五法破解2014年遼寧理科數(shù)學(xué)卷填空壓軸題

多元函數(shù)的最值問題一直以來是高考數(shù)學(xué)卷中檢驗(yàn)考生思維能力和綜合素質(zhì)的重要素材，并在考查力度上有加強(qiáng)、加深、加活之態(tài)勢. 縱觀2014年高考卷中的多元函數(shù)最值問題，其中遼寧理數(shù)第16題最具有代表性，其橫向入口較寬，縱向難度較大，技巧性、綜合性都很強(qiáng). 筆者擬從“一題多解，尋思百通”的解題角度，多方位探究此題，以饗讀者.

題目：對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大時，-+的最小值為______.

1.1 從不等式角度分析

不等式是處理關(guān)于多元函數(shù)最值問題的一把利器，而“拆、湊、變、造”則是不等式的解題靈魂，具有一定的技巧性和難度，往往從這四個切入點(diǎn)入手，可還原問題的廬山真面目.

方法一（重要不等式ab≤2模型）：

c=4a2-2ab+4b2=（2a+b）2-3b（2a-b）=（2a+b）2-·2b·（2a-b）≥（2a+b）2-2=（2a+b）2，

所以2a+b最大時，

2a+b==，2b=2a-b？圯a=，b=.

此時，-+=-+=+. 設(shè)t=>0，即求f（t）=5t2-2t（t>0）的最小值， f（t）=f=-2，即-+的最小值為-2.

方法二（柯西不等式）：

4a2-2ab+4b2-c=0，可推得2c=3（a+b）2+5（a-b）2，（2a+b）2=×（a+b）+×（a-b）2≤2+2·[（（a+b））2+（（a-b））2]=+·2c=c，當(dāng)2a+b取最大值時，有（2a+b）2=，2a=3b？圯a=，b=.

以下同方法一.

1.2 從方程思想角度分析

方程是聯(lián)系未知變量和已知變量的紐帶，通過方程的某種特征量將未知與已知量間的相互關(guān)系顯性化，從而尋找到解決問題的辦法.考慮到題目是二次式，故我們設(shè)想：能否構(gòu)造某個二次方程，借助二次方程的特征量Δ來解決問題？

方法三（判別式法）：

令2a+b=t，則b=t-2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0中，得到

4a2-2a（t-2a）+4（t-2a）2-c=0，即24a2-18at+4t2-c=0（？鄢）.

方程（？鄢）是關(guān)于a的二次方程，且有實(shí)根，所以Δ=182t2-4×24（4t2-c）≥0，可得t2≤c，即（2a+b）2≤c，再將（2a+b）2=c代入4a2-2ab+4b2-c=0，得到2a=3b，代入（2a+b）2=c，解得a=，b=.

以下同方法一.

方法四（化齊次法）：

設(shè)2a+b=t，則=1，4a2-2ab+4b2=c·12=c·，整理后，有4（t2-c）a2-2（t2+2c）ab+（4t2-c）b2=0（？鄢？鄢），該方程為關(guān)于變量a，b的齊次方程，現(xiàn)將方程（？鄢？鄢）看成關(guān)于a的方程，則：

（1）當(dāng)t2=c時，此時b=2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0，解得c=16a2，此時-+=+，此時最小值為-.

（2）當(dāng)t2≠c時，Δ=[-2（t2+2c）]2-4·4（t2-c）（4t2-c）=-60t4+96ct2≥0，所以t2≤c，即（2a+b）2≤c，解得a=，b=.

以下同方法一.

點(diǎn)評 ?化齊次法實(shí)質(zhì)上是將問題轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)二次方程問題，雖形散，但神似判別式法.

1.3 從換元引參角度分析

有些數(shù)學(xué)問題，由于條件與結(jié)論中的變量關(guān)系在形式上較為隱蔽，實(shí)質(zhì)性的邏輯聯(lián)系不易從表面形式上發(fā)現(xiàn)，即使看出它們的聯(lián)系，也由于表面形式的復(fù)雜而不易直接求解.這時我們進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把問題的條件和結(jié)論做形式上的轉(zhuǎn)換，這樣就容易揭示出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，把問題化難為易，化繁為簡.

方法五（三角換元法）：

4a2-2ab+4b2-c=0，可推得2c=3（a+b）2+5（a-b）2 ①，

2a+b=（a+b）+（a-b） ②.

在①中，令a-b=cosθ，a+b=sinθ ③，

代入②，2a+b=4，此時sinθ=，cosθ=，代入③，解得a=，b=.

以下同方法一.

點(diǎn)評 ?上述三角換元法思路自然，簡潔流暢，正如克萊因所說：“一個精彩巧妙的證明，精神上近乎一首詩.”

一般而言，在一個問題系統(tǒng)中，未知與已知必存在著某種內(nèi)在的聯(lián)系，有時這種聯(lián)系比較自然和顯性，從而求解問題相對比較順暢自然一點(diǎn);有時這種聯(lián)系比較晦澀和隱性，從而求解問題也相對坎坷些. 我們回頭再看題目：對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大時，求-+的最小值.我們可以把其分為兩個問題，問題1：對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大時，這時a，b，c三個變量間有何關(guān)系？問題2：在問題1的結(jié)論下，求-+的最小值.俗語云“射人先射馬，擒賊先擒王”，既然問題1中的關(guān)鍵點(diǎn)是使“2a+b最大”，那么我們一切的解題工作都要圍繞“2a+b”展開，而與2a+b相關(guān)的形式自然想到三種（2a+b）2，2a+b，2a+b，分別為方法一、方法二，方法三，方法四、方法五的入手點(diǎn). 為了防止讀者“只在此山中，云深不知處”，我們再看下文科16題的題目：對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0且使2a+b最大時，求++的最小值. 可見兩題的本質(zhì)是一樣的，都可以拆分成問題1和問題2來處理.實(shí)際上，筆者是想通過文科試題拆分后的問題1（對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0且使2a+b最大時，a，b，c三個變量間有何關(guān)系）來追溯它的前生，即“（2011年高考浙江卷理科16題）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是______”.可見，如果把浙江這道理數(shù)題等號右邊的1看成c，即可改編為遼寧文數(shù)題，而理數(shù)題是在文數(shù)題的基礎(chǔ)上再做點(diǎn)綴，遼寧文數(shù)16題與浙江理數(shù)16題間微妙的關(guān)系真可謂“三生情緣緣不盡，今生再續(xù)前世緣”.endprint

多元函數(shù)的最值問題一直以來是高考數(shù)學(xué)卷中檢驗(yàn)考生思維能力和綜合素質(zhì)的重要素材，并在考查力度上有加強(qiáng)、加深、加活之態(tài)勢. 縱觀2014年高考卷中的多元函數(shù)最值問題，其中遼寧理數(shù)第16題最具有代表性，其橫向入口較寬，縱向難度較大，技巧性、綜合性都很強(qiáng). 筆者擬從“一題多解，尋思百通”的解題角度，多方位探究此題，以饗讀者.

題目：對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大時，-+的最小值為______.

1.1 從不等式角度分析

不等式是處理關(guān)于多元函數(shù)最值問題的一把利器，而“拆、湊、變、造”則是不等式的解題靈魂，具有一定的技巧性和難度，往往從這四個切入點(diǎn)入手，可還原問題的廬山真面目.

方法一（重要不等式ab≤2模型）：

c=4a2-2ab+4b2=（2a+b）2-3b（2a-b）=（2a+b）2-·2b·（2a-b）≥（2a+b）2-2=（2a+b）2，

所以2a+b最大時，

2a+b==，2b=2a-b？圯a=，b=.

此時，-+=-+=+. 設(shè)t=>0，即求f（t）=5t2-2t（t>0）的最小值， f（t）=f=-2，即-+的最小值為-2.

方法二（柯西不等式）：

4a2-2ab+4b2-c=0，可推得2c=3（a+b）2+5（a-b）2，（2a+b）2=×（a+b）+×（a-b）2≤2+2·[（（a+b））2+（（a-b））2]=+·2c=c，當(dāng)2a+b取最大值時，有（2a+b）2=，2a=3b？圯a=，b=.

以下同方法一.

1.2 從方程思想角度分析

方程是聯(lián)系未知變量和已知變量的紐帶，通過方程的某種特征量將未知與已知量間的相互關(guān)系顯性化，從而尋找到解決問題的辦法.考慮到題目是二次式，故我們設(shè)想：能否構(gòu)造某個二次方程，借助二次方程的特征量Δ來解決問題？

方法三（判別式法）：

令2a+b=t，則b=t-2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0中，得到

4a2-2a（t-2a）+4（t-2a）2-c=0，即24a2-18at+4t2-c=0（？鄢）.

方程（？鄢）是關(guān)于a的二次方程，且有實(shí)根，所以Δ=182t2-4×24（4t2-c）≥0，可得t2≤c，即（2a+b）2≤c，再將（2a+b）2=c代入4a2-2ab+4b2-c=0，得到2a=3b，代入（2a+b）2=c，解得a=，b=.

以下同方法一.

方法四（化齊次法）：

設(shè)2a+b=t，則=1，4a2-2ab+4b2=c·12=c·，整理后，有4（t2-c）a2-2（t2+2c）ab+（4t2-c）b2=0（？鄢？鄢），該方程為關(guān)于變量a，b的齊次方程，現(xiàn)將方程（？鄢？鄢）看成關(guān)于a的方程，則：

（1）當(dāng)t2=c時，此時b=2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0，解得c=16a2，此時-+=+，此時最小值為-.

（2）當(dāng)t2≠c時，Δ=[-2（t2+2c）]2-4·4（t2-c）（4t2-c）=-60t4+96ct2≥0，所以t2≤c，即（2a+b）2≤c，解得a=，b=.

以下同方法一.

點(diǎn)評 ?化齊次法實(shí)質(zhì)上是將問題轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)二次方程問題，雖形散，但神似判別式法.

1.3 從換元引參角度分析

有些數(shù)學(xué)問題，由于條件與結(jié)論中的變量關(guān)系在形式上較為隱蔽，實(shí)質(zhì)性的邏輯聯(lián)系不易從表面形式上發(fā)現(xiàn)，即使看出它們的聯(lián)系，也由于表面形式的復(fù)雜而不易直接求解.這時我們進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把問題的條件和結(jié)論做形式上的轉(zhuǎn)換，這樣就容易揭示出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，把問題化難為易，化繁為簡.

方法五（三角換元法）：

4a2-2ab+4b2-c=0，可推得2c=3（a+b）2+5（a-b）2 ①，

2a+b=（a+b）+（a-b） ②.

在①中，令a-b=cosθ，a+b=sinθ ③，

代入②，2a+b=4，此時sinθ=，cosθ=，代入③，解得a=，b=.

以下同方法一.

點(diǎn)評 ?上述三角換元法思路自然，簡潔流暢，正如克萊因所說：“一個精彩巧妙的證明，精神上近乎一首詩.”

一般而言，在一個問題系統(tǒng)中，未知與已知必存在著某種內(nèi)在的聯(lián)系，有時這種聯(lián)系比較自然和顯性，從而求解問題相對比較順暢自然一點(diǎn);有時這種聯(lián)系比較晦澀和隱性，從而求解問題也相對坎坷些. 我們回頭再看題目：對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大時，求-+的最小值.我們可以把其分為兩個問題，問題1：對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大時，這時a，b，c三個變量間有何關(guān)系？問題2：在問題1的結(jié)論下，求-+的最小值.俗語云“射人先射馬，擒賊先擒王”，既然問題1中的關(guān)鍵點(diǎn)是使“2a+b最大”，那么我們一切的解題工作都要圍繞“2a+b”展開，而與2a+b相關(guān)的形式自然想到三種（2a+b）2，2a+b，2a+b，分別為方法一、方法二，方法三，方法四、方法五的入手點(diǎn). 為了防止讀者“只在此山中，云深不知處”，我們再看下文科16題的題目：對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0且使2a+b最大時，求++的最小值. 可見兩題的本質(zhì)是一樣的，都可以拆分成問題1和問題2來處理.實(shí)際上，筆者是想通過文科試題拆分后的問題1（對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0且使2a+b最大時，a，b，c三個變量間有何關(guān)系）來追溯它的前生，即“（2011年高考浙江卷理科16題）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是______”.可見，如果把浙江這道理數(shù)題等號右邊的1看成c，即可改編為遼寧文數(shù)題，而理數(shù)題是在文數(shù)題的基礎(chǔ)上再做點(diǎn)綴，遼寧文數(shù)16題與浙江理數(shù)16題間微妙的關(guān)系真可謂“三生情緣緣不盡，今生再續(xù)前世緣”.endprint

多元函數(shù)的最值問題一直以來是高考數(shù)學(xué)卷中檢驗(yàn)考生思維能力和綜合素質(zhì)的重要素材，并在考查力度上有加強(qiáng)、加深、加活之態(tài)勢. 縱觀2014年高考卷中的多元函數(shù)最值問題，其中遼寧理數(shù)第16題最具有代表性，其橫向入口較寬，縱向難度較大，技巧性、綜合性都很強(qiáng). 筆者擬從“一題多解，尋思百通”的解題角度，多方位探究此題，以饗讀者.

題目：對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大時，-+的最小值為______.

1.1 從不等式角度分析

不等式是處理關(guān)于多元函數(shù)最值問題的一把利器，而“拆、湊、變、造”則是不等式的解題靈魂，具有一定的技巧性和難度，往往從這四個切入點(diǎn)入手，可還原問題的廬山真面目.

方法一（重要不等式ab≤2模型）：

c=4a2-2ab+4b2=（2a+b）2-3b（2a-b）=（2a+b）2-·2b·（2a-b）≥（2a+b）2-2=（2a+b）2，

所以2a+b最大時，

2a+b==，2b=2a-b？圯a=，b=.

此時，-+=-+=+. 設(shè)t=>0，即求f（t）=5t2-2t（t>0）的最小值， f（t）=f=-2，即-+的最小值為-2.

方法二（柯西不等式）：

4a2-2ab+4b2-c=0，可推得2c=3（a+b）2+5（a-b）2，（2a+b）2=×（a+b）+×（a-b）2≤2+2·[（（a+b））2+（（a-b））2]=+·2c=c，當(dāng)2a+b取最大值時，有（2a+b）2=，2a=3b？圯a=，b=.

以下同方法一.

1.2 從方程思想角度分析

方程是聯(lián)系未知變量和已知變量的紐帶，通過方程的某種特征量將未知與已知量間的相互關(guān)系顯性化，從而尋找到解決問題的辦法.考慮到題目是二次式，故我們設(shè)想：能否構(gòu)造某個二次方程，借助二次方程的特征量Δ來解決問題？

方法三（判別式法）：

令2a+b=t，則b=t-2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0中，得到

4a2-2a（t-2a）+4（t-2a）2-c=0，即24a2-18at+4t2-c=0（？鄢）.

方程（？鄢）是關(guān)于a的二次方程，且有實(shí)根，所以Δ=182t2-4×24（4t2-c）≥0，可得t2≤c，即（2a+b）2≤c，再將（2a+b）2=c代入4a2-2ab+4b2-c=0，得到2a=3b，代入（2a+b）2=c，解得a=，b=.

以下同方法一.

方法四（化齊次法）：

設(shè)2a+b=t，則=1，4a2-2ab+4b2=c·12=c·，整理后，有4（t2-c）a2-2（t2+2c）ab+（4t2-c）b2=0（？鄢？鄢），該方程為關(guān)于變量a，b的齊次方程，現(xiàn)將方程（？鄢？鄢）看成關(guān)于a的方程，則：

（1）當(dāng)t2=c時，此時b=2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0，解得c=16a2，此時-+=+，此時最小值為-.

（2）當(dāng)t2≠c時，Δ=[-2（t2+2c）]2-4·4（t2-c）（4t2-c）=-60t4+96ct2≥0，所以t2≤c，即（2a+b）2≤c，解得a=，b=.

以下同方法一.

點(diǎn)評 ?化齊次法實(shí)質(zhì)上是將問題轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)二次方程問題，雖形散，但神似判別式法.

1.3 從換元引參角度分析

有些數(shù)學(xué)問題，由于條件與結(jié)論中的變量關(guān)系在形式上較為隱蔽，實(shí)質(zhì)性的邏輯聯(lián)系不易從表面形式上發(fā)現(xiàn)，即使看出它們的聯(lián)系，也由于表面形式的復(fù)雜而不易直接求解.這時我們進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把問題的條件和結(jié)論做形式上的轉(zhuǎn)換，這樣就容易揭示出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，把問題化難為易，化繁為簡.

方法五（三角換元法）：

4a2-2ab+4b2-c=0，可推得2c=3（a+b）2+5（a-b）2 ①，

2a+b=（a+b）+（a-b） ②.

在①中，令a-b=cosθ，a+b=sinθ ③，

代入②，2a+b=4，此時sinθ=，cosθ=，代入③，解得a=，b=.

以下同方法一.

點(diǎn)評 ?上述三角換元法思路自然，簡潔流暢，正如克萊因所說：“一個精彩巧妙的證明，精神上近乎一首詩.”

一般而言，在一個問題系統(tǒng)中，未知與已知必存在著某種內(nèi)在的聯(lián)系，有時這種聯(lián)系比較自然和顯性，從而求解問題相對比較順暢自然一點(diǎn);有時這種聯(lián)系比較晦澀和隱性，從而求解問題也相對坎坷些. 我們回頭再看題目：對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大時，求-+的最小值.我們可以把其分為兩個問題，問題1：對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大時，這時a，b，c三個變量間有何關(guān)系？問題2：在問題1的結(jié)論下，求-+的最小值.俗語云“射人先射馬，擒賊先擒王”，既然問題1中的關(guān)鍵點(diǎn)是使“2a+b最大”，那么我們一切的解題工作都要圍繞“2a+b”展開，而與2a+b相關(guān)的形式自然想到三種（2a+b）2，2a+b，2a+b，分別為方法一、方法二，方法三，方法四、方法五的入手點(diǎn). 為了防止讀者“只在此山中，云深不知處”，我們再看下文科16題的題目：對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0且使2a+b最大時，求++的最小值. 可見兩題的本質(zhì)是一樣的，都可以拆分成問題1和問題2來處理.實(shí)際上，筆者是想通過文科試題拆分后的問題1（對于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0且使2a+b最大時，a，b，c三個變量間有何關(guān)系）來追溯它的前生，即“（2011年高考浙江卷理科16題）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是______”.可見，如果把浙江這道理數(shù)題等號右邊的1看成c，即可改編為遼寧文數(shù)題，而理數(shù)題是在文數(shù)題的基礎(chǔ)上再做點(diǎn)綴，遼寧文數(shù)16題與浙江理數(shù)16題間微妙的關(guān)系真可謂“三生情緣緣不盡，今生再續(xù)前世緣”.endprint