的變形。Ei在勢能方程中可以看做1種權重項，由于本文擬采用的約束條件為太沙基解析解的一種離散，其中已經包含了Ei的影響，因此式（7）中的繼續使用Ei作為1種權重將重復考慮彈性模量的影響，應降低Ei對控制方程的權重。在此引入模量影響參數Ai來代替Ei的倒數，用于對勢能方程的修正。為了降低壓縮模量Ei對控制方程的影響，Ai應是大小變化不大且受Ei影響的參數。

經大量試算，Ai可取Ei的調和平均數，用于協調各單元勢能的比例。即

3 基于解析解的時間約束

已知離散后的單層均勻地基固結排水太沙基解析解為式（2）。在本模型中，為便于計算，僅取式中第一項參與計算，同時為了統一時間因數為0時固結度為0，將8/π2也略去，則式其簡化為

式中：Tv為時間因數。由于本文著重于超孔隙水壓力分布的計算，經上述簡化后，時間因數與固結度的關系已不準確，但各單元的時間因數比例是統一的，可以用于計算某一固結度下的超孔隙水壓力分布。建議采用太沙基解析解的前三項作為約束，以提高計算精度，特別是對于固結度小的單元如果采用式（11）計算誤差較大。對于各單元可表述為

或采用式（2）前三項提高計算精度，表述為

由于式（11）、（12）等時間約束是用于限定各單元滲流能力ki之間的比例關系（見式13），公式中ki前的常數均可省略，即式（2）中ki前的常數π2/4可以省略。式（12）中常數項0.868是為了統一時間因數為0時固結度為0，對原解析解中的8/π2進行的補償。

根據上述離散方法，每部分固結均消耗一定的滲透能力ki，令這些ki之和為一定值k總可作為一項約束。本模型中可令k總為任意常數C，常數C的大小僅影響時間t與固結度的關系，對于本文所關注的某固結度下各單元超孔隙水壓力分布比例不會產生影響。C一般取值為1～5，且隨單元數量變化。根據大量試算，k總為分組單元數量、各土層滲透系數的函數，求得k總的函數表達式可使本模型準確計算地基中各單元的固結曲線，有待進一步研究。

式中：為第i部分固結單元的加權調和平均滲透系數。

當地基為單一均質土層時，上式可簡化為

對于雙面排水的情況，可通過多次試算的方法確定土層中孔隙水壓力的的最高點，以該點作為界面將1個雙面排水的問題分割為2個單面排水進行計算。或采用簡單的0～1選擇約束來處理。可設ci為自上而下的滲透能力；為自上而下滲透的調和平均滲透系數；為第i土層單元向下滲流的滲流路徑長；為第i單元至第n單元的加權算數平均壓縮模量。將某一單元向2個方向滲流所消耗的滲流能力聯立在一起，按式（15）進行計算，模型在求解系統勢能的最小值時將對滲流方向進行選擇，給出各單元變量j的值：

對于1個健康的模型，第i單元發生向上滲流時ci應為0，向下滲流時ki應為0。該規律與j的取值無關，j僅用于保證算法選擇的正確性，一般情況下可以將j省略，得式（16）。采用式（16）的計算結果中，對于任何單元的ci或ki必有1個等于0，符合實際情況：

4 模型求解

通過上述討論，將多層地基的一維固結問題轉化為1個求極值的數學規劃模型：

該模型是1個在可行域內求極值的純數學問題，可采用MATLAB優化工具箱（Optimization toolbox）或其他通用數學軟件求解。根據式（15），ui和dui可以表述為ki的函數，模型中未知數僅有ki，計算時調整t的大小可獲得不同固結度下的超孔隙水壓力分布。

5 算例

5.1 算例1

文獻［13］對層狀土體孔隙水壓力的空間變化規律進行了研究，計算了滲透系數不同情況下孔隙水壓力的分布趨勢，筆者采用本文模型進行了相同的計算，結果如圖2所示。該例僅假設上層土體與下層土體滲透系數（k1與k2）的差異，兩層土體的彈性模量相同。時間、具體滲透系數的大小、彈性模量的大小并不影響孔隙水壓力分布情況。由圖2可見，僅滲透系數變化時，模型計算結果與引證文獻基本一致。

5.2 算例2

圖2 算例1相同固結度下超孔隙水壓力沿深度分布曲線Fig.2 Excess pore pressure distribution curve of example 1at same degree of consolidation

表1 算例2地基參數表Table 1 Layered soil parameters of example 2

5.3 算例3

采用文獻［14］中的算例探討本文算法在壓縮模量變化較大的地基中的精度問題。該地基為雙層，各土層厚度及力學性質見表2，分為2種情況計算。情況1為土層1覆在土層2上；情況2為土層2覆在土層1上。2種情況均為單面透水，均布荷載，每層土體離散為10個單元參與計算。計算結果如圖4，5所示。

本文算法由于采用了基于離散太沙基一維固結解析解的約束，計算結果主要受到固結系數Cv控制。在本例中Cv為一恒定值，如不采用Ai進行修正，超孔隙水壓力分布的計算結果應等同于單層均質地基的太沙基解，即類似于函數sin（πz/2H），體現不出雙層地基中k和mv的變化。通過Ai修正后，本文模型的解基本符合文獻［14］中解的變化規律，說明本文中Ai的修正是有效的。

圖3 算例2相同固結度下超孔隙水壓力延深度分布曲線Fig.3 Excess pore pressure distribution curve of example 2at same degree of consolidation

表2 算例3地基參數表Table 2 Layered soil parameters of example 3

圖4 算例3情況1某固結度下超孔隙水壓力延深度分布Fig.4 Excess pore pressure distribution curve of example 2case 1at same degree of consolidation

圖5 算例3情況2相同固結度下超孔隙水壓力延深度分布Fig.5 Excess pore pressure distribution curve of example 2case 2at same degree of consolidation

在計算情況1的結果中出現了下部單元超孔隙水壓力小于上部單元的情況（壓縮模量突變處），與實際情況不符，建議在模型中加入一項姿態約束dui＋1≥dui，使計算結果更符合實際情況。在情況1中本文算法與文獻［14］的差分解誤差較大，約為15%，表現為孔隙水壓力線性增長的分界點前移了近一個單元。將情況1下的地基離散的單元數量增加到20后，解的精度有所提高，但孔隙水壓力線性增長的分界點與10單元的計算結果變化不大。如果對計算精度要求較高，本文方法不適用于壓縮模量變化劇烈的地基。

6 結論

（1）以最小勢能原理作為目標函數，太沙基解析式的一維離散作為約束的數學規劃模型用于計算多層地基一維固結中某一固結度下超孔隙水壓力分布是可行有效的，且不需按時步計算。其計算結果主要受土層固結系數Cv影響，并通過目標函數中的參數A修正，修正后計算結果與差分算法計算結果基本吻合。

（2）規劃算法在計算中對壓縮模量進行了算術平均處理，如果對計算要求精度較高，該方法不適用于各土層壓縮模量變化劇烈的地基。

（3）根據大量試算，新定義的滲流能力的總和k總為分組單元數量、各土層滲透系數等參數的函數，準確確定k總的表達式可使該模型計算固結度于時間的關系，有待進一步研究。

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