線性方程組解的逆向問題的一種解法分析

蘭 星

(廣東技術師范學院 天河學院，廣東 廣州510540)

對于數域F上的非齊次線性方程組

其矩陣形式為:

定理 對于數域F上的非齊次線性方程組AX= β，當r時，其通解可表示為:

其中η*是方程組AX=β 的特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r是對應的齊次線性方程組的基礎解系，?是增廣矩陣，r(A)表示矩陣A的秩。

我們現在關心的問題:給出一個線性方程組的通解X=c1ξ1+c2ξ2+…+cn-rξn-r+η*，若何來求出對應于通解X=c1ξ1+c2ξ2+…+cn-rξn-r+η*的一個線性方程組AX=β。為此我們通過逆向探求分析該問題，從而得出求解此問題的一種有效方法。

方法分析

上述問題中，通解的主要部分是齊次線性方程組AX=0 的基礎解系，因為ξ1，ξ2，…，ξn-r是齊次線性方程組AX=0 的基礎解系，則有Aξi=0(i=1，2，…，n-r)。即A(ξ1，ξ2，…，ξn-r)=0，對此式兩邊取轉置可得:

由方程(1)可以知道AT的m個列向量就是齊次線性方程組AX=0 的解向量。而且列向量組其實就是系數矩陣A的m個行向量α1，α2，…，αm，于是，只需要以已知的基礎解系為行向量作矩陣B，然后再求出BX=0 的基礎解系，并以該基礎解系為行向量作矩陣，這個矩陣就是所求的線性方程組的系數矩陣A，最后，再根據所告訴的特解便可求出非齊次線性方程組的常數項。

據上述方法分析，不僅給出了已知齊次線性方程組的基礎解系，求一個齊次線性方程組的方法，同樣給出在知道非齊次線性方程組的解結構時去求出一個非齊次線性方程組的方法。下面舉例說明。

例1:求出一個齊次線性方程組，使它的基礎解系由下列向量組成

例2:求一個以(1，2，-3，4)T+c(2，1，-4，3)T為全部解的非齊次線性方程組。

解:令B=(ξT)=(2 1 -4 3)，對矩陣B施行初等行變換有則有，故方程BX=0 的基礎解系為:

［1］ 白述偉. 高等代數選講［M］. 哈爾濱:黑龍江教育出版社，1996.

［2］ 王卿文. 高等代數學綜論［M］. 香港:香港天馬圖書有限公司，2000.

［3］ 劉學鵬. 教學方法的改革與優化［J］. 臨沂師范學院學報，2003(6).