一類一階微分方程的奇解

(懷化學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖南 懷化 418008)

1 引言

求一階微分方程的奇解是非常困難的.文[1]給出了p-判別曲線法.先求出p-判別曲線，再驗(yàn)證所求曲線中的某一支是一階微分方程的積分曲線.文[2]對(duì)形如

和

的方程研究了奇解存在的條件.文[3]得到了一階常微分方程a(y)y'3-xy'+b(y)=0 有奇解的充分條件是2a(y)= a'(y)b(y)+2b'(y)a(y).本文進(jìn)一步研究方程a(x)y'3-b(x)y'+c(y)=0的奇解存在的充分條件，進(jìn)一步推廣了文[3]的部分結(jié)果.

引理[1]對(duì)于一階微分方程

設(shè)函數(shù)F(x，y，p)對(duì)(x，y，p)∈G是二階連續(xù)可微的.又設(shè)其p-判別式

(消去p后)得到的函數(shù)y =ψ(x)(x∈J)是微分方程(1)的解.而且設(shè)條件

以及F'p(x，ψ(x)，ψ'(x))=0 對(duì)x∈J成立.則y =ψ(x)是微分方程(1)的奇解.

下面用該定理研究微分方程a(x)y'3-b(x)y'+c(y)=0 存在奇解的充分條件，得到了以下結(jié)果.

2 主要結(jié)果

定理1 對(duì)于方程a(x)y'3-b(x)y'+c(y)=0，若函數(shù)a(x)，b(x)，c(y)在某個(gè)區(qū)間上滿足

其中c'(y)≠0，則由方程0所確定的隱函數(shù)y =φ(x)是該一階常微分方程的一個(gè)奇解.

證 由

(2)-p(3)得-2a(x)p3+c(y)=0，則p3=代入(2)得

由(4)確定的函數(shù)記為y =φ(x).由(4)得，

由隱函數(shù)存在定理，

要使F'p(x，y，y')=0，即

3 應(yīng)用

例1 判斷方程y'3-xy'+y =0是否有奇解.

解 由于a(x)=1，b(x)= x，c(y)= y，因此成立.奇解為所確定的隱函數(shù)即

[1]丁同仁，李承志.常微分方程教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社，2004:109.

[2]何永蔥.兩類一階常微分方程有奇解的條件[J].重慶教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，20 (6):5-6.

[3]何永蔥.一階常微分方程的奇解的存在定理的應(yīng)用[J].重慶教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，22 (3):5-6.