關(guān)于數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中充分統(tǒng)計(jì)量教學(xué)的體會(huì)

萬樹文

摘 要：充分統(tǒng)計(jì)量是數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生往往感到難以理解與掌握。該文從參數(shù)估計(jì)的思想以及概率函數(shù)分解的角度探索了一個(gè)引入充分統(tǒng)計(jì)量概念和建立其數(shù)學(xué)定義的新的教學(xué)方法。

關(guān)鍵詞：充分統(tǒng)計(jì)量 ?數(shù)理統(tǒng)計(jì) ?教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）10（c）-0145-02

A new method of teaching sufficient statistics in mathematical statistics

WAN Shuwen

（Department of Applied Mathematics， Nanjing University of Finance and Economics， Nanjing， Jiangsu， 210023，China）

Abstract：Sufficient statistics is a difficult concept in teaching mathematical statistics， and students usually find it hard to understand. In this paper， we propose a new method of teaching sufficient statistics using the ideas of parameter estimation and decomposing probability functions.

Key words：Sufficient statistics ?Mathematical Statistics ?Teaching Method

充分統(tǒng)計(jì)量是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要的概念，它由著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher在1922年提出。在對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)該概念的引入以及數(shù)學(xué)定義普遍感到較難理解和掌握，盡管對(duì)其后如何利用因子分解定理去求參數(shù)的充分統(tǒng)計(jì)量掌握的較好。該文探討如何從易于學(xué)生理解和接受的角度，在教學(xué)過程中將充分統(tǒng)計(jì)量這個(gè)相對(duì)抽象的概念引入以及最終給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。

許多教材在給出充分統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)定義前，先從定性描述的角度解釋充分統(tǒng)計(jì)量的概念。譬如，充分統(tǒng)計(jì)量是對(duì)原有樣本的簡化，它包含了樣本關(guān)于參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的所有信息。知道了充分統(tǒng)計(jì)量與知道原有的完整樣本對(duì)推斷參數(shù)是等效的。換句話說，在已知充分統(tǒng)計(jì)量的前提下樣本不再包含關(guān)于的有用信息，即可以從樣本在下的條件分布與參數(shù)無關(guān)對(duì)統(tǒng)計(jì)量的充分性下嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。

通過以上途徑引入充分統(tǒng)計(jì)量從邏輯上似乎順理成章，但是站在學(xué)生的角度，他們是不易理解的。一個(gè)很重要的原因是現(xiàn)行的教材都是將參數(shù)估計(jì)部分安排在了充分統(tǒng)計(jì)量章節(jié)的后面，學(xué)生們?cè)诮佑|充分統(tǒng)計(jì)量時(shí)還不知道如何借助于樣本對(duì)參數(shù)進(jìn)行推斷，特別是借助于樣本的分布列或密度函數(shù)進(jìn)行參數(shù)的最大似然估計(jì)，也就理解不了樣本是如何包含關(guān)于參數(shù)的所有信息，更不用說充分統(tǒng)計(jì)量如何包含參數(shù)的所有信息。 如何解決這種問題呢？可以通過一兩個(gè)小例子初步講解一下參數(shù)的最大似然估計(jì)以及如何從樣本或某個(gè)統(tǒng)計(jì)量出發(fā)進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)，使同學(xué)們能夠直觀地感受充分統(tǒng)計(jì)量的存在和功能。

例1（一個(gè)連續(xù)型的例子），設(shè)是來自總體的樣本，其中未知，已知。我們需要對(duì)未知的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

解：方法1，從原始樣本進(jìn)行估計(jì).根據(jù)Fisher的思想，的估計(jì)量應(yīng)使樣本的聯(lián)合密度函數(shù)最大。故寫出樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為

即

令，得到

故的估計(jì)量為。

方法2，從某統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)Fisher的思想，的估計(jì)量應(yīng)使統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)最大。因?yàn)椋蕦懗龅拿芏群瘮?shù)為

即

令，得到

故的估計(jì)量為

例2（一個(gè)離散型的例子），設(shè)是來自一個(gè)兩點(diǎn)分布總體的樣本，我們需要對(duì)未知的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

解：方法1，從原始樣本進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)Fisher的思想，的估計(jì)量應(yīng)使樣本的聯(lián)合分布列最大。故寫出樣本的聯(lián)合分布列為

即

令，得到

故θ的估計(jì)量為.

方法2，從某統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)Fisher的思想，的估計(jì)量應(yīng)使統(tǒng)計(jì)量的分布列最大。因?yàn)椋蕦懗銎浞植剂袨?/p>

即

令得到，

故的估計(jì)量為

通過以上的兩個(gè)例子，我們可以直觀地看出參數(shù)估計(jì)可以通過完整的原始樣本進(jìn)行，也可以只通過從樣本構(gòu)造的某個(gè)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行，這樣的統(tǒng)計(jì)量就是充分的統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)閷?duì)于參數(shù)估計(jì)而言，該統(tǒng)計(jì)量是樣本的充分的代表。

接下來我們就可以循序漸進(jìn)地引入充分統(tǒng)計(jì)量的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念。設(shè)樣本的概率函數(shù)為;離散情形指的是分布列，連續(xù)情形指的是密度函數(shù)。記某統(tǒng)計(jì)量T的概率函數(shù)為，則

若與無關(guān)，則由Fisher的思想，從樣本的概率函數(shù)去推斷參數(shù)的估計(jì)量與從統(tǒng)計(jì)量T的概率函數(shù)去推斷參數(shù)的估計(jì)量是一樣的。此時(shí)的統(tǒng)計(jì)量T就是我們?cè)诶缓屠劦降某浞纸y(tǒng)計(jì)量。故充分統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)定義可以直接由此給出：

定義1：設(shè)是來自某個(gè)總體的樣本，樣本的概率函數(shù)為。設(shè)統(tǒng)計(jì)量的概率函數(shù)為。 若與無關(guān)，則稱為的充分統(tǒng)計(jì)量。

定義1與大部分教材中直接給出的充分統(tǒng)計(jì)量的定義是不一樣的，因?yàn)榇蟛糠纸滩氖且罁?jù)樣本的條件分布給出了充分統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)定義。實(shí)際上，定義1與最終的數(shù)學(xué)定義已十分接近了。根據(jù)概率論的知識(shí)，我們知道樣本的條件概率函數(shù)與有如下的聯(lián)系：

故可以根據(jù)樣本的條件分布給出最終的充分統(tǒng)計(jì)量的最常用的數(shù)學(xué)定義，即有如下的定義2：

定義2： 設(shè)是來自某個(gè)總體的樣本，總體的分布函數(shù)為。統(tǒng)計(jì)量稱為的充分統(tǒng)計(jì)量，如果在給定的取值后，樣本的條件分布與無關(guān)。

在初步了解了充分統(tǒng)計(jì)量的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義后，學(xué)生對(duì)充分統(tǒng)計(jì)量的認(rèn)識(shí)，以及如何運(yùn)用其數(shù)學(xué)定義尋找充分統(tǒng)計(jì)量還不可能熟練掌握，此時(shí)可以舉兩個(gè)具體的例子加以闡述，以加深學(xué)生對(duì)概念和定義的掌握.此時(shí)舉的例子完全可以結(jié)合例一和例二給出， 學(xué)生可以更好的掌握。

例3.設(shè)是來自總體的樣本，證明：統(tǒng)計(jì)量是的充分統(tǒng)計(jì)量。

證明： 在， 即時(shí)， 有

因其與無關(guān)， 故是的充分統(tǒng)計(jì)量。

例4，設(shè)是來自總體0-1分布的樣本，證明：統(tǒng)計(jì)量是的充分統(tǒng)計(jì)量。

證明：在，即時(shí)，有

因其與無關(guān)， 故是的充分統(tǒng)計(jì)量。

綜上所述，我們探討了在充分統(tǒng)計(jì)量教學(xué)過程中如何借助于最大似然估計(jì)的思想以及借助于樣本概率函數(shù)的分解來促進(jìn)學(xué)生更好地掌握充分統(tǒng)計(jì)量，深刻理解充分統(tǒng)計(jì)量的由來與定義。在很好掌握充分統(tǒng)計(jì)量的定義后，再學(xué)習(xí)教材中的因子分解定理求解充分統(tǒng)計(jì)量就不難了。該文探討的思路在實(shí)際教學(xué)過程中取得了較好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2011.

[3] 茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

[4] 韋博成.參數(shù)統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5] 蘇良軍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2007.

[6] 鄭明，陳子毅，汪嘉岡.數(shù)理統(tǒng)計(jì)講義[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2006.

[7] 李賢平.概率論基礎(chǔ)[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.endprint

摘 要：充分統(tǒng)計(jì)量是數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生往往感到難以理解與掌握。該文從參數(shù)估計(jì)的思想以及概率函數(shù)分解的角度探索了一個(gè)引入充分統(tǒng)計(jì)量概念和建立其數(shù)學(xué)定義的新的教學(xué)方法。

關(guān)鍵詞：充分統(tǒng)計(jì)量 ?數(shù)理統(tǒng)計(jì) ?教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）10（c）-0145-02

A new method of teaching sufficient statistics in mathematical statistics

WAN Shuwen

（Department of Applied Mathematics， Nanjing University of Finance and Economics， Nanjing， Jiangsu， 210023，China）

Abstract：Sufficient statistics is a difficult concept in teaching mathematical statistics， and students usually find it hard to understand. In this paper， we propose a new method of teaching sufficient statistics using the ideas of parameter estimation and decomposing probability functions.

Key words：Sufficient statistics ?Mathematical Statistics ?Teaching Method

充分統(tǒng)計(jì)量是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要的概念，它由著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher在1922年提出。在對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)該概念的引入以及數(shù)學(xué)定義普遍感到較難理解和掌握，盡管對(duì)其后如何利用因子分解定理去求參數(shù)的充分統(tǒng)計(jì)量掌握的較好。該文探討如何從易于學(xué)生理解和接受的角度，在教學(xué)過程中將充分統(tǒng)計(jì)量這個(gè)相對(duì)抽象的概念引入以及最終給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。

許多教材在給出充分統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)定義前，先從定性描述的角度解釋充分統(tǒng)計(jì)量的概念。譬如，充分統(tǒng)計(jì)量是對(duì)原有樣本的簡化，它包含了樣本關(guān)于參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的所有信息。知道了充分統(tǒng)計(jì)量與知道原有的完整樣本對(duì)推斷參數(shù)是等效的。換句話說，在已知充分統(tǒng)計(jì)量的前提下樣本不再包含關(guān)于的有用信息，即可以從樣本在下的條件分布與參數(shù)無關(guān)對(duì)統(tǒng)計(jì)量的充分性下嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。

通過以上途徑引入充分統(tǒng)計(jì)量從邏輯上似乎順理成章，但是站在學(xué)生的角度，他們是不易理解的。一個(gè)很重要的原因是現(xiàn)行的教材都是將參數(shù)估計(jì)部分安排在了充分統(tǒng)計(jì)量章節(jié)的后面，學(xué)生們?cè)诮佑|充分統(tǒng)計(jì)量時(shí)還不知道如何借助于樣本對(duì)參數(shù)進(jìn)行推斷，特別是借助于樣本的分布列或密度函數(shù)進(jìn)行參數(shù)的最大似然估計(jì)，也就理解不了樣本是如何包含關(guān)于參數(shù)的所有信息，更不用說充分統(tǒng)計(jì)量如何包含參數(shù)的所有信息。 如何解決這種問題呢？可以通過一兩個(gè)小例子初步講解一下參數(shù)的最大似然估計(jì)以及如何從樣本或某個(gè)統(tǒng)計(jì)量出發(fā)進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)，使同學(xué)們能夠直觀地感受充分統(tǒng)計(jì)量的存在和功能。

例1（一個(gè)連續(xù)型的例子），設(shè)是來自總體的樣本，其中未知，已知。我們需要對(duì)未知的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

解：方法1，從原始樣本進(jìn)行估計(jì).根據(jù)Fisher的思想，的估計(jì)量應(yīng)使樣本的聯(lián)合密度函數(shù)最大。故寫出樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為

即

令，得到

故的估計(jì)量為。

方法2，從某統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)Fisher的思想，的估計(jì)量應(yīng)使統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)最大。因?yàn)椋蕦懗龅拿芏群瘮?shù)為

即

令，得到

故的估計(jì)量為

例2（一個(gè)離散型的例子），設(shè)是來自一個(gè)兩點(diǎn)分布總體的樣本，我們需要對(duì)未知的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

解：方法1，從原始樣本進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)Fisher的思想，的估計(jì)量應(yīng)使樣本的聯(lián)合分布列最大。故寫出樣本的聯(lián)合分布列為

即

令，得到

故θ的估計(jì)量為.

方法2，從某統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)Fisher的思想，的估計(jì)量應(yīng)使統(tǒng)計(jì)量的分布列最大。因?yàn)椋蕦懗銎浞植剂袨?/p>

即

令得到，

故的估計(jì)量為

通過以上的兩個(gè)例子，我們可以直觀地看出參數(shù)估計(jì)可以通過完整的原始樣本進(jìn)行，也可以只通過從樣本構(gòu)造的某個(gè)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行，這樣的統(tǒng)計(jì)量就是充分的統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)閷?duì)于參數(shù)估計(jì)而言，該統(tǒng)計(jì)量是樣本的充分的代表。

接下來我們就可以循序漸進(jìn)地引入充分統(tǒng)計(jì)量的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念。設(shè)樣本的概率函數(shù)為;離散情形指的是分布列，連續(xù)情形指的是密度函數(shù)。記某統(tǒng)計(jì)量T的概率函數(shù)為，則

若與無關(guān)，則由Fisher的思想，從樣本的概率函數(shù)去推斷參數(shù)的估計(jì)量與從統(tǒng)計(jì)量T的概率函數(shù)去推斷參數(shù)的估計(jì)量是一樣的。此時(shí)的統(tǒng)計(jì)量T就是我們?cè)诶缓屠劦降某浞纸y(tǒng)計(jì)量。故充分統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)定義可以直接由此給出：

定義1：設(shè)是來自某個(gè)總體的樣本，樣本的概率函數(shù)為。設(shè)統(tǒng)計(jì)量的概率函數(shù)為。 若與無關(guān)，則稱為的充分統(tǒng)計(jì)量。

定義1與大部分教材中直接給出的充分統(tǒng)計(jì)量的定義是不一樣的，因?yàn)榇蟛糠纸滩氖且罁?jù)樣本的條件分布給出了充分統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)定義。實(shí)際上，定義1與最終的數(shù)學(xué)定義已十分接近了。根據(jù)概率論的知識(shí)，我們知道樣本的條件概率函數(shù)與有如下的聯(lián)系：

故可以根據(jù)樣本的條件分布給出最終的充分統(tǒng)計(jì)量的最常用的數(shù)學(xué)定義，即有如下的定義2：

定義2： 設(shè)是來自某個(gè)總體的樣本，總體的分布函數(shù)為。統(tǒng)計(jì)量稱為的充分統(tǒng)計(jì)量，如果在給定的取值后，樣本的條件分布與無關(guān)。

在初步了解了充分統(tǒng)計(jì)量的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義后，學(xué)生對(duì)充分統(tǒng)計(jì)量的認(rèn)識(shí)，以及如何運(yùn)用其數(shù)學(xué)定義尋找充分統(tǒng)計(jì)量還不可能熟練掌握，此時(shí)可以舉兩個(gè)具體的例子加以闡述，以加深學(xué)生對(duì)概念和定義的掌握.此時(shí)舉的例子完全可以結(jié)合例一和例二給出， 學(xué)生可以更好的掌握。

例3.設(shè)是來自總體的樣本，證明：統(tǒng)計(jì)量是的充分統(tǒng)計(jì)量。

證明： 在， 即時(shí)， 有

因其與無關(guān)， 故是的充分統(tǒng)計(jì)量。

例4，設(shè)是來自總體0-1分布的樣本，證明：統(tǒng)計(jì)量是的充分統(tǒng)計(jì)量。

證明：在，即時(shí)，有

因其與無關(guān)， 故是的充分統(tǒng)計(jì)量。

綜上所述，我們探討了在充分統(tǒng)計(jì)量教學(xué)過程中如何借助于最大似然估計(jì)的思想以及借助于樣本概率函數(shù)的分解來促進(jìn)學(xué)生更好地掌握充分統(tǒng)計(jì)量，深刻理解充分統(tǒng)計(jì)量的由來與定義。在很好掌握充分統(tǒng)計(jì)量的定義后，再學(xué)習(xí)教材中的因子分解定理求解充分統(tǒng)計(jì)量就不難了。該文探討的思路在實(shí)際教學(xué)過程中取得了較好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2011.

[3] 茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

[4] 韋博成.參數(shù)統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5] 蘇良軍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2007.

[6] 鄭明，陳子毅，汪嘉岡.數(shù)理統(tǒng)計(jì)講義[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2006.

[7] 李賢平.概率論基礎(chǔ)[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.endprint

摘 要：充分統(tǒng)計(jì)量是數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生往往感到難以理解與掌握。該文從參數(shù)估計(jì)的思想以及概率函數(shù)分解的角度探索了一個(gè)引入充分統(tǒng)計(jì)量概念和建立其數(shù)學(xué)定義的新的教學(xué)方法。

關(guān)鍵詞：充分統(tǒng)計(jì)量 ?數(shù)理統(tǒng)計(jì) ?教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）10（c）-0145-02

A new method of teaching sufficient statistics in mathematical statistics

WAN Shuwen

（Department of Applied Mathematics， Nanjing University of Finance and Economics， Nanjing， Jiangsu， 210023，China）

Abstract：Sufficient statistics is a difficult concept in teaching mathematical statistics， and students usually find it hard to understand. In this paper， we propose a new method of teaching sufficient statistics using the ideas of parameter estimation and decomposing probability functions.

Key words：Sufficient statistics ?Mathematical Statistics ?Teaching Method

充分統(tǒng)計(jì)量是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要的概念，它由著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher在1922年提出。在對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)該概念的引入以及數(shù)學(xué)定義普遍感到較難理解和掌握，盡管對(duì)其后如何利用因子分解定理去求參數(shù)的充分統(tǒng)計(jì)量掌握的較好。該文探討如何從易于學(xué)生理解和接受的角度，在教學(xué)過程中將充分統(tǒng)計(jì)量這個(gè)相對(duì)抽象的概念引入以及最終給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。

許多教材在給出充分統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)定義前，先從定性描述的角度解釋充分統(tǒng)計(jì)量的概念。譬如，充分統(tǒng)計(jì)量是對(duì)原有樣本的簡化，它包含了樣本關(guān)于參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的所有信息。知道了充分統(tǒng)計(jì)量與知道原有的完整樣本對(duì)推斷參數(shù)是等效的。換句話說，在已知充分統(tǒng)計(jì)量的前提下樣本不再包含關(guān)于的有用信息，即可以從樣本在下的條件分布與參數(shù)無關(guān)對(duì)統(tǒng)計(jì)量的充分性下嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。

通過以上途徑引入充分統(tǒng)計(jì)量從邏輯上似乎順理成章，但是站在學(xué)生的角度，他們是不易理解的。一個(gè)很重要的原因是現(xiàn)行的教材都是將參數(shù)估計(jì)部分安排在了充分統(tǒng)計(jì)量章節(jié)的后面，學(xué)生們?cè)诮佑|充分統(tǒng)計(jì)量時(shí)還不知道如何借助于樣本對(duì)參數(shù)進(jìn)行推斷，特別是借助于樣本的分布列或密度函數(shù)進(jìn)行參數(shù)的最大似然估計(jì)，也就理解不了樣本是如何包含關(guān)于參數(shù)的所有信息，更不用說充分統(tǒng)計(jì)量如何包含參數(shù)的所有信息。 如何解決這種問題呢？可以通過一兩個(gè)小例子初步講解一下參數(shù)的最大似然估計(jì)以及如何從樣本或某個(gè)統(tǒng)計(jì)量出發(fā)進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)，使同學(xué)們能夠直觀地感受充分統(tǒng)計(jì)量的存在和功能。

例1（一個(gè)連續(xù)型的例子），設(shè)是來自總體的樣本，其中未知，已知。我們需要對(duì)未知的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

解：方法1，從原始樣本進(jìn)行估計(jì).根據(jù)Fisher的思想，的估計(jì)量應(yīng)使樣本的聯(lián)合密度函數(shù)最大。故寫出樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為

即

令，得到

故的估計(jì)量為。

方法2，從某統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)Fisher的思想，的估計(jì)量應(yīng)使統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)最大。因?yàn)椋蕦懗龅拿芏群瘮?shù)為

即

令，得到

故的估計(jì)量為

例2（一個(gè)離散型的例子），設(shè)是來自一個(gè)兩點(diǎn)分布總體的樣本，我們需要對(duì)未知的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

解：方法1，從原始樣本進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)Fisher的思想，的估計(jì)量應(yīng)使樣本的聯(lián)合分布列最大。故寫出樣本的聯(lián)合分布列為

即

令，得到

故θ的估計(jì)量為.

方法2，從某統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)Fisher的思想，的估計(jì)量應(yīng)使統(tǒng)計(jì)量的分布列最大。因?yàn)椋蕦懗銎浞植剂袨?/p>

即

令得到，

故的估計(jì)量為

通過以上的兩個(gè)例子，我們可以直觀地看出參數(shù)估計(jì)可以通過完整的原始樣本進(jìn)行，也可以只通過從樣本構(gòu)造的某個(gè)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行，這樣的統(tǒng)計(jì)量就是充分的統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)閷?duì)于參數(shù)估計(jì)而言，該統(tǒng)計(jì)量是樣本的充分的代表。

接下來我們就可以循序漸進(jìn)地引入充分統(tǒng)計(jì)量的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念。設(shè)樣本的概率函數(shù)為;離散情形指的是分布列，連續(xù)情形指的是密度函數(shù)。記某統(tǒng)計(jì)量T的概率函數(shù)為，則

若與無關(guān)，則由Fisher的思想，從樣本的概率函數(shù)去推斷參數(shù)的估計(jì)量與從統(tǒng)計(jì)量T的概率函數(shù)去推斷參數(shù)的估計(jì)量是一樣的。此時(shí)的統(tǒng)計(jì)量T就是我們?cè)诶缓屠劦降某浞纸y(tǒng)計(jì)量。故充分統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)定義可以直接由此給出：

定義1：設(shè)是來自某個(gè)總體的樣本，樣本的概率函數(shù)為。設(shè)統(tǒng)計(jì)量的概率函數(shù)為。 若與無關(guān)，則稱為的充分統(tǒng)計(jì)量。

定義1與大部分教材中直接給出的充分統(tǒng)計(jì)量的定義是不一樣的，因?yàn)榇蟛糠纸滩氖且罁?jù)樣本的條件分布給出了充分統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)定義。實(shí)際上，定義1與最終的數(shù)學(xué)定義已十分接近了。根據(jù)概率論的知識(shí)，我們知道樣本的條件概率函數(shù)與有如下的聯(lián)系：

故可以根據(jù)樣本的條件分布給出最終的充分統(tǒng)計(jì)量的最常用的數(shù)學(xué)定義，即有如下的定義2：

定義2： 設(shè)是來自某個(gè)總體的樣本，總體的分布函數(shù)為。統(tǒng)計(jì)量稱為的充分統(tǒng)計(jì)量，如果在給定的取值后，樣本的條件分布與無關(guān)。

在初步了解了充分統(tǒng)計(jì)量的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義后，學(xué)生對(duì)充分統(tǒng)計(jì)量的認(rèn)識(shí)，以及如何運(yùn)用其數(shù)學(xué)定義尋找充分統(tǒng)計(jì)量還不可能熟練掌握，此時(shí)可以舉兩個(gè)具體的例子加以闡述，以加深學(xué)生對(duì)概念和定義的掌握.此時(shí)舉的例子完全可以結(jié)合例一和例二給出， 學(xué)生可以更好的掌握。

例3.設(shè)是來自總體的樣本，證明：統(tǒng)計(jì)量是的充分統(tǒng)計(jì)量。

證明： 在， 即時(shí)， 有

因其與無關(guān)， 故是的充分統(tǒng)計(jì)量。

例4，設(shè)是來自總體0-1分布的樣本，證明：統(tǒng)計(jì)量是的充分統(tǒng)計(jì)量。

證明：在，即時(shí)，有

因其與無關(guān)， 故是的充分統(tǒng)計(jì)量。

綜上所述，我們探討了在充分統(tǒng)計(jì)量教學(xué)過程中如何借助于最大似然估計(jì)的思想以及借助于樣本概率函數(shù)的分解來促進(jìn)學(xué)生更好地掌握充分統(tǒng)計(jì)量，深刻理解充分統(tǒng)計(jì)量的由來與定義。在很好掌握充分統(tǒng)計(jì)量的定義后，再學(xué)習(xí)教材中的因子分解定理求解充分統(tǒng)計(jì)量就不難了。該文探討的思路在實(shí)際教學(xué)過程中取得了較好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2011.

[3] 茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

[4] 韋博成.參數(shù)統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5] 蘇良軍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2007.

[6] 鄭明，陳子毅，汪嘉岡.數(shù)理統(tǒng)計(jì)講義[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2006.

[7] 李賢平.概率論基礎(chǔ)[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.endprint