多項式擬合模型在GPS水準測量中的應用

王 強，崔希民，張恒璟，杜俊秀

（1.中國礦業大學 地球科學與測繪工程學院，北京100083；2.遼寧工程技術大學 測繪學院，遼寧 阜新123000）

GPS水準使得大地水準面或高程異常變為直接觀測量，如果擬合方法求定的大地水準面差距或高程異常有足夠的精度，則GPS水準可在一定范圍內代替低等級的水準測量。利用GPS觀測得到的大地高，通過高程擬合，計算出所需要的正常高，可以成倍提高測量生產作業效率，且為通過GPS測量確定大地水準面的研究提供參考［1-2］。

GPS高程曲面擬合的方法有很多，多項式曲面擬合模型廣泛應用在小區域控制測量中［3］。在擬合模型中，法方程病態時最小二乘解撓動較大的問題直接影響擬合參數的求解［4-5］。本文通過實例，對多項式擬合模型進行分析，并討論中心化處理和擬合點位置分布對提高GPS高程擬合精度的影響。用自編GPS高程軟件，比較各次擬合方法的優劣，從而探究在實際工程中采用多項式擬合GPS水準代替水準測量的現實性。

1 多項式曲面擬合模型

多項式曲面法擬合似大地水準面的基本原理是將高程異常近似地看作一定區域內各點坐標的曲面函數，用已聯測水準的GPS點（也稱為公共點）高程異常擬合這一函數，求得函數的擬合系數，進而確定一定區域內高程異常與點平面坐標的函數關系。利用這一函數計算其他GPS點（也稱為待定點）的高程異常，最后求點的正常高。

多項式擬合方程的一般形式如下［6］：

其中

式中：ξi表示高程異常；a0，a1，a2，…an為擬合系數；εi為殘差。

式（2）中，如果取未知數一次項，則稱平面擬合；取所有的二次項，又稱二次多項式擬合；只取二次項中的交叉項，稱為相關平面擬合；取三次項，稱三次多項式擬合，以此類推。

2 擬合模型精度評定

2.1 內符合精度

根據參與擬合計算已知點的值ξi′與擬合值ξ′i，用Vi＝ξi′-ξ′i求擬合殘差Vi，從而來求擬合內符合精度，計算公式為

式中：μ為內符合精度；n為參與計算的已知點個數。

2.2 外符合精度

為了檢查GPS高程異常擬合效果，在設計計算方案時，常會用一部分已知點作為公共點，而將另外一部分已知點作為檢核點參與擬合計算，根據檢核點的ξi′值與擬合值ξ′i，用式（4）計算外符合精度M，計算公式為

式中n為參于檢核的點數。

2.3 GPS水準精度評定

1）用GPS水準求出的GPS點間的正常高程差，在己知點間組成附合或閉合高程路線，按計算的閉合差與表1中允許殘差比較，來衡量GPS水準所達到的精度［7］。

表1 水準限差

2）檢核點擬合殘差△H＝H水-H擬。所以由誤差傳播定律可知：

即

由式（6）可得

式中：σ擬代表檢核點高程擬合中誤差；σ水代表水準點的高程中誤差；σΔH代表檢核點的外符合精度。

評定GPS水準所能達到的等級精度主要是由檢核點高程擬合中誤差評定。由式（7）可以看出，檢核點高程擬合中誤差小于檢核點的外符合精度。因此，評定參考的主要依據就是外符合精度。將外符合精度與限值做比較，就可以評定GPS水準所能達到的等級精度。

3 中心化處理

當法方程系數矩陣最大值與最小值之比過大時，會造成矩陣主對角線元素不占優，法方程系數矩陣病態［8］。如果直接把X，Y代入模型，稱為非中心化處理。本文在利用這些實驗數據時，為了改善法方程系數矩陣的病態性，將測區坐標中心化處理，先求出測區公共點坐標分量的平均值，將測區點的平面坐標進行平移，平移的X，Y方向分量為該GPS測區中心點的X，Y坐標，這個過程叫做中心化。中心化使得數值計算更為方便，并減少計算精度的損失。設中心點的坐標為其模型為

在實驗中要采用新的ΔX，ΔY坐標進行數學計算和模型檢驗。

4 算例比較分析

4.1 采用數據

本測區總共13個已知控制點，都是與國家二等水準聯測的點，水準精度為三等。同時有X，Y、大地高和水準高，點號從G01—G13，測區的面積約為20km×25km，高程異常在15m左右。如果選取的公共點個數為N，則檢核點的個數為（13-N）個。測區控制點有大地經緯度，也有大地坐標所對應的直角坐標，本文只選擇直角坐標，即坐標格式為X，Y進行實驗。

4.2 擬合方案

擬合方案采用完全二次多項式擬合、非完全二次多項式擬合、一次多項式擬合和三次多項式擬合。在測區選擇的數據情況有：第一組在測區選擇7個公共點參與擬合計算，其余6個點為檢核點；第二組（參與擬合點在測區外圍進行內推）選擇9個公共點參與擬合計算，其余4個點為檢核點；第三組（參與擬合點在測區內部進行外推）選擇9個公共點參與擬合計算，其余4個點為檢核點。以上每一組都分為直接代入X，Y坐標和中心化后代入兩種情況。三次多項式擬合選擇的擬合計算點個數固定為11個，檢核點個數為2。（下列各表中“非”代表直接帶入X，Y 坐標，“中”代表對坐標中心化處理；“內”代表內符合精度，“外”代表外符合精度，單位為mm）

圖1 控制網略圖

第一組控制網的GPS數據：G01—G07為公共點，G08—G13為檢核點；

第二組控制網的GPS數據：G01—G09為公共點，G10—G13為檢核點；

第三組控制網的 GPS數據：G01、G02、G03、G04、G08、G10、G11、G12、G13 為公共 點，G05、G06、G07、G09在擬合區域外圍，為檢核點；

特別地，針對三次多項式擬合，G01—G11為參與擬合的公共點，G12—G13為檢核點。

4.3 擬合結果

通過對第一組、第二組和第三組數據分別進行中心化和非中心化的完全二次多項式擬合、非完全二次多項式擬合、一次多項式擬合，利用間接平差原理求得擬合模型。

表2～5列出在不同擬合方式下所得到的擬合數、內外符合精度和條件數。

表2 第一組擬合結果（7個點）

表3 第二組擬合結果（9個點內推）

表4 第三組擬合結果 （9個點外推）

可以看出，特別是對于三次多項式擬合，直接代入坐標計算擬合系數常數項過大，法方程嚴重病態，擬合結果不穩定，內外符合精度低，法方程條件數達到1039；中心化處理后，法方程的病態得到緩解，內外符合精度提高，法方程條件數只有1013。

表5 三次多項式擬合結果（11個擬合點）

4.4 擬合結果比較分析

1）由表2～5數據分析可知，對于一次、不完全二次，中心化后的數據擬合結果與直接代入坐標擬合精度差不多。但是對于完全二次和三次多項式，中心化后的數據擬合結果都比直接代入的精度高，模型可靠。特別是三次多項式擬合，中心化后可以顯著改善法方程的病態性，使結果穩定，提高精度。

2）由前三組數據分析可知，內外符合精度沒有必然的聯系。內符合精度反映的是擬合模型的擬合精度，外符合精度反映的是轉換參數的有效性。內符合精度高，不一定外符合精度就高，反之亦然。

3）由前三組數據分析可知，對于本測區而言，在坐標代入方式和選擇公共擬合點個數相同的情況下，完全二次多項式擬合的精度最高，一次多項式次之，不完全二次多項式精度最低，說明具體的測區有具體的適合模型。

4）第一組選擇擬合點數為7個，第二組選擇擬合點數為9個。由一、二組數據結果分析可知，在基準擬合點分布大概相同的情況下，選擇的基準擬合點數越多，擬合的模型內外符合精度越高。

5）第二組和第三組選擇的基準擬合點的個數相同，但是基準擬合點的分布不一樣。第二組選擇的點位于測區的邊緣和內部，實行的是內推；第三組選擇的基準擬合點位于集中的一個區域，實行的是外推。第二組內符合精度稍微高于第三組，外符合精度明顯優于第三組。由此分析可知，內推模型明顯優于外推模型。

6）三次與完全二次擬合相比較，擬合的次數和參數個數變多，但是內外符合精度并沒有提高。由此分析可知，多項式擬合中，并不是擬合次數越高越好。

由上述結果可知，對于本測區而言，最合適的多項式擬合模型是基準公共點均勻分布在測區外圍和內部、具有適量多的公共點數、中心化后的完全二次多項式擬合模型。其外符合精度在11mm左右，經計算，能夠達到四等水準測量的精度。

5 結束語

GPS擬合高程精度在地形復雜地區，由于大地水準面相對不規則，需要選取合適的函數模型構造大地水準面模型來接近真實的大地水準面，這樣擬合的結果會較好，擬合高程精度將會提高。從本文討論中可知：

1）對于同類地形復雜情況，在GPS水準擬合過程中，擬合模型一旦選定，擬合精度的高低還取決于基準點的個數、選取及分布。選取的基準點個數應該盡可能的多；選取的基準點應均勻分布在測區四周和中央（可以盡量避免外推），并反映出該測區真實地形，則經過內插所獲得的各點的擬合高程精度將進一步提高。

2）在多項式擬合中，盡量對坐標進行中心化處理，以得到更優的效果。

3）不同的區域選用不同的擬合方法精度會不一樣，所以應該根據實際情況，選擇不同的擬合方法。對于本區域的情況，可以用二次多項式擬合模型代替四等水準測量。

［1］鄧罡.GPS高程擬合代替水準測量研究［D］.長沙：中南大學，2012.

［2］王增利，黃騰，鄧標.基于二次曲面的擬合推估法在GPS高程測量中的應用［J］.測繪工程，2009，18（1）：51-53.

［3］李曉桓.GPS水準擬合模型的優選［J］.測繪通報，2003（7）：11-13.

［4］歸慶明，郭建鋒，邊少鋒.基于特征系統的病態性診斷［J］.測繪科學，2002，27（2）：13-15.

［5］徐天河，楊元喜.均方誤差意義下正則化解優于最小二乘解的條件［J］.武漢大學學報：信息科學版，2004，29（3）：223-226.

［6］岳建平，岳東杰.工程GPS測量的精度及其應用［J］.測繪通報，1999（11）：27-29.

［7］中華人民共和國國家技術監督局.GB 12898—1991國家三、四等水準測量規范［S］.北京：中國標準出版社，1991.

［8］張恒璟，程鵬飛，孫小榮.多項式擬合模型病態性問題的分析與應用研究［J］.測繪通報，2012（7）：35-38.