巧解最值問題

洪揚婷

二維形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是實數，則（a+b）（c+d）≥（ac+bd），當且僅當ad=bc時，等號成立.上述不等式可以變形為：≤，不等式的左邊可以看成點（c，d）到直線ax+by=0的距離，當不等式的右邊為定值時，左邊有最大值.利用柯西不等式及其變形可以巧妙地解決如下最值問題.

例1：求橢圓C：+=1上的點到直線l：x-2y=0的距離的最大值.

解析：（法一）橢圓C：+=1上的點P（x，y）為x=4cosθy=2sinθ，則點P到直線l：x-2y=0的距離為d==，故d=.

（法二）設x-2y=m，借助圖像可知，當直線x-2y=m與橢圓C：+=1相切時，切點到直線l：x-2y=0的距離取得最大值.由x-2y=m+=1得16y+12my+3m-48=0，令△=144m-64（3m-48）=0，則m=±，故d=.

（法三）設點P（x，y）為橢圓C上任意一點，則點P到直線l：x-2y=0的距離d=.利用柯西不等式可得：（+）（16+48）≥（x-2y），當且僅當3x=-2y時，等號成立，此時d=.

變式：求橢圓C：+=1上的點到直線l：x-2y-12=0的距離的最值.

解析：由例1可得，|x-2y|≤8即-8≤x-2y≤8，故-20≤x-2y-12≤-4，則所求距離的最大值、最小值分別為d=4，d=.

例2：已知點P（x，y）是圓C：x+y=2y上的動點，求2x+y的取值范圍.

解析：（法一）設點P（x，y）為x=cosθy=1+sinθ，則2x+y=2cosθ+1+sinθ=sin（θ+ψ）+1，其中tanψ=2，當sin（θ+ψ）=±1時，2x+y取得最值，故-+1≤2x+y≤+1.

（法二）設2x+y=m，借助圖像可知，當直線2x+y=m與圓C：x+y=2y相切時2x+y取得最值.由2x+y=mx+y=2y得5x+（4-4m）x+m-2m=0，令△=（4-4m）-20（m-2m）=0，則m=1±，故-+1≤2x+y≤+1.

（法三）利用柯西不等式可得：（x+（y-1））（4+1）≥（2x+y-1），當且僅當x=2（y-1）時，等號成立，故-+1≤2x+y≤+1.

法一涉及三角函數的知識.大部分學生對角ψ為非特殊角的恒等變換的掌握情況并不理想.法二從數形結合的角度并不難理解，但其中涉及的計算對大部分學生來說是不小的挑戰.相比較而言，利用柯西不等式進行解答簡單快捷.

例3：（2014山東理9）已知x，y滿足約束條件x-y-1≤02x-y-3≥0，當目標函數z=ax+by（a>0，b>0）在該約束條件下取到最小值2時，a+b的最小值為（）

A.5B.4C.D.2

解析：畫出滿足約束條件的可行域知，當目標函數z=ax+by（a>0，b>0）過直線x-y-1=0與2x-y-3=0的交點A（2，1）時取得最小值，所以有2a+b=2.利用柯西不等式可得：（a+b）（4+1）≥（2a+b）=（2），所以a+b的最小值為4，故選B.

柯西不等式雖然是選修4-5的內容，但同樣適用于必修中的問題.