精彩不容錯過——兼談概念分類規則

教師要善于引導學生對一些相關的概念進行分類,以便掌握概念的聯系和形成系統,使學生形成知識網絡。但有的教師在分類時，概念不清,違反分類規則,導致對概念認識上產生錯誤,必然影響到概念的運用。筆者在一堂公開課上就發現了這樣的問題。

一、引述錯誤分類

公開課《豐富的圖形世界》,選用教材:蘇教版,設計題目:認一認下面幾何體并把它們分類。（寫出分類的依據）

二、分析與評價

分類一、二、三都沒有問題，分類四中圓錐的頂點只有一個無可非議，但把所有的棱錐都認為只有一個頂點是錯誤的，忽視了新老教材概念的不同。在華師版教材中“頂點”的概念:只要是棱與棱的交點就是頂點。所以對于棱錐來說有多個頂點，它的立足點是多面體，而且滿足歐拉公式。而現在的蘇教版教材立足于特殊性，所以對于棱錐的頂點作出規定：側棱的交點才叫做棱錐的頂點，所以一般來說棱錐的頂點只有一個。那是不是所有棱錐的頂點都只有一個頂點，有沒有特例？事實上由于三棱錐的特殊性，每一個面都可以作為底面，也就是說有四種情況，根據“頂點”的概念它的頂點應該有四個。

為什么會引起這樣的混淆？主要是對于底面概念不清楚，沒有去擺一擺，放一放。筆者在鳳凰數學論壇及其他地方就發現有很多教師都認為三棱錐只有一個頂點，錯誤地認為底面就是放在桌子上的面，也就是認為底面跟放置位置有關。底面只有一個，那相對于底面的側面的交線——側棱的交點也就只有一個，所以三棱錐只有一個頂點。

三、探究正確分類

其實上面對于底面的理解是錯誤的。舉個例子來說：如果我們拿四棱錐來研究，把形狀是三角形的那個面放在下面，試問底面在何處？很顯然,底面應該是形狀為四邊形的那個面，而不是位置在下面的形狀為三角形的那個面。由此得出結論，底面不跟放置位置有關。底面確定，相對于底面而言的側棱也確定，因而頂點也就確定。但三棱錐由于它的特殊性，任何一個面都可以作底面，那么相對于底面的側面的交線（側棱）的交點——頂點會因底面的不同而不同，所以三棱錐應該有四個頂點。

顯然，由于三棱錐有四個頂點，那么棱錐只有一個頂點的說法是欠妥的，應該說一般只有一個。上述題目按頂點個數的分類中撇開了三棱錐的特例，把棱錐算作一個頂點應該是不正確的。那么應該怎樣按頂點數進行正確分類呢？在數學教學參考上有這樣的提示：除三棱錐外，棱錐的頂點只有一個（三棱錐有四個頂點）。棱錐底面上，棱與棱的交點不能稱為棱錐的頂點，應該稱為底面頂點。同時還指出：課本對棱錐頂點的表述，與初中、高中的各套教材的表述是基本一致的。對棱錐頂點的概念，教學中應該淡化，如不要安排與此概念相關的專項訓練等。為了避開上述錯誤，淡化棱錐頂點的概念，筆者認為可以引導學生按有無頂點進行分類，即有頂點：棱錐、棱柱，無頂點：球體、圓柱。這樣分類，既完成了教學任務，也沒有爭議，避免了不必要的錯誤。

這次公開課的教師出現的分類錯誤，筆者覺得應該引起我們的反思。（1）新教材的內容與老教材相比已經有了一些變化。相對老教材來說有加強的部分，也有削弱的部分。我們在研究教材、處理教材與實際教學時是不是存在重視程度不夠或者根本還在吃老本的現象呢？（2）學生的思維是靈活的，思維的火花一直在不斷出現。每一個教學情境出現時，教師應該怎么來充分利用這個平臺，把知識傳授給學生呢？