D-Brane的相互作用

趙新彥 陳明

(北京工業大學理論物理研究所,北京 100124)

D-Brane的相互作用

趙新彥 陳明

(北京工業大學理論物理研究所,北京 100124)

D膜對于超弦理論及M理論的非微擾性質非常重要,本文主要研究D膜之間的相互作用以及相關的動力學問題。類似于QFT,Feynman圖并不能捕捉所有的信息,弦理論中的微擾展開也無法給出所有的現象,因此非微擾理論是必須的。非微擾論主要有: 弦場論；低能有效理論；AdS/CFT對偶。有效場論的方法需要知道全域(full bulk)和世界體上的有效作用量,通過這些作用量可以得知每一個全域無質量模的傳播子以及它們與膜之間的耦合,從而可以計算出膜之間的相互作用勢能。有效場論方法只需知道全域和世界體上的低能有效作用量即可,而且,有效場論的計算還不要求兩組膜的數目懸殊,也不要求知道膜的具體構型,所以,相對于弦論計算和探針膜方法,有效場論方法是效率最高的。

D膜 等級問題 超弦

1 引言

量子場論以及后來的發展很好的解釋了自然界中4種相互作用的3種，即電磁相互作用，弱相互作用和強相互作用；但對另外一種基本相互作用即引力相互作用卻無能為力，這個問題的根本原因是我們在量子場論的框架下無法對引力進行量子化。我們希望能用統一的理論來描述這4種相互作用，因此如何協調廣義相對論和量子引力之間的關系是理論物理所面臨的一大難題。從某種程度上，弦論是目前最有希望將這四種相互作用統一起來的理論，而且不僅如此，弦論還能將自然界中所有常規意義下的基本粒子統一起來。

在弦論中，我們拋棄了以往對自然界中基本粒子是點粒子的假設，轉而認為自然界的基本組成是一些振動著的長度在Planck尺度的弦。每根弦都有唯一的共振頻率，基本粒子的質量和力荷便由弦的振蕩行為來決定。比如說傳播引力的相互作用的引力子便對應弦論中自旋為2的無質量弦。當我們用弦來測量空間中卷曲維度的半徑時，未纏繞的弦測量的半徑與纏繞的弦的半徑互為倒數，也就是說二者的維數等價。這樣我們無法得到比弦還小的尺度，因而在弦論中便可避免奇點的出現。

如果我們只考慮玻色自由度，我們將得到玻色弦理論，不過弦理論中的最低激發態是快子模而且該理論不能描述現實世界中的費米子；在弦理論中加入費米自由度以及超對稱，我們就得到超對稱弦理論，也就是我們熟悉的超弦理論。

Polchinski提出D膜的思想引發了第二次的超弦革命，D膜對于弦理論具有重要的意義，不僅僅推動了場論的發展，而且對于處理等級問題的額外維尺度的分析也成為弦論研究的前沿，本文選擇研究的正是D膜的動力學問題。

2 D膜的定義

相對于玻色弦，超弦是在世界面上引入費米模，使得世界面上的理論成為超對稱形式。其對稱性包括：CFT(diffeomorphism+weyl symmetry)+SUSY相對于玻色弦的唯一性，我們可以通過引入費米模的不同方式，來得到不同的超弦理論。

上述五種超弦理論通過對偶關系相互聯系：描述長程距離與短程距離等價性的T-對偶；描述強耦合與弱耦合之間等價性的S-對偶。這種關聯使得五種超弦理論(以及11維超引力理論)同屬于一個基本理論：M-Theory。

而在TypeII中，將高秩完全反對稱張量耦合到物質延展體，我們可以得到：

也就是說，P-brane為粒子存在的普遍形式，其延展體耦合到秩為p+1的反對稱張量上。P-brane保有16個時空超對稱，物質能量集中在p+1維時空超曲面上。而D-brane為P-brane的激發態，是其一類特殊類別，對應開弦端點所附著的超曲面。

可能的D-brane類型：

TypeIIA中有p為偶數的 Dp-branes；

TypeIIB中有p為奇數的 Dp-branes。

上述兩種D-branes由于Ramond-Ramond場而穩定存在，相對的，在TypeII中也包含不穩定的D-branes，即上述兩種類型中p的奇偶性的交叉對應。

對于開弦的動力學，共形規范下的Polyakov作用量為：

運用最小作用量原理求其運動方程時，全導數項采取邊界條件給出：

由上述邊界條件，得到：

即，Neumann邊界條件允許弦的端點自由移動，而Dirichlet邊界條件又要求弦的端點處于某一個恒常位置。

Polchinski對此作出了邏輯上自洽的解釋。

對兩邊界條件取不同指標：

這將開弦的端點置于一個p+1維的超曲面上，即D-brane。

D-brane又可根據其超曲面維數嚴格寫為 Dp-brane，p代表其空間維數(不含時間維)。此時的洛倫茲群出現破缺：

圖1

D-brane為BPS態，同p-brane一樣，保持16個時空超對稱。

3 D-brane動力學

Dp-brane第一激發態中橫切于膜的振子：

這些振子在膜的 SO(1,p)群中為標量，可以認為它們是由膜上的標量場 φI產生的，這些標量場又可以認為是膜在橫切方向上的漲落，所以，單從此處便可知道D-brane本身是新的動力學物體。更為精確的描述：開弦與閉弦為等價的理論，它們是同一理論的不同態，而且開弦理論不可避免的要含有閉弦。

由于開弦對應物質，閉弦對應引力，而且由于在引力理論中不能存在剛體，所以，若一個理論同時含有開弦和閉弦，那么D-brane就必須是動力學的。既然是動力學的，就必須有一個作用量。

在Lorentz協變性和重參數協變性下，其單膜形式為Nambu-Goto作用量的高維延展：

其中： Tp為D-brane的張力，定義為單位空間體積內的能量，量綱為它標度著膜與引力間的耦合量。

ξa為膜的世界體坐標

上述作用量即為Dirac作用量。它描述了D-brane上的標量場的橫切漲落，并不涉及膜上的U(1)規范場 Aa。于是，更近一步，對于膜上的規范場，其動力學由Born-Infeld作用量描述：

Born-Infeld作用量為Maxwell理論的非線性替代理論。至此，考慮規范場動力學和膜的漲落，混合Dirac作用量和Born-Infeld作用量，得到DBI作用量：

DBI描述了平坦時空中D-brane的低能動力學。

前式中：

NS-NS 2-form勢 Bμν到世界體的pullback：

上述作用量即為描述D-brane低能有效理論的DBI作用量。

繼續擴展，考慮Ramond-Ramond(R-R)場對DBI的影響。D-brane電耦合于(p+1)-form的R-R規范勢： Cp+1

前式的積分背景為膜的世界體。pμ為D-br ane的荷，且。在背景場 Bμν和D-brane上的規范場 Fab存在的情況下，D-brane還可以與更低秩的R-R勢耦合，同時考慮T-對偶和2-form場的規范不變性，可以得到更一般的Chern-Simons作用量：

其中的符號P表示對式中的背景場和規范場取其到世界體的pullback，下標“p+1”指在展開式中只取(p+1)-form項。最后，結合DBI和Chern-Simons，再考慮超對稱，加入費米部分，得到完整的世界體作用量：

現在考慮N張重合D-branes的作用量，此時，開弦的每個端點有N種附著方式，共有 N2種可能，每種這樣的弦都具有開弦的質量譜系，意味著有 N2種不同的粒子。我們可以很自然的將粒子對應的場安置在一個 N×N的厄米矩陣中，這樣我們可以得到開弦的ta-和無質量場，其中，為Chan-Paton因子，表明弦的端點附著在哪張膜上為膜的維數，表征規范場表征標量場。易知，N張重合D-branes的無質量激發態為具有U(N)對稱性的規范場以及在U(N)群的伴隨表示中變換的標量場

對于上述場的相互作用，我們希望有一個相應的作用量來描述，實際上，這個作用量應為非阿貝爾形式的DBI作用量，這種形式的作用量至今未能有適用于任意階自洽的定義。形式上：

而若考慮低能極限情況，則可以得到描述N張重合D-branes的低能作用量：

4 D-branes的相互作用

對于兩堆平行放置的膜之間的相互作用，我們有三種方法對其進行計算：弦論計算，探針膜方法，有效場論方法。

弦論計算要求系統要有相應的弦論描述，用此方法可對D-branes做弦論層次上的微擾計算，其適用性要求耦合常數較小。最簡單的相互作用是一個柱面圖：兩D-branes間交換一根閉弦的樹圖由于弦的世界面上的對偶性，等價于搭在兩膜之間的開弦的單圈圖。

探針膜方法的原理是，在源膜產生的背景下，探針膜所受的作用可以通過分析該膜在源膜產生的場中的勢能得到。此法要求探針膜不能改變源膜所產生的背景，還要知道源膜的具體構型。

有效場論的方法需要知道全域(full bulk)和世界體上的有效作用量。通過這些作用量可以得知每一個全域無質量模的傳播子以及它們與膜之間的耦合，從而可以計算出膜之間的相互作用勢能。探針膜方法和有效場論方法只需知道全域和世界體上的低能有效作用量即可，而且，有效場論的計算還不要求兩組膜的數目懸殊，也不要求知道膜的具體構型，所以，相對于弦論計算和探針膜方法，有效場論方法是效率最高的。特別的，對于一些相互作用中之含有無質量模的系統，如系統，有效場論的方法可以擴展至弦論層次。我們在第三章已經得到了較為普遍的有效作用量，因此，將利用有效場論計算 D0膜和 D8膜之間的相互作用及其發散問題，由于這個系統含有無質量粒子，而無質量粒子可以給出長程力，所以我們比較感興趣。

6 結語

我們將來想要做的工作就是通過D-branes的動力學，來研究此方案中兩張膜之間的關系，并且試圖延展到N張重合膜的情況。

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趙新彥(1988.09-),性別:男,籍貫:河北保定,學歷:研究生,研究方向:理論物理。