查漏補缺之數列

廖軍

1. 數列的基本概念

（1）了解數列的基本概念及幾種簡單的表示方法（列表法、圖象法、通項公式法）.

（2）了解數列是自變量為正整數的特殊函數.

（3）理解數列的遞推關系.

題型：選擇題、填空題、解答題均有可能.

注意：（1）已知數列的通項公式或遞推關系，求數列中的項.

（2）根據數列的前幾項或遞推公式求數列的通項，考查歸納推理思想.

（3）根據所給數列的前幾項求其通項公式時，抓住以下幾方面的特征——分式中分子、分母的特征，相鄰項的變化特征，各項符號特征及拆項后的特征等.

（4）由遞推關系求通項時一般常利用的方法有疊加法、連乘法、構造新數列法.

2. 等差數列及前n項和

（1）理解等差數列的概念.

（2）掌握等差數列的通項公式與前n項和公式.

（3）能在具體問題情景中識別等差關系，并能用等差數列的有關知識解決相應的問題.

（4）了解等差數列與一次函數的關系.

題型：選擇題、填空題、解答題均有可能.

注意：（1）以考查通項公式、前n項和公式為主，同時考查方程思想.

（2）數列與函數交匯是解答題考查的熱點.

（3）考查等差數列的性質：①an=am+（n-m）d，d=■;②若m+n=p+q，則am+an=ap+aq;若m+n=2p，則am+an=2ap;③任意連續m項的和構成的數列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍為等差數列.

3. 等比數列及前n項和

（1）理解等比數列的概念.

（2）掌握等比數列的通項公式與前n項和公式.

（3）能在具體問題情景中識別等比關系，并能用等比數列的有關知識解決相應的問題.

（4）了解等比數列與指數函數的關系.

題型：選擇題、填空題、解答題均有可能.

注意：（1）以考查通項公式、前n項和公式為主，同時考查等差數列及等比數列的綜合應用.

（2）數列與函數交匯是解答題考查的熱點.

（3）考查等比數列的性質：

①an=amqn-m，■=qn-m;

②若m+n=p+q，則am·an=ap·aq;若m+n=2p，則am·an=a■■;

③任意連續m項的和且不為零時構成的數列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍為等比數列.

4. 數列求和

（1）熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式.

（2）掌握非等差、等比數列求和的幾種常見方法：倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法.

題型：選擇題、填空題、解答題均有可能.

注意：（1）以考查等差、等比數列的求和公式為主，同時考查轉化與化歸思想.

（2）對非等差、等比數列求和，主要考查觀察能力，分析問題和解決問題的能力及計算能力.

（3）數列求和常與函數、方程、不等式等諸多知識聯系在一起，具有復雜多變、綜合性強、解法靈活等特征，易成為高考的中檔題或壓軸題.

5. 數列的綜合應用

（1）能在具體問題情景中識別數列的等差、等比關系，選用相應知識解決問題，熟記以下幾個常見的結論：若{an}，{bn}為等差數列，則{kan+tbn}為等差數列;若{an}，{bn}為等比數列，則{kan}（k≠0），■，{anbn}，■為等比數列;若{an}為等差數列，則{c■}（c>0）為等比數列;若{bn}（bn>0）為等比數列，則{logcbn}（c>0且c≠1）為等差數列.

（2）在實際問題中會用等差、等比數列建立模型解決問題.

題型：主要以解答題為主.

注意：（1）等差、等比數列交匯.

（2）考查數列的基本計算.

（3）數列與函數、概率、不等式、解析幾何的綜合應用以考查數列知識為主，同時考查化歸、轉化等數學建模能力.

（4）等比數列的前n項和公式的常見應用題.

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1. 數列的性質

數列的單調性：若恒有anan+1，則數列嚴格遞減. 等差數列若公差d>0，則數列單調遞增;若公差d<0，則數列單調遞減.等比數列若a1>0，公比q>1，則數列單調遞增;若a1<0，公比01，則數列單調遞減;若a1>0，公比0

2. 由遞推數列求通項

（1）直接利用等差、等比的通項公式求解.

（2）利用an和Sn的關系求解：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.

（3）歸納—猜想—證明法.

（4）非等差、等比數列轉化為等差或等比數列：

①形如an+1=Aan+B（A≠1且AB≠0）. 設an+1+x=A（an+x）（其中x是待定的系數），所以（A-1）x=B，x=■，故an+■是等比數列.

②形如an+1=Aan+B·Cn+1（A≠C，C>0，C≠1）. 常變形為■=■·■+B，設bn=■，故bn+1=■bn+B，根據①可得bn+■是等比數列，進而求得an.

③形如an+1=Aa■■（A>0，B≠1）. 常變形為lgan+1=Blgan+lgA，設bn=lgan，故bn+1=Bbn+lgA，根據①可得bn+■是等比數列，進而求得an.

④形如an+1=■（c，d為非零常數）. 兩邊取倒數，得■=■×■+■，令bn=■，轉化為bn+1=■bn+■，求解方式同①.

（5）形如an+1=an+f（n）的遞推數列求通項，用累加法;形如an+1=f（n）·an的遞推數列求通項，用累乘法.

（6）已知Sn=f（an），可以結合Sn-Sn-1=an，寫成關于an，an-1的關系式，也可以寫成關于Sn，Sn-1的關系式，選取的標準是哪個關系式比較容易求解就選哪個.

3. 數列不等式證明

（1）證明數列an>m（或

（2）證明連續和，每一項放縮成可以裂項相消的形式.

（3）證明連續積，每一項放縮成可以錯位相乘的形式.

（3）用數學歸納法證明.

（4）對于證明存在問題、唯一問題、大小問題等有時可以嘗試反證法. ■endprint