多個體系統的二分蜂擁一致性

摘 要：文章研究了無虛擬領導者的二分蜂擁一致性問題。提出的算法保證了二分蜂擁行為，同時取消了隱函數。通過把運動的集合分成兩族，只要在不同族里的個體以近似相同的速率往相反的方向運動，兩族就能各自實現一致性。

關鍵詞：多個體；二分蜂擁；一致性

引言

經常在生物蜂擁和人類集體行動中遇到個體有不同的運動目標，或者不同的運動方向，這些可能是由利益沖突、內部不同意見或外部干擾等等所引起[3，4]。Couzin[5]研究整體集合選擇的方向，當有些個體在優先權上不同，而且會發現當領導者意見相差不多時，跟隨者將會平均方向。隨著意見分歧的加大，所有的跟隨者會從原來的一個方向到兩個完全不同的方向。Conradt[6]調查在整體行為上的內部利益沖突的機制，特別是同步速率和分裂。整體分裂成兩個族，發生在整體的大的沖突上[1]。整體分裂會有許多有利的例子，如災難逃離[6]和自然界捕食者和被捕者的情景。但是在二分機制的深入研究也在進行，而且對于二分蜂擁設計一個分裂控制方法也是具有挑戰性的任務。這些促使我們分析性地調查研究在生物集體運動和社會整體行為的分裂現象背后的物理規則。

1 基本知識

令G（V，？著，A）代表一個符號圖，其中，V={1，…，n}為節點集合；？著？哿V×V為邊集合；A∈Rn×n是圖G的鄰接矩陣，其中aij=±1？圳（j，i）∈？著，否則aij=0。有自環的圖，文章不考慮。G（A）的路徑？籽是邊集合的連通 ，其中 所有節點k1，…，kp互相不同的。文章中Rm是一個m維的實矢量空間；Im是一個m×m的單位矩陣，而且1n=[1，…，1]T∈Rn。另外，符號||·||，？茚分別代表歐幾里德范數，克羅內克積。

2 問題描述

考慮下面的二階多個體系統：

（1）

假定位置和速率是的網絡拓撲結構，分別用 ，時變網絡有相同的半徑R，那么個體i的鄰居可以表示為Ni={j|||qi-qj||

定義1[1，2]如果多個體系統（1）作為一個整體最后分成兩族，以同樣的速率，其中一族中的個體往相同的方向運動；同時，另一族中的個體往相反方向運動，稱多個體系統（1）是一個二分蜂擁。也就是對于任意的i，j∈E，limt→∞pi（t）=±limt→∞Pj（t）。更進一步，在整個進程中，不存在任何沖突，即對于任意的i，j∈E有 。

3 一致性分析

設計一個控制協議：

（2）

在ui中，不僅給出了個體的位置關系，也考慮了個體的速度關系。同時取消了隱函數，不同于文獻[1]的情形。

定理1假設網絡Gp（A）是一個連通的無向圖，圖G1（t）和G2（t）都是連通的。在（2）作用下，如果GP（A）是平衡圖，網絡G1（t）和G2（t）是連通的， ，則多個體系統（1）實現二分蜂擁一致性。

證明：由于GP（A）是平衡圖，從引理1中得出存在一個正規變換D∈D，D=diag（[？滓1，？滓2，…，？滓n]），？滓i∈{±1}，那么DTAD是非負的。考慮變換z=（D？茚Im）p，p=[p■■，…，p■■]T，z=[z■■，…，z■■]T，系統（1）可以重新寫為 。

構造一個李雅普諾夫函數函數：

，得：

由于■（t）是半負定的，zi（t）是有界的，因此，從第二個方程看出，如果個體i和個體j在同一個族Gl，l∈{1，2}；||qij||∈（0，R）；個體間的沖突可以避免，G1（t）和G2（t）是連通的， ，而且■（t）也是有界的。由于 有 。多個體系統（1）在（2）的作用下，實現二分蜂擁一致性。

4 結束語

文章設計一個二分蜂擁控制協議，使得整體分裂為兩個向相反方向運動的族。用平衡圖譜理論，可以使系統實現蜂擁一致性。

參考文獻

[1]C.Altafini.Consensus problems on networks with antagonistic interactions[J].IEEE Trans Automatic，2012

[2]T.Zaslavsky.Signed.graphs.Discrete.Appl.Math[M]. 1982，4（1）：47-74

[3]F.Harary.A matrix criterion for structural balance[J].NavalRes.Logist.Quart， 1960，7：195-199

[4]L.Conradt，J.Krause，I.D.Couzin，and T.J.Roper.Leading according to need in self-organizing groups[J].The American Naturalist，2009，173（3）：304-312

[5]T.Vicsek and A.Zafeiris.Collective motion.Physics Reports[J]， 2012，51（3-4）：71-510

[6]I.D.Couzin，J.Krause，N.R.Franks，and Simon A.Levin.Effective leadership and decision-making in animal groups on the move.Nature[J]， 2005，43（3）：513-516.

作者簡介：季亞雷（1987-），男，江蘇淮安人，安徽理工大學碩士生，研究方向：多個體系統的一致性。