中國剩余定理（四）

劉瑋

皓天：“你跟我講講什么是同余式。”鵬飛和皓天開始討論同余式。

就好比4和7被3除余數都是1，4和7對3是同余的。如果兩個數，比如a和b被m除的余數相同，我們就說a和b對模m同余，記作：

a ≡ b（modm）

通常b

對于孫子定理，“物不知數”：用3除余2，用5除余3，用7除余2。把這個未知數用同余式可寫成：

N ≡ 2（mod3）

N ≡ 3（mod5）

N ≡ 2（mod7）

先設法將余數化為1，即得：

N1 ≡ 1（mod3）

N2≡ 1（mod5）

N3 ≡ 1（mod7）

由上式可知，需要找一個數用3除余1且又是5和7的公倍數：

5×7n1 ≡ 1（mod3）

即：

35n1 ≡ 1（mod3）

這里n1 = 2，則N1 = 70。其中的35這個數是計算過程中要照顧另兩個條件而衍生出來的數，叫衍數，之后衍數還要被乘以題中的余數2而放大成70。放大衍數的目的是為了找到除3余1的數，所以這個方法被秦九韶稱作“大衍求一術”。

秦九韶創造的“大衍求一術”，開創了系統的一般一次同余式組解法的先河。在中世紀，它不僅代表了中國數學的最高成就，即使在當時的世界領域中也是處于最先進的水平，比西方同類解法早500多年。

“物不知數”題流傳到國外，意大利數學家斐波那契在其《算盤書》中就引用了該題。到18世紀初，該題又輾轉到歐洲，“數學王子”高斯對一次同余式組進行研究，在其著作《算術研究》中給出了它的一般性解法，并將這種解法命名為“高斯定理”。而高斯解法符合“大衍求一術”，之后歐洲人便將“高斯定理”改為“中國剩余定理”。秦九韶的“大衍求一術”在數學史上有著不可動搖的領先地位，甚至在當代的電子計算機設計中也用到了。

“中國人也這么厲害啊！我為此感到無比自豪。”皓天由衷地佩服秦九韶，“說了半天，我早餓了，咱們先吃點東西吧。”

“這旁邊就有美食小吃，” 鵬飛向店家招了招手，“請把你們的特色小吃每樣都來一份！”

他倆一邊聊著“中國剩余定理”，一邊欣賞著周圍美景。清秀的村莊三面環山一面臨水，湖光山色，景色宜人。湖水清澈見底，湖中還有幾對鴨子在嬉戲……

“看！那邊來了位村姑，她端了那么大的一個重筐。”

村姑是來湖邊洗碗的，皓天走過去和她搭訕道：“怎么會要洗這么多碗？你家里來了很多客人嗎？”

村姑說：“是啊，兩個客人共用一碗飯，三個客人共用一碗湯，五個人共食一碗肉，不知道客人有多少。”

鵬飛：“那你告訴我你要洗多少碗。”

“嘿嘿！我也不清楚呢。” 村姑一邊洗碗一邊說，“剛才我兩個兩個地數不多不少正好點完，三個三個地數就多出兩個，五個五個地數也多出兩個。我家幾多客人幾多碗？”

“咳！總共不足100個碗還來考我們！”鵬飛來了興致，“用不定方程！”

皓天也喊道：“‘大衍求一術！”

他們各自快速動手算了起來。鵬飛設x個客人，用了y只碗，則有：

x/2 + x/3 + x/5 = y

化簡得：

31x = 30y

皓天將表中數據換上新數后往下算（請在下表里填上），然后向那村姑說道：“你家來了60個客人，用了62個碗，對嗎？”

村姑：“你真聰明！告訴我你是怎么算出來的？”

皓天學著程大位的樣子喃喃念道：“兩個吃貨一壺茶，三山給水十只鴨；五顏六色山海味，吃上一月再回家。”

“妙！妙！”村姑連連稱贊，“你答對了。”

鵬飛也樂不思蜀了：“好！吃上一月再回家！”