雙向標量的數學描述與雙向標量公式

萬學斌

(湖北職業技術學院,湖北孝感 432000)

雙向標量的數學描述與雙向標量公式

萬學斌

(湖北職業技術學院,湖北孝感 432000)

本文重點闡述了雙向標量的數學描述,同時說明了雙向標量公式在使用中必須注意正方向的匹配問題,一定的公式情形依賴一定的正方向配合,離開了正方向的配合,公式沒有任何意義。

雙向標量 數學描述 正方向 代數量 雙向標量公式

物理學中的標量按數學性質可分為兩類:一類是只需用算術量表示的量稱為單向標量，如質量、體積、絕對溫度和電阻等。這些物理量的特點是沒有負的量值，或者說其負的量值沒有實際物理意義。這類物理量在數學描述上不會出錯，處理起來很簡單。

另一類是如電荷量、電流強度、電壓、電位、功、勢能、攝氏溫度等。在物理學理論和實踐中經常會遇到這些量，而這些量又是貫穿物理學的始終，處理這些量的時候，往往由于數學描述上的不清晰，物理教材也沒有系統的講解，而是分散在各個不同的部分，或者是直接應用，從而導致處理這些量的時候常常出錯，處理好這些量是學習好物理學的關鍵所在。下面擬就這類物理量有關的問題進行討論。

1 雙向標量

例如電荷量q有電荷量的大小和正負、電流強度有大小和沿著導線兩個相反的方向、AB兩點的電壓有大小和正負、電位也有大小和正負、力對系統做的功有大小和正負、在參考位置確定以后，勢能也有大小和正負、在攝氏零度確定后，攝氏溫度有大小和正負。

這類物理量有一個共同的特點，就是它們既有大小，又有方向或正負，僅且僅有兩個相反的方向或正負，我們把這類物理量稱為雙向標量。

也就是說，判斷一個物理量是否為雙向標量，主要是看它是否具有兩個彼此相反的方向或者是正負值。按照這樣的判斷方法，那么時間、高度、一條直線上的分矢量就都可以作為雙向標量處理了。因為時間有過去與將來、高度有上與下、一條直線上的分矢量有左和右這兩個方向，所以說這些量都可以作為雙向標量來處理[1][2]。

在這里不要把雙向標量和矢量混淆，雙向標量僅且僅有兩個兩個彼此相反的方向或正負值，而矢量卻有無限多個可能方向。

2 雙向標量的數學描述

既然物理學中大量的出現雙向標量，那么用什么數學工具來描述呢？下面來看看雙向標量的兩個要素:大小和方向。

首先是看雙向標量的大小要素:其實大小是一個相對的量，必須有一個參考點和一個度量單位，如果沒有這兩項無法確定物理量的大小，例如以長度的度量為例，對于一個一米長的書桌，以書桌的左方為參考點，如果用米作為度量單位度量書桌就是一米長，如果用尺作為度量單位，這個書桌就是三尺長等。當然，在這里我們也可以選擇右方為參考點，從右向左度量其長度，也會得出同樣的結果。由此可見，雙向標量的大小要素可以細分為參考點和度量單位兩個要素。對于雙向標量的參考點的選擇一般是由人為的定義的，其實各類儀表的校零就是一個參考點的校正的問題；對于雙向標量的度量單位我們一般選擇國際單位或者是行業單位。

圖1 I、U關聯方向

圖2 I、U非關聯方向

其次是看雙向標量的方向要素:由于雙向標量具有兩個彼此相反的方向或正負，要想確定這兩個方向，我們必須規定其中一個方向為正方向，那么，另一個方向就是它的相反方向[1]。

至此為止，我們知道雙向標量其實有三個要素，就是參考點、度量單位和正方向。這三個要素都可以是人為規定的，這和數學中的數軸的三個要素是一樣的，也就是說，雙向標量的幾何描述就是數軸，對應的量就是代數量。在今后的物理學學習中一定應該注意雙向標量的三個要素，特別是方向要素。這個要素在研究者的心中應該是清清楚楚的，不能有半點的含糊。

3 雙向標量公式與正方向匹配

物理學中大部分公式是含有兩個或者是多個雙向標量的公式。對于這些公式，在使用時一定應該注意物理圖像上的正方向匹配問題，下面以我們熟悉的歐姆定律為例說明正方向的匹配問題。

歐姆定律中包含有兩個雙向標量電流和電壓，對于這兩個雙向標量的正方向規定有兩種情形。一種是兩個雙向標量的正方向規定為一致，如圖1所示，我們把這種正方向匹配稱為正方向的關聯配合，也稱為關聯方向，在關聯方向下，歐姆定律的表示為U=IR。

另一種是兩個雙向標量的正方向規定為相反，如圖2所示，我們把這種正方向匹配稱為正方向的非關聯配合，也稱為非關聯方向，在非關聯方向下，歐姆定律的公式為U=-IR。

可見，一定形式的公式是依賴正方向配合而存在的，離開了正方向的配合，公式的形式沒有任何意義。對于以上歐姆定律的兩個公式，它們不僅可以計算I、U的大小，還可以計算I、U的方向。大小就是對應量的絕對值，方向由計算結果的正負數確定，結果為正數，實際方向和正方向一致；結果為負數，實際方向和正方向相反。現在看來，這兩個公式的歐姆定律比初中學習的歐姆定律的功能就要強大得多。特別是第一情形下的公式，從表面上看，公式形式一模一樣，但是這兩個公式卻有著不同的內涵，初中的公式只能計算大小，不能計算方向，而這里的公式大小和方向都能夠一次計算完成，提高了解決問題的效率[3]。

4 結語

雙向標量是有大小和兩個彼此相反方向或者是正負數的量，它用代數量表示；在雙向標量的公式中一定應該注意各個雙向標量的正方向規定，離開了正方向的規定，公式形式沒有任何意義[3]。

[1]梁燦彬,秦光戎,梁竹健.電磁學.北京:高教出版社1980.

[2]趙凱華,陳熙謀.電磁學,北京:人民教育出版社,1980.

[3]萬學斌.物理學中標量,矢量表示及代數量等式探討[J].孝感教院學報,1999,(7).

萬學斌(1963—),男,湖北孝感人,湖北職業技術學院機電工程學院副教授,主要研究機電一體化、電氣基礎、電工電子技術應用與安全。