用圖解法確定平面彎曲梁的彎矩

閆志琴

（晉中學院機械學院，山西 榆次 030619）

引言

梁有橫力彎曲和純彎曲兩種彎曲形式。梁在不同彎曲形式下危險點的強度（此處只研究正應力情況下的）、剛度的計算、校核需確定相應梁橫截面上的內力，即：純彎曲梁段需求相應的彎矩值M，橫力彎曲段需確定相應梁截面處的M（x）。

傳統的彎矩確定方法是采用“截面法”或“載荷集度、剪力和彎矩間的微分方程”。

1）“截面法”的解題思路。首先，通過系統受力分析及靜力平衡式求解梁約束反力；接著，在需求截面處假想將梁截開，結合研究梁段截面處內力假定正方向規則標識內力的受力分析、列出截面處的彎矩方程并結合數學理論分析，求出相應的彎矩值，其間需多次截斷梁，并對梁段多次受力分析和靜力平衡式計算；最后，作彎矩圖，以直觀表述梁各截面處的彎矩值，并進行相應危險點的強度、剛度計算和校核。

2）“載荷集度、剪力和彎矩間的微分方程”的解題思路。首先，通過系統受力分析及靜力平衡式求解梁約束反力；接著，通過載荷集度與剪力間的微分方程關系，結合剪力突變特征、口算，快速繪制出剪力圖（筆者采用此方法繪制剪力圖）；最后，通過載荷集度、剪力和彎矩間的微分方程關系，結合多個截開梁段截面處內力假定正方向規則標識內力的多次受力分析、多次彎矩靜力平衡式及剪力圖特征和彎矩突變特征繪制出彎矩圖，以直觀表述梁各截面處的彎矩值，并進行相應危險點的強度、剛度計算和校核。

如上兩種解題方法的缺點有三個，一是需多次繪制各研究梁段的受力分析圖；二是計算太過冗長；三是截面處假定內力的正、負號確定原則和列式中應遵循的正、負號原則交互繁雜，因而此過程極易導致出錯。

本文采用圖解法解題。首先，只需一次系統受力分析求解梁約束反力；接著，借助載荷集度與剪力間的微分方程關系，結合剪力突變特征、口算，快速繪制剪力圖；最后，計算梁上任意截面處的剪力圖所圍面積總和，及相應截面處施加的集中力偶矩的突變性，實現快速、準確計算特征點的彎矩值和完整繪制彎矩圖。此方法可避免由多次交互、繁雜確定力的符號、列式及計算而致的筆誤。

1 圖解法解題思路及步驟

1）建立x－M直角坐標系。坐標原點建立在梁端處；x軸為橫坐標，其反映梁各截面位置及梁長；M軸為縱坐標，其反映梁各截面處所對應的彎矩值。

2）將截面梁分段。根據梁上相鄰兩力（主矢力和力偶矩）作用點之間為一段的原則初分段，并標注在x軸上。

3）梁上有外加集中力偶矩作用的截面處，彎矩值有突變，突變量為其代數值。

4）梁上外加集中力偶矩正負號確定規則。若梁上力偶矩為順鐘向旋轉，則彎矩值為正；反之為負值。

5）邊界條件法確定梁端特征彎矩值。若“簡支梁兩鉸支處”、“懸臂梁最外伸出端處”、“外伸梁梁端鉸支處、外伸端處”無外加集中力偶矩作用，則其對應點處的彎矩值均為零；若“簡支梁兩鉸支處”、“懸臂梁最外伸出端處”、“外伸梁梁端鉸支處、外伸端處”有外加集中力偶矩作用，則其對應點處的彎矩值為外加力偶矩的代數值。

6）借助剪力圖上所圍區域面積的形狀、代數值總和及相應截面處的外加力偶矩（見表1 和表2），計算特征點（分段點、外加集中力偶矩點和極值點）處的彎矩值，并結合彎矩圖圖形線特征，最終快速、準確完成彎矩圖。

表1 研究區段剪力圖圖形與彎矩圖圖形線間的關系

表2 各截面處外加力偶矩與相應截面處彎矩值間的關系

2 樣例

1）已知梁的受載情況、梁尺寸（見圖1［1］），試做梁的彎矩圖。

圖1 梁的受載情況

2）解題思路及過程。系統受力分析（見圖2），由靜力平衡式得支座約束反力分別為FB＝40kN，FD＝80kN。借助載荷集度與剪力間的微分方程關系，結合剪力突變特征繪制剪力（Fs）圖（見圖3）。

圖2 系統受力分析

圖3 剪力突變特征圖

3）圖解法繪制彎矩圖（見表3）。

綜上所述即繪得：梁的彎矩（M）圖（見圖4）。

圖4 梁的彎矩圖

表3 圖解法繪制彎矩圖的思路及過程

3 結論

1）此題用“截面法”、“載荷集度、剪力和彎矩間的微分方程”的解析法準確、完整繪制彎矩圖用時分別為300s、170s，而用圖解法繪制彎矩圖用時82s。對復雜受力梁彎矩圖的繪制更能凸顯圖解法的快速、準確性。

2）本文解題方法中的理論觀點和思路簡單、清晰、明了，能夠使學生在較短的時間內形成深刻記憶。

3）本文解題方法可避免教師講授“截面法”或“載荷集度、剪力和彎矩間的微分方程”繁雜內力假定規則下的列式原理以及反復列式和冗長計算，也可避免學生以傳統解答方式練兵學習過程擠占本就不足的課時。

4）本文解題方法的準確性與快捷性可大大縮減教師和學生用傳統的“解析法”在“彎曲內力、彎曲應力、彎曲變形”這三個章節的學習總學時，筆者結合此“圖解法”在這三章的教學中僅用了總學時的一半時長，且效果良好。

5）本文解題方法具有普遍性，不論是簡支梁、懸臂梁、外伸梁、靜定梁、超靜定梁，還是不同的載荷作用方式都適用。

［1］茍文選.材料力學（Ⅰ）［M］.第二版.北京：科學出版社，2010：159.