利用Haskind源格林函數計算規則波中航行艦船的繞射興波及壓力分布

黎 昆，張志宏，顧建農，王 沖

(1.中國人民解放軍91388 部隊，廣東 湛江524022;2.海軍工程大學，湖北 武漢430033)

0 引 言

艦船在規則波中航行時，由于入射波浪的作用將會產生搖蕩運動。艦船在規則波中搖蕩的流體動力計算可分成輻射問題和繞射問題分別加以處理。艦船無航速時(可看作浮體)，如果船體搖蕩幅度較小，搖蕩興波也很小，在勢流理論范圍內，搖蕩的定解問題就可以線性化。艦船有航速(即使是等速直線運動)之后，其在波浪上運動的理論分析要比無航速時復雜得多，其中最主要的是受航行興波與搖蕩興波的干擾。定常移動Kelvin 源格林函數主要用于解決有航速艦船定常興波問題，而Haskind源格林函數主要解決波浪中無航速或有航速艦船的搖蕩問題。相對Kelvin 源格林函數來說，Haskind源格林函數的計算更為復雜。關于如何快速準確計算Haskind 源格林函數及其偏導數，不少學者已對此進行了研究［1-5］。

本文以Wigley 數學船型為研究對象，在理想流體情況下采用微幅波理論，只考慮波浪的繞射問題，通過引入低航速假定來計算波浪與以定常速度移動船體之間的流體動力干擾。基于線性勢流理論，利用無限水深三維移動脈動源(Haskind 源)格林函數方法計算規則波中航行艦船的繞射興波波形及其對應的一定水深處的壓力場分布。

1 理論分析

1.1 建立坐標系和定解方程

需要建立2 個坐標系:1)大地坐標系OXYZ，原點O 位于未擾動的水面上;2)隨船平動的坐標系oxyz，原點o 位于未擾動的靜水面上，x 軸水平指向船首，z 軸垂直向上，y 軸指向船的側面，構成右手正交系。艦船以固定航速V 沿x 方向行駛，入射波沿－x 方向傳播，入射波傳播方向與x 軸正向之間的夾角為β(迎浪時β=180°)，如圖1所示。

圖1 波浪繞船示意圖Fig.1 Sketch map of wave flow around ship

根據波浪理論，入射規則波的一階速度勢用復數形式可表示為:

而

假定艦船運動響應與入射波波幅是同階小量，且經過一段時間后艦船運動已經達到穩定狀態，根據線性勢流理論，艦船位移向量將作為以遭遇頻率ωe(ωe=ω0－k0Vcosβ)為變化頻率的簡諧量。艦船以定常速度V 沿直線運動時船體將產生移動興波，相對于隨船平動的坐標系oxyz 來說，由定常移動產生的定常興波速度勢可表示為－Vx+Φs(x，y，z)。按照線性勢流理論，艦船周圍流場中的總速度勢由定常勢［－Vx+Φs(x，y，z)］和非定常勢ΦT(x，y，z，t)兩部分組成，如下:

式中:Φs為艦船在靜水中恒速航行時引起的定常興波勢(通常假定此部分速度勢相對較小，以下忽略其影響);Φ0為已知的入射波速度勢;Φ7為待求的繞射波速度勢。

由于尋求穩態解，所以采用頻域分析方法把時間因素和空間因素分離開來，設繞射勢Φ7=Re［φ7(x，y，z)eiωet］，則無限水深水域中繞射勢的定解問題可表示為［6］:

式中:［L］，［F］，［S］，［B］分別為LAPLACE 方程、自由水面邊界條件、物面邊界條件和水底條件;(x，y，z)為場點坐標;t 為時間;V 為航速;g 為重力加速度;n 為物面外法線矢量(指向船體外部)。

1.2 定解方程的求解

采用分布源法求解上述定解問題，在船體表面上均勻布置Haskind 源，則場點P(x，y，z)處繞射勢φ7可表示成積分形式:

式中:σ(Q)為源點Q(ξ，η，ζ)處的源強密度;G 為Haskind 源格林函數。

將繞射勢φ7運用于物面條件可得到用來求解源強密度σ 的積分方程，即:

將上述積分方程式進行離散化，化成代數方程組求解［7］。離散方法是把船體表面分成N 個小面元，在標號為n(n=1，2，…，N)的面元上布置等強度且為常數的面源σn，并且在每塊小面元上選一控制點Pn，使這些離散的控制點滿足邊界條件。則上述積分方程可離散化成如下代數方程組:

解代數方程組(4)求出源強σ，即可求出流場中任一點的繞射勢φ7和速度分布。

1.3 格林函數中奇點的積分處理

求解源強σ 的關鍵和難點在于如何準確、快速地計算三維移動脈動源(Haskind 源)格林函數G(x，y，z;ξ，η，ζ)。該函數為奇異的二重積分式，求積計算困難費時，被積函數為復變函數且是奇異和振蕩的，并且在有的區間成為高頻振蕩函數，如果處理不好就會導致計算結果出現較大的誤差甚至失效。該積分表達式形狀復雜、處理繁瑣，其表達式原型為:

式中:θ 為復波數的幅角;m 為復波數的幅值;ωe為脈動源的振蕩圓頻率;V 為船速;(x，y，z)和(ξ，η，ζ)分別為場點和源點坐標;g 為重力加速度。

將k3和k4寫成在區間上的表達式為:

為了使遠方輻射條件得以滿足，L1和L2分別取為經過k1+iε，k2－iε，k3+iε和k4+iε 繞過k1，k2奇點和k3，k4奇點的積分路徑，其中ε 為任意小的正數，積分路徑如圖2和圖3所示。通過整理，被積函數F(θ，m)可表示為:

圖2 積分路徑Fig.2 Inteqral path

圖3 積分路徑Fig.3 Inteqral path

令:

x1=(z+ζ)+i［－(x－ξ)cosθ+(y－η)sinθ］，

x2=(z+ζ)+i［－(x－ξ)cosθ－(y－η)sinθ］，

x3=(z+ζ)－i［－(x－ξ)cosθ－(y－η)sinθ］，

x4=(z+ζ)－i［－(x－ξ)cosθ+(y－η)sinθ］。

代入式(5)中進行整理，則格林函數G 中第1個積分項可寫為:

同理，第2 個積分項可寫為:

同理，第3 個積分項可寫為:

則格林函數G(x，y，z;ξ，η，ζ)可表示為:

引入復指數積分函數E1(Z)［8］后，Iij的表達式可整理成單積分的形式:

式中:Zij=kixj(i，j=1，2 或i，j=3，4);當i=1，2 時，γ1=γ，α=－1;當i=3，4 時，γ1=0，α=1。

當Re(Z)≥0 時:

Ep(Z)=Eq(Z)=E1(Z);

當Re(Z)＜0，lm(Z)≥0 時:

Ep(Z)=E1(Z)，Eq(Z)=E1(Z)+2πi;

當Re(Z)＜0，lm(Z)＜0 時:

Ep(Z)=E1(Z)－2πi，Eq(Z)=E1(Z);

當lm(Z)≥0 時:

Eri(Z)=E1(Z)，(i=1，3，4)，Eri(Z)=E1(Z)+2πi，(i=2);

當lm(Z)＜0 時:

Eri(Z)=E1(Z)－2πi，(i=1，3，4)，Eri(Z)=E1(Z)，(i=2)。

采用上述變換方法利用復指數函數進行處理后，Haskind 源格林函數計算格式可以成功地處理內層積分中的奇點并將二重積分轉化成單積分形式，從而解決了被積函數中奇點的奇異振蕩問題。進而采用遞推自適應Simpson 法計算變換后的積分會容易很多，且積分是收斂的，并可以大大地減少計算時間。

2 繞射興波及壓力場的計算

解決了Haskind 源格林函數中的奇點問題，即可求解出規則波對以恒定速度航行于其中的艦船引起的繞射勢、繞射興波波形以及水底壓力變化。由船舶興波理論知識可知繞射興波的表面波形為:

上式中對格林函數G(x，y，z;ξ，η，ζ)求偏導，只需對被積函數F(θ，m)求偏導即可。

由總速度勢的分解式(2)可得到距離水面任意點處脈動壓力表達式為:

P(x，y，z，t)=Re［p(x，y，z)·e－iωet］。

式中p(x，y，z)=p0(x，y，z)+p7(x，y，z)。

根據伯努利方程，由式(1)可得入射波脈動壓力為:

式中:p0為入射波壓力;p7為繞射波壓力。

圖4 波形計算結果與實驗結果比較(T0=2.353 s，V=1.0 m/s)Fig.4 Comparison between computed and experimental results of wave pattern when T0=2.353s，V=1.0m/s

圖5 壓力計算結果與實驗結果比較(T0=2.353 s，V=1.0m/s)Fig.5 Comparison between computed and experimental results of pressure when T0=2.353s，V=1.0m/s

圖6 計算波形與對應壓力比較(T0=2.353 s，V=1.0 m/s)Fig.6 Comparison between computed wave pattern and it′s corresponding pressure when T0=2.353s，V=1.0m/s

設定初始參數，利用編制程序計算得到橫距y=0.25 L 處的繞射波波形、入射波與繞射波的疊加波形及其分別對應的水深h=0.2 L(L 為船長)處的壓力變化。在傅汝德數Fh≤0.3 的條件下，設定入射波波幅為3.8 mm，波周期T0=2.353 s，船速V=1.0 m/s，計算得到繞射波與入射波的疊加波形及其對應的壓力變化與實驗結果比較的曲線，如圖4 ～圖6所示。圖4和圖5 中船體位置在(t ≤50 s)附近處，而圖6 中船首在(x/L=0.5)處。圖中橫坐標表示記錄的時間t/s，縱坐標表示波高及其引起的水底壓力變化ζ，pb(mm H2O)。

另外，在其他條件不變的情況下，改變初始條件，給定入射波波幅為5 mm，波周期T0=2.36 s，船速V=0.8 m/s，利用程序計算得到的波形和壓力曲線如圖7 ～12所示。圖7和圖8 中船體位置在(t ≤43 s)附近處，而圖9 ～12 中船首在(x/L=0.5)處。

圖7 波形計算結果與實驗結果比較(T0=2.36 s，V=0.8 m/s)Fig.7 Comparison between computed and experimental results of wave pattern when T0=2.36s，V=0.8m/s

圖8 壓力計算結果與實驗結果比較(T0=2.36 s，V=0.8 m/s)Fig.8 Comparison between computed and experimental results of pressure when T0=2.36s，V=0.8m/s

圖9 計算波形與對應壓力比較(T0=2.36 s，V=0.8 m/s)Fig.9 Comparison between computed wave pattern and it′s corresponding pressure when T0=2.36s，V=0.8m/s

圖10 計算波形三維分布圖(T0=2.36 s，V=0.8 m/s)Fig.10 Three-dimensional distribution figure of computed wave pattern when T0=2.36s，V=0.8m/s

圖11 水深h=0.2 L 處壓力場三維分布圖(T0=2.36 s，V=0.8 m/s)Fig.11 Three-dimensional distribution figure of hydrodynamic pressure field when h=0.2L，T0=2.36s，V=0.8m/s

圖12 計算波形等高線圖(T0=2.36 s，V=0.8 m/s)Fig.12 Computed wave contour line when T0=2.36s and V=0.8m/s

將繞射波與入射波疊加波形的計算結果和完成的實驗結果進行對比，發現二者基本吻合，趨勢一致，如圖4和圖7所示。疊加后的波形在水底引起的壓力變化與實驗結果相比有一定的誤差，這是因為實驗結果測量的是艦船航行、船體興波、入射波和繞射波等因素共同作用引起的水底壓力變化，而計算結果只考慮了入射波和繞射波的作用，忽略了艦船航行及船體興波等因素的影響，因此計算結果和實驗結果之間會有所差別，但差別不大，如圖5和圖8所示。因為低傅汝德數條件下，艦船航行及船體興波引起的水底壓力變化相對為一小量，可忽略不計。在船頭前方(x/L=1，－0.3 ≤y/L ≤0.3)附近繞射波形及其對應壓力出現了峰谷不對應現象，此時入射波遇到艦船會產生反射，入射波、繞射波、反射波相互影響使船前會出現一定范圍的雜波，如圖10 ～圖12所示。

3 結 語

以上理論和實驗研究驗證了本文對Haskind 源格林函數中奇點的積分處理方法和編制程序的正確性。在此基礎上，改變定解方程滿足的物面條件可深入研究航行艦船各個模態輻射勢的水動力計算，并可以進一步推廣計算隨機波中航行艦船輻射勢和繞射勢引起的水中任一定深處的壓力變化。

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