關于數理統計學中充分統計量教學的體會

萬樹文

摘 要：充分統計量是數理統計教學的一個難點，學生往往感到難以理解與掌握。該文從參數估計的思想以及概率函數分解的角度探索了一個引入充分統計量概念和建立其數學定義的新的教學方法。

關鍵詞：充分統計量 ?數理統計 ?教學方法

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）10（c）-0145-02

A new method of teaching sufficient statistics in mathematical statistics

WAN Shuwen

（Department of Applied Mathematics， Nanjing University of Finance and Economics， Nanjing， Jiangsu， 210023，China）

Abstract：Sufficient statistics is a difficult concept in teaching mathematical statistics， and students usually find it hard to understand. In this paper， we propose a new method of teaching sufficient statistics using the ideas of parameter estimation and decomposing probability functions.

Key words：Sufficient statistics ?Mathematical Statistics ?Teaching Method

充分統計量是數理統計學中的一個重要的概念，它由著名統計學家Fisher在1922年提出。在對應用數學專業本科生的教學過程中，我們發現學生對該概念的引入以及數學定義普遍感到較難理解和掌握，盡管對其后如何利用因子分解定理去求參數的充分統計量掌握的較好。該文探討如何從易于學生理解和接受的角度，在教學過程中將充分統計量這個相對抽象的概念引入以及最終給出嚴格的數學定義。

許多教材在給出充分統計量的數學定義前，先從定性描述的角度解釋充分統計量的概念。譬如，充分統計量是對原有樣本的簡化，它包含了樣本關于參數進行統計推斷的所有信息。知道了充分統計量與知道原有的完整樣本對推斷參數是等效的。換句話說，在已知充分統計量的前提下樣本不再包含關于的有用信息，即可以從樣本在下的條件分布與參數無關對統計量的充分性下嚴格的數學定義。

通過以上途徑引入充分統計量從邏輯上似乎順理成章，但是站在學生的角度，他們是不易理解的。一個很重要的原因是現行的教材都是將參數估計部分安排在了充分統計量章節的后面，學生們在接觸充分統計量時還不知道如何借助于樣本對參數進行推斷，特別是借助于樣本的分布列或密度函數進行參數的最大似然估計，也就理解不了樣本是如何包含關于參數的所有信息，更不用說充分統計量如何包含參數的所有信息。 如何解決這種問題呢？可以通過一兩個小例子初步講解一下參數的最大似然估計以及如何從樣本或某個統計量出發進行參數的估計，使同學們能夠直觀地感受充分統計量的存在和功能。

例1（一個連續型的例子），設是來自總體的樣本，其中未知，已知。我們需要對未知的參數進行估計。

解：方法1，從原始樣本進行估計.根據Fisher的思想，的估計量應使樣本的聯合密度函數最大。故寫出樣本的聯合密度函數為

即

令，得到

故的估計量為。

方法2，從某統計量進行估計。根據Fisher的思想，的估計量應使統計量的密度函數最大。因為，故寫出的密度函數為

即

令，得到

故的估計量為

例2（一個離散型的例子），設是來自一個兩點分布總體的樣本，我們需要對未知的參數進行估計。

解：方法1，從原始樣本進行估計。根據Fisher的思想，的估計量應使樣本的聯合分布列最大。故寫出樣本的聯合分布列為

即

令，得到

故θ的估計量為.

方法2，從某統計量進行估計。根據Fisher的思想，的估計量應使統計量的分布列最大。因為，故寫出其分布列為

即

令得到，

故的估計量為

通過以上的兩個例子，我們可以直觀地看出參數估計可以通過完整的原始樣本進行，也可以只通過從樣本構造的某個統計量進行，這樣的統計量就是充分的統計量，因為對于參數估計而言，該統計量是樣本的充分的代表。

接下來我們就可以循序漸進地引入充分統計量的嚴格的數學概念。設樣本的概率函數為;離散情形指的是分布列，連續情形指的是密度函數。記某統計量T的概率函數為，則

若與無關，則由Fisher的思想，從樣本的概率函數去推斷參數的估計量與從統計量T的概率函數去推斷參數的估計量是一樣的。此時的統計量T就是我們在例一和例二談到的充分統計量。故充分統計量的一個定義可以直接由此給出：

定義1：設是來自某個總體的樣本，樣本的概率函數為。設統計量的概率函數為。 若與無關，則稱為的充分統計量。

定義1與大部分教材中直接給出的充分統計量的定義是不一樣的，因為大部分教材是依據樣本的條件分布給出了充分統計量的數學定義。實際上，定義1與最終的數學定義已十分接近了。根據概率論的知識，我們知道樣本的條件概率函數與有如下的聯系：

故可以根據樣本的條件分布給出最終的充分統計量的最常用的數學定義，即有如下的定義2：

定義2： 設是來自某個總體的樣本，總體的分布函數為。統計量稱為的充分統計量，如果在給定的取值后，樣本的條件分布與無關。

在初步了解了充分統計量的嚴格數學定義后，學生對充分統計量的認識，以及如何運用其數學定義尋找充分統計量還不可能熟練掌握，此時可以舉兩個具體的例子加以闡述，以加深學生對概念和定義的掌握.此時舉的例子完全可以結合例一和例二給出， 學生可以更好的掌握。

例3.設是來自總體的樣本，證明：統計量是的充分統計量。

證明： 在， 即時， 有

因其與無關， 故是的充分統計量。

例4，設是來自總體0-1分布的樣本，證明：統計量是的充分統計量。

證明：在，即時，有

因其與無關， 故是的充分統計量。

綜上所述，我們探討了在充分統計量教學過程中如何借助于最大似然估計的思想以及借助于樣本概率函數的分解來促進學生更好地掌握充分統計量，深刻理解充分統計量的由來與定義。在很好掌握充分統計量的定義后，再學習教材中的因子分解定理求解充分統計量就不難了。該文探討的思路在實際教學過程中取得了較好的教學效果。

參考文獻

[1] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2011.

[3] 茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數理統計[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

[4] 韋博成.參數統計教程[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5] 蘇良軍.高等數理統計[M].北京：北京大學出版社，2007.

[6] 鄭明，陳子毅，汪嘉岡.數理統計講義[M].上海：復旦大學出版社，2006.

[7] 李賢平.概率論基礎[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.endprint

摘 要：充分統計量是數理統計教學的一個難點，學生往往感到難以理解與掌握。該文從參數估計的思想以及概率函數分解的角度探索了一個引入充分統計量概念和建立其數學定義的新的教學方法。

關鍵詞：充分統計量 ?數理統計 ?教學方法

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）10（c）-0145-02

A new method of teaching sufficient statistics in mathematical statistics

WAN Shuwen

（Department of Applied Mathematics， Nanjing University of Finance and Economics， Nanjing， Jiangsu， 210023，China）

Abstract：Sufficient statistics is a difficult concept in teaching mathematical statistics， and students usually find it hard to understand. In this paper， we propose a new method of teaching sufficient statistics using the ideas of parameter estimation and decomposing probability functions.

Key words：Sufficient statistics ?Mathematical Statistics ?Teaching Method

充分統計量是數理統計學中的一個重要的概念，它由著名統計學家Fisher在1922年提出。在對應用數學專業本科生的教學過程中，我們發現學生對該概念的引入以及數學定義普遍感到較難理解和掌握，盡管對其后如何利用因子分解定理去求參數的充分統計量掌握的較好。該文探討如何從易于學生理解和接受的角度，在教學過程中將充分統計量這個相對抽象的概念引入以及最終給出嚴格的數學定義。

許多教材在給出充分統計量的數學定義前，先從定性描述的角度解釋充分統計量的概念。譬如，充分統計量是對原有樣本的簡化，它包含了樣本關于參數進行統計推斷的所有信息。知道了充分統計量與知道原有的完整樣本對推斷參數是等效的。換句話說，在已知充分統計量的前提下樣本不再包含關于的有用信息，即可以從樣本在下的條件分布與參數無關對統計量的充分性下嚴格的數學定義。

通過以上途徑引入充分統計量從邏輯上似乎順理成章，但是站在學生的角度，他們是不易理解的。一個很重要的原因是現行的教材都是將參數估計部分安排在了充分統計量章節的后面，學生們在接觸充分統計量時還不知道如何借助于樣本對參數進行推斷，特別是借助于樣本的分布列或密度函數進行參數的最大似然估計，也就理解不了樣本是如何包含關于參數的所有信息，更不用說充分統計量如何包含參數的所有信息。 如何解決這種問題呢？可以通過一兩個小例子初步講解一下參數的最大似然估計以及如何從樣本或某個統計量出發進行參數的估計，使同學們能夠直觀地感受充分統計量的存在和功能。

例1（一個連續型的例子），設是來自總體的樣本，其中未知，已知。我們需要對未知的參數進行估計。

解：方法1，從原始樣本進行估計.根據Fisher的思想，的估計量應使樣本的聯合密度函數最大。故寫出樣本的聯合密度函數為

即

令，得到

故的估計量為。

方法2，從某統計量進行估計。根據Fisher的思想，的估計量應使統計量的密度函數最大。因為，故寫出的密度函數為

即

令，得到

故的估計量為

例2（一個離散型的例子），設是來自一個兩點分布總體的樣本，我們需要對未知的參數進行估計。

解：方法1，從原始樣本進行估計。根據Fisher的思想，的估計量應使樣本的聯合分布列最大。故寫出樣本的聯合分布列為

即

令，得到

故θ的估計量為.

方法2，從某統計量進行估計。根據Fisher的思想，的估計量應使統計量的分布列最大。因為，故寫出其分布列為

即

令得到，

故的估計量為

通過以上的兩個例子，我們可以直觀地看出參數估計可以通過完整的原始樣本進行，也可以只通過從樣本構造的某個統計量進行，這樣的統計量就是充分的統計量，因為對于參數估計而言，該統計量是樣本的充分的代表。

接下來我們就可以循序漸進地引入充分統計量的嚴格的數學概念。設樣本的概率函數為;離散情形指的是分布列，連續情形指的是密度函數。記某統計量T的概率函數為，則

若與無關，則由Fisher的思想，從樣本的概率函數去推斷參數的估計量與從統計量T的概率函數去推斷參數的估計量是一樣的。此時的統計量T就是我們在例一和例二談到的充分統計量。故充分統計量的一個定義可以直接由此給出：

定義1：設是來自某個總體的樣本，樣本的概率函數為。設統計量的概率函數為。 若與無關，則稱為的充分統計量。

定義1與大部分教材中直接給出的充分統計量的定義是不一樣的，因為大部分教材是依據樣本的條件分布給出了充分統計量的數學定義。實際上，定義1與最終的數學定義已十分接近了。根據概率論的知識，我們知道樣本的條件概率函數與有如下的聯系：

故可以根據樣本的條件分布給出最終的充分統計量的最常用的數學定義，即有如下的定義2：

定義2： 設是來自某個總體的樣本，總體的分布函數為。統計量稱為的充分統計量，如果在給定的取值后，樣本的條件分布與無關。

在初步了解了充分統計量的嚴格數學定義后，學生對充分統計量的認識，以及如何運用其數學定義尋找充分統計量還不可能熟練掌握，此時可以舉兩個具體的例子加以闡述，以加深學生對概念和定義的掌握.此時舉的例子完全可以結合例一和例二給出， 學生可以更好的掌握。

例3.設是來自總體的樣本，證明：統計量是的充分統計量。

證明： 在， 即時， 有

因其與無關， 故是的充分統計量。

例4，設是來自總體0-1分布的樣本，證明：統計量是的充分統計量。

證明：在，即時，有

因其與無關， 故是的充分統計量。

綜上所述，我們探討了在充分統計量教學過程中如何借助于最大似然估計的思想以及借助于樣本概率函數的分解來促進學生更好地掌握充分統計量，深刻理解充分統計量的由來與定義。在很好掌握充分統計量的定義后，再學習教材中的因子分解定理求解充分統計量就不難了。該文探討的思路在實際教學過程中取得了較好的教學效果。

參考文獻

[1] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2011.

[3] 茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數理統計[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

[4] 韋博成.參數統計教程[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5] 蘇良軍.高等數理統計[M].北京：北京大學出版社，2007.

[6] 鄭明，陳子毅，汪嘉岡.數理統計講義[M].上海：復旦大學出版社，2006.

[7] 李賢平.概率論基礎[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.endprint

摘 要：充分統計量是數理統計教學的一個難點，學生往往感到難以理解與掌握。該文從參數估計的思想以及概率函數分解的角度探索了一個引入充分統計量概念和建立其數學定義的新的教學方法。

關鍵詞：充分統計量 ?數理統計 ?教學方法

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）10（c）-0145-02

A new method of teaching sufficient statistics in mathematical statistics

WAN Shuwen

（Department of Applied Mathematics， Nanjing University of Finance and Economics， Nanjing， Jiangsu， 210023，China）

Abstract：Sufficient statistics is a difficult concept in teaching mathematical statistics， and students usually find it hard to understand. In this paper， we propose a new method of teaching sufficient statistics using the ideas of parameter estimation and decomposing probability functions.

Key words：Sufficient statistics ?Mathematical Statistics ?Teaching Method

充分統計量是數理統計學中的一個重要的概念，它由著名統計學家Fisher在1922年提出。在對應用數學專業本科生的教學過程中，我們發現學生對該概念的引入以及數學定義普遍感到較難理解和掌握，盡管對其后如何利用因子分解定理去求參數的充分統計量掌握的較好。該文探討如何從易于學生理解和接受的角度，在教學過程中將充分統計量這個相對抽象的概念引入以及最終給出嚴格的數學定義。

許多教材在給出充分統計量的數學定義前，先從定性描述的角度解釋充分統計量的概念。譬如，充分統計量是對原有樣本的簡化，它包含了樣本關于參數進行統計推斷的所有信息。知道了充分統計量與知道原有的完整樣本對推斷參數是等效的。換句話說，在已知充分統計量的前提下樣本不再包含關于的有用信息，即可以從樣本在下的條件分布與參數無關對統計量的充分性下嚴格的數學定義。

通過以上途徑引入充分統計量從邏輯上似乎順理成章，但是站在學生的角度，他們是不易理解的。一個很重要的原因是現行的教材都是將參數估計部分安排在了充分統計量章節的后面，學生們在接觸充分統計量時還不知道如何借助于樣本對參數進行推斷，特別是借助于樣本的分布列或密度函數進行參數的最大似然估計，也就理解不了樣本是如何包含關于參數的所有信息，更不用說充分統計量如何包含參數的所有信息。 如何解決這種問題呢？可以通過一兩個小例子初步講解一下參數的最大似然估計以及如何從樣本或某個統計量出發進行參數的估計，使同學們能夠直觀地感受充分統計量的存在和功能。

例1（一個連續型的例子），設是來自總體的樣本，其中未知，已知。我們需要對未知的參數進行估計。

解：方法1，從原始樣本進行估計.根據Fisher的思想，的估計量應使樣本的聯合密度函數最大。故寫出樣本的聯合密度函數為

即

令，得到

故的估計量為。

方法2，從某統計量進行估計。根據Fisher的思想，的估計量應使統計量的密度函數最大。因為，故寫出的密度函數為

即

令，得到

故的估計量為

例2（一個離散型的例子），設是來自一個兩點分布總體的樣本，我們需要對未知的參數進行估計。

解：方法1，從原始樣本進行估計。根據Fisher的思想，的估計量應使樣本的聯合分布列最大。故寫出樣本的聯合分布列為

即

令，得到

故θ的估計量為.

方法2，從某統計量進行估計。根據Fisher的思想，的估計量應使統計量的分布列最大。因為，故寫出其分布列為

即

令得到，

故的估計量為

通過以上的兩個例子，我們可以直觀地看出參數估計可以通過完整的原始樣本進行，也可以只通過從樣本構造的某個統計量進行，這樣的統計量就是充分的統計量，因為對于參數估計而言，該統計量是樣本的充分的代表。

接下來我們就可以循序漸進地引入充分統計量的嚴格的數學概念。設樣本的概率函數為;離散情形指的是分布列，連續情形指的是密度函數。記某統計量T的概率函數為，則

若與無關，則由Fisher的思想，從樣本的概率函數去推斷參數的估計量與從統計量T的概率函數去推斷參數的估計量是一樣的。此時的統計量T就是我們在例一和例二談到的充分統計量。故充分統計量的一個定義可以直接由此給出：

定義1：設是來自某個總體的樣本，樣本的概率函數為。設統計量的概率函數為。 若與無關，則稱為的充分統計量。

定義1與大部分教材中直接給出的充分統計量的定義是不一樣的，因為大部分教材是依據樣本的條件分布給出了充分統計量的數學定義。實際上，定義1與最終的數學定義已十分接近了。根據概率論的知識，我們知道樣本的條件概率函數與有如下的聯系：

故可以根據樣本的條件分布給出最終的充分統計量的最常用的數學定義，即有如下的定義2：

定義2： 設是來自某個總體的樣本，總體的分布函數為。統計量稱為的充分統計量，如果在給定的取值后，樣本的條件分布與無關。

在初步了解了充分統計量的嚴格數學定義后，學生對充分統計量的認識，以及如何運用其數學定義尋找充分統計量還不可能熟練掌握，此時可以舉兩個具體的例子加以闡述，以加深學生對概念和定義的掌握.此時舉的例子完全可以結合例一和例二給出， 學生可以更好的掌握。

例3.設是來自總體的樣本，證明：統計量是的充分統計量。

證明： 在， 即時， 有

因其與無關， 故是的充分統計量。

例4，設是來自總體0-1分布的樣本，證明：統計量是的充分統計量。

證明：在，即時，有

因其與無關， 故是的充分統計量。

綜上所述，我們探討了在充分統計量教學過程中如何借助于最大似然估計的思想以及借助于樣本概率函數的分解來促進學生更好地掌握充分統計量，深刻理解充分統計量的由來與定義。在很好掌握充分統計量的定義后，再學習教材中的因子分解定理求解充分統計量就不難了。該文探討的思路在實際教學過程中取得了較好的教學效果。

參考文獻

[1] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2011.

[3] 茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數理統計[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

[4] 韋博成.參數統計教程[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5] 蘇良軍.高等數理統計[M].北京：北京大學出版社，2007.

[6] 鄭明，陳子毅，汪嘉岡.數理統計講義[M].上海：復旦大學出版社，2006.

[7] 李賢平.概率論基礎[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.endprint