基于Gauss偽譜法的滑翔彈道快速優化

陳 琦，王中原，常思江

（南京理工大學 能源與動力工程學院，南京210094）

隨著戰爭理念的進步和發展，特別是現代非對稱作戰中“遠程壓制、精確打擊、高效毀傷”等概念的提出，傳統火炮射程不遠、精度不高等缺點逐漸暴露，已不能適應現代戰爭的需求。在這種背景下，滑翔增程制導炮彈以其反應速度快、效費比高、使用靈活并且可打擊靜止和運動目標等優勢逐漸受到各國的重視。滑翔増程彈由火炮發射后，尾翼張開保持穩定飛行，之后火箭發動機啟動并開始助推，發動機工作結束后，彈丸像普通尾翼彈一樣繼續在升弧段上飛行，到達彈道頂點附近，鴨舵展開，開始對彈丸實施控制，最終命中目標。文獻［1－4］闡述了滑翔増程彈的飛行原理；文獻［5］研究了制導炮彈最優滑翔彈道與控制問題，分別采用龐特里亞金極大值原理和共軛梯度法求解了控制變量有約束的最優滑翔彈道；文獻［6］對滑翔彈道分3段進行了分析，研究了滑翔増程炮彈的彈道模型，并對滑翔彈道進行了設計。文獻［7］以最大升阻比的方法對滑翔彈道進行了優化設計；文獻［8］分別采用了序列二次規劃法和最大升阻比法優化了俯仰舵偏角規律。以上文獻主要以射程最遠為性能指標優化方案彈道，這對于考察彈丸的滑翔能力、打擊距離均具有十分重要的意義。但是這種方法也往往使得優化出的彈道飛行時間過長，易被敵方防御系統發現和攔截；存速較低，削弱了末端攻擊的機動性。這在很大程度上限制了制導炮彈快速精確打擊、及時火力支援等能力的發揮。此外，上述研究均假設攻角能瞬時響應指令信號，導致設計出的方案彈道過于理想，給實際應用帶來了較大的難度。針對以上問題，本文以飛行時間為性能指標對滑翔彈道進行了優化設計，考慮了動力學滯后，將其簡化為一階慣性環節，引入了虛擬控制量，并將其作為優化變量，同時為了保證攻擊效果，對末端存速、落角進行一定的限制，在縱向平面內建立了彈道優化模型；引入了偽譜理論對模型進行離散，這在很大程度上降低了彈道優化耗時，縮短了滑翔彈的作戰反應時間，同時也為今后實現算法的實時性提供了理論依據。

1 彈道優化問題描述

1.1 滑翔増程彈運動方程

為研究問題的本質，本文只考慮炮彈在縱向平面內的運動，并將動力學滯后簡化為一階慣性環節，大氣為標準氣象條件。在這種情況下，滑翔増程制導炮彈的滑翔段運動方程可簡化為

Fx，Fy分別為阻力和升力，有：

式中：θ為彈道傾角，q為動壓，Sref為參考面積，k和k′分別為彈翼組合體和舵面的誘導阻力系數，Cx0BW和Cx0δ分別為彈翼組合體和舵面的零升阻力系數，和Cδz

y分別為彈翼組合體和舵面的升力系數導數，以上各參數的值由吹風實驗獲得。αB和δzB分別為平衡攻角和平衡舵偏角，Td為一階慣性環節的時間常數，uα為虛擬控制量，ε（uα）＝0為虛擬量uα的控制方程。方程中其它變量的意義參見文獻［9］。

1.2 彈道優化模型

為了實現快速打擊的要求，滑翔増程制導炮彈在彈道最高點處張開鴨舵，對彈體實施控制，經過滑翔飛行，在最短的時間內命中目標，同時，為了保證對目標的毀傷效果，還要對彈道末端速度和落角進行一定的限制。因此，滑翔彈道優化問題可以具體描述為：在［0，tf］時間內（tf為未知的彈道末端時刻），確定出控制量uα，使得由式（1）確定的動態系統從初始狀態轉移到終端狀態，在滿足規定約束的條件下，使得參數tf最小。由以上分析可知，彈道優化問題實際上是一個動態優化問題，其優化模型可表示如下：

①性能指標。為了實現快速打擊的要求，性能指標取為攻擊時間最短，即：

②初始狀態為無控段末端狀態，本文取為彈道最高點處狀態。

③終端約束條件。為了保證最終的攻擊效果，滑翔段終端狀態應滿足一定的約束，包括終端位置約束、速度約束和落角約束，即：

④攻角約束。考慮到彈體的控制性能，同時避免彈體失速，需要對攻角的幅值進行約束，即：

⑤系統狀態方程為式（1）描述的彈體縱向平面運動模型。

可見，滑翔彈道優化問題是一個起始狀態固定，終端狀態受約束，終端時刻自由的非線性動態優化問題。

2 Gauss偽譜法

作為一種求解最優控制問題的直接方法，Gauss偽譜法的主要思想是將連續的無限維最優控制問題轉換為非線性規劃問題進行求解，在一系列的Legendre－Gauss（LG）節點上將狀態變量和控制變量進行離散，并且利用這些離散點構造全局Lagrange插值多項式來近似系統的動力學方程。該方法具有收斂速度快、對初值不敏感且無需猜測協態變量等優點，2005年經Benson D在其博士論文中介紹并完善后［10］，便受到了廣泛的關注和應用。

2.1 系統動力學方程離散

考慮積分形式的系統動力學方程：

式中：X（t）∈Rn為狀態向量，U（t）∈Rm為控制向量，f：Rn×Rm×R→Rn為連續向量函數。采用Gauss偽譜法需要將時間區域［t0，tf］轉換到［－1，1］上，為此，引入變量τ對時間t進行變換［6］，即：

因此，系統動力學方程變為

由數值分析的知識可知，選取N個Lagrange插值基函數Lk（ζ）近似式（4）中的積分項，其代數精度可達2N－1次［11］，有：

這樣，結合式（4）和式（5），第i個節點處的狀態向量便可表示為

若記X0＝X（－1），Ui＝U（τi），Xi＝X（τi），1≤i≤N，根據式（6），便可將積分形式的系統動力學方程在N個LG節點上轉換為代數方程，即：

式中：Wi為第i個節點處的積分權重，Wi＝

2.2 邊界條件和性能指標離散

式（8）僅在區間的內點計算狀態量，并未包含終端時刻節點，終端狀態應滿足動力學方程約束，即：

將終端條件離散并利用Gauss積分來近似，可得：

由于本文所選取的性能指標為Mayer型指標，不包含積分項。因此無需進行特殊處理，即：

根據以上的數學變換，本文的問題可以描述為：在［t0，tf］時間內（tf為未知的彈道末端時刻），確定離散點上的狀態向量Xi（i＝1，2，…，N）、控制向量Ui（i＝1，2，…，N）和終端時刻tf，使得性能指標（11）最小，并滿足系統動力學方程約束（8）、終端狀態約束（10），以及原問題的邊界條件和過程約束：

從而將連續的無限維最優控制問題轉換為一般的非線性規劃問題，寫成標準形式為

3 數值仿真算例

以某滑翔增程制導炮彈為對象進行數值仿真。經火箭發動機助推后彈丸質量m＝37.27kg，炮彈達到彈道最高點時的高度為Hp0＝14 746.6m，速度為vp0＝299.3m／s，彈道傾角為θp0＝0；滑翔段舵偏角約束為｜αB（t）｜≤15°，滑翔末端高度取為yf＝0，彈道傾角取為｜θ（tf）｜≥θf＝89°，同時，為了保證攻擊效果，也要對末端存速進行限制，v（tf）≥vf＝200m／s，一階慣性環節的時間常數Td取為1.5s。取彈道最高點處x0＝0，對目標xT＝40km，50km，60km分別進行仿真計算，LG節點個數取為35，優化算法工具包為SNOPT，仿真結果如圖1～圖5所示。

從圖1可見，制導炮彈在經過彈道最高點后，近乎以直線滑翔，當快達到末端時，彈道開始俯沖，這是由于為了保證最后的攻擊效果，對末端條件進行約束所致。圖2描述了滑翔過程中速度的變化規律，可以發現，速度在中間階段變化非常緩慢，但當接近彈道末端時開始衰減，這是因為彈丸在末段以較大的負攻角進行俯沖，增大了飛行阻力，因此速度衰減較快。

圖1 不同射程情況下的彈道曲線

圖2 不同射程情況下的速度曲線

圖3 也很明顯地反映出彈道傾角在經過短暫的減小后，在較長的時間內近乎保持不變，驗證了彈丸近似直線飛行，當接近彈道末端時，彈道傾角先增加后急劇減小，說明彈丸開始俯沖，且最終落角均大于89°，滿足設計指標。

圖3 不同射程情況下的彈道傾角曲線

圖4 為不同射程條件下虛擬控制量uα和實際控制量αB的對比曲線，可以看出，因為考慮了動力學滯后，為了使攻角迅速增加，uα在初始時刻的值較大，之后慢慢減小，逐漸與αB重合。由于在構建優化模型時對末端彈道傾角進行了約束，｜θ（tf）｜≥θf，為了滿足這種約束，升力需在彈道末端變為負值，根據升力計算公式，此時攻角也應該為負值，且θf越大，攻角的絕對值也越大，從而攻角曲線在末端出現了圖4所示的陡峭現象。此外，由于動力學滯后的存在，uα在末端的下降過程中要超前于αB。

圖4 不同射程情況下的實際控制量和虛擬控制量曲線

圖5 展示了考慮動力學滯后的攻角改善效果。可以明顯地看出，考慮動力學滯后的攻角變化較為平緩，以xT＝60km為例，不考慮動力學滯后時，攻角在初始時刻從0瞬間增加到接近6°，這種突變往往會給今后控制系統的準確跟蹤帶來較大的困難。而在考慮動力學滯后時，這種現象便不再出現，優化得到的攻角曲線變化非常平緩。

圖5 考慮動力學滯后攻角改善效果

為了進一步驗證Gauss偽譜法的高效性，利用直接打靶法［14］在同樣的計算平臺上分別對xT＝40km，50km，60km的彈道進行了優化計算，離散控制量所需的節點設置為均勻分布，且個數取為35，積分步長取為0.5s，對于優化模型中的各種約束，采用罰函數法進行處理，優化結果對比見表1。從中可看出，直接打靶法優化出的彈道飛行時間大于Gauss偽譜法，這說明其尋優效果要低于Gauss偽譜法。此外，直接打靶法的優化結果并沒有完全滿足落角約束，可見，在終端位置、速度和落角等諸多約束的條件下，相比于Gauss偽譜法，直接打靶法的精度有所欠缺。最后，直接打靶法的優化耗時tcost要遠大于Gauss偽譜法，這是因為直接打靶法在每次迭代時都會利用控制量積分彈道，雖然選取了較大的積分步長（0.5s），但是大量的迭代還是產生了巨大的計算耗時，明顯地降低了算法的效率，而Gauss偽譜法無需在每次迭代中積分彈道，因此在計算效率上具有很大的優勢。圖6為兩種方法優化得到的攻角的對比圖，從中可看出二者基本吻合，但Gauss偽譜法的結果要更為光滑。從以上的分析可以看出，Gauss偽譜法不論在優化效率還是精度上均強于直接打靶法。

表1 直接打靶法和Gauss偽譜法優化結果對比

圖6 直接打靶法和Gauss偽譜法攻角對比曲線

4 結束語

本文基于Gauss偽譜法求解了遠程制導炮彈滑翔彈道快速優化問題。以快速精確打擊為指標對滑翔彈道進行了優化設計，考慮動力學滯后，引入虛擬控制量，并將其作為優化變量，在縱向平面內建立了彈道優化模型；利用Gauss偽譜法將優化模型在一系列LG節點上離散，將連續的無限維最優控制問題轉換為一般的非線性規劃問題。仿真結果表明，彈丸能以一定的速度和大著角攻擊目標，所有約束條件均能較好地滿足，引入虛擬控制量后，優化得到的攻角曲線更為平滑。與傳統的直接打靶法相比，Gauss偽譜法計算時間短，優化效率高，具有在線優化的潛力，促進了制導炮彈快速精確打擊、及時火力支援等能力的有效發揮，可為遠程制導炮彈的方案彈道優化設計提供一定的參考。

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