例談高職數(shù)學(xué)知識在解決經(jīng)濟問題中的應(yīng)用

焦濰蘋

摘 要：高職數(shù)學(xué)知識在經(jīng)濟問題的解決中應(yīng)用已十分廣泛，培養(yǎng)學(xué)生掌握應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題是高職數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)，對高職經(jīng)管專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識運用到相關(guān)經(jīng)濟專業(yè)課學(xué)習(xí)中去的能力.現(xiàn)結(jié)合高職院校經(jīng)濟管理類的專業(yè)特點舉例討論高等數(shù)學(xué)知識在解決經(jīng)濟問題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：經(jīng)濟問題 極限 導(dǎo)數(shù) 積分

中圖分類號：O1-4 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（a）-0154-02

現(xiàn)代數(shù)學(xué)已不再是一門孤立的學(xué)科，它已越來越多地應(yīng)用到現(xiàn)實世界的科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟生活、文化藝術(shù)等各個領(lǐng)域，其中它在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用更是越來越廣泛。數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用可追溯到17世紀(jì)90年代，在1690年出版的英國古典政治經(jīng)濟學(xué)創(chuàng)始人—— 威廉·配第的經(jīng)濟學(xué)論文《政治算術(shù)》中首先應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決社會經(jīng)濟問題[1-2]，到19世紀(jì)變量和函數(shù)的概念被引入到經(jīng)濟學(xué)中，再到20世紀(jì)大批運用數(shù)學(xué)方法研究經(jīng)濟問題的論著問世，數(shù)學(xué)已與經(jīng)濟研究密切聯(lián)系在一起了[1]。而在當(dāng)今，運用數(shù)學(xué)方法來研究經(jīng)濟問題已是無處不在，數(shù)學(xué)已成為研究經(jīng)濟問題的一個重要工具，高職數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的能力。下面應(yīng)用微積分知識解決幾個具體的實際經(jīng)濟問題，探討應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決經(jīng)濟問題的方法。

1 極限在復(fù)利與連續(xù)復(fù)利問題中的應(yīng)用

極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性概念，極限思想是貫穿高等數(shù)學(xué)始終的，它在經(jīng)濟問題中最直接的應(yīng)用就是復(fù)利與連續(xù)復(fù)利問題。假設(shè)現(xiàn)有本金p元，存款n年，年利率為r，若每年到期后本金與利息作為本金自動轉(zhuǎn)存，則n年到期時的本利和。若把一年平均分為期計息，每期利率可認為，則n年到期時的本利和為 ，m=nt[2]。

假設(shè)計息期無限縮短，即令期權(quán)，由此可以得到連續(xù)復(fù)利的復(fù)利公式

[2]。

應(yīng)用上述公式可很容易解決復(fù)利與連續(xù)復(fù)利問題，下面以一個具體實例來探討。

例1：王先生用分期付款的方式購買一套價值為100萬的商品房，首付為30萬，從銀行貸款70萬，他想20年還完貸款，貸款的年利率為6%，計算王先生20年末還款的本利和。（1）按離散情況計算，每年計息一期；（2）按連續(xù)復(fù)利計算。

解：本例可以上述分析的公式來計算，本例中

（1）按離散情況計算，

（萬元）

（2）按連續(xù)復(fù)利計算，

（萬元）。

由本例可看出，應(yīng)用連續(xù)復(fù)利公式可以很容易解決實際生活中的利息計算問題，由本例也可得出，連續(xù)復(fù)利計息時的本利和要比離散計息的本利和高。

2 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟問題中最廣泛的應(yīng)用是邊際分析和彈性分析，下面舉例說明這兩方面的應(yīng)用。

2.1 邊際分析

在經(jīng)濟學(xué)中，經(jīng)濟函數(shù)的邊際函數(shù)定義為該函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)，這樣邊際成本是總成本函數(shù)C（x）的導(dǎo)函數(shù)，即MC=（x）[2]，因此際收入是收入函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)R（x），即MR=R（x），邊際利潤是利潤函數(shù)L（x）的導(dǎo)函數(shù)，即ML=L（x）。下面通過兩個例子來說明導(dǎo)數(shù)在邊際分析中的應(yīng)用。

例2、某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每天的總利潤L（x）與產(chǎn)量X（斤）之間的函數(shù)關(guān)系為L（）x，=-0.01x2+20x-1000，求x=500，1000，1500時的邊際利潤，并給以適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟解釋。

解：邊際利潤函數(shù)為ML=L（x）=20- 0.02x。

當(dāng)x=500斤時，L（500）=10（元）。它表示在每天產(chǎn)量為500斤的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1斤，總利潤將增加10元。

當(dāng)x=1000斤時，L（1000）=0（元）。它表示每天生產(chǎn)1000斤的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1斤，總利潤沒有變化，即這一斤沒有產(chǎn)生利潤。

當(dāng)x=1500斤時，L（1500）=-10（元）。它表示在每天生產(chǎn)1500斤的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1斤，利潤會減少10元。這時雖然產(chǎn)量增加了，但利潤反而減少了，這說明并非產(chǎn)量越大，利潤越高。

例3：若某廠每天生產(chǎn)的產(chǎn)品固定成本為1000元，生產(chǎn)x個單位產(chǎn)品的可變成本為0.01x2+10x，如果每單位產(chǎn)品的售價為30元，設(shè)每天生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售出，問每天生產(chǎn)多少單位時，才能獲得最大利潤。

解：設(shè)每天的產(chǎn)量為X單位，因為固定成本C0=1000，可變成本V（x）=0.01x2+10x，所以總成本函數(shù)C（x）=C0+V（x）=1000+0.01x2+10x；因為每天生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售出，所以總收益函數(shù)R（x）=30x。

因此總利潤函數(shù)L（x）=R（x）-C（x）=20x-0.01x2-1000；

則L′（x）=20-0.02x=0，得x=1000，又L″（x）=-0.01<0；

所以當(dāng)每天產(chǎn)量為1000單位時，利潤最大，最大利潤為9000元。

由本例看出，當(dāng)L′（x）=0時，R（x）=C′（x），即=MC=MR，此時利潤最大。這說明廠商為獲得最大利潤，應(yīng)將產(chǎn)量調(diào)整到邊際收益等于邊際成本的水平。這也是微觀經(jīng)濟學(xué)中的一個重要結(jié)論。

由以上兩例可以看出應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以方便地解決經(jīng)濟中的一些復(fù)雜問題，并且也能剖析經(jīng)濟學(xué)中的實質(zhì)。

2.2 彈性分析

在市場經(jīng)濟中，經(jīng)常要分析一個經(jīng)濟量對另一個經(jīng)濟量變化反應(yīng)的靈敏程度，這時單靠導(dǎo)數(shù)來進行分析是不行的，因而需要引入新的數(shù)學(xué)工具。在數(shù)學(xué)中，我們稱為函數(shù)的相對變化率或彈性，能反映函數(shù)f（x）對自變量x變化反應(yīng)的強烈程度或敏感度[2]。下面應(yīng)用彈性這個工具來分析商品的需求量對市場價格反應(yīng)的靈敏程度。一般稱某商品的市場需求量Q與該商品的價格p所構(gòu)成的函數(shù)Q（P）為需求函數(shù)，如果需求函數(shù)Q（p）可導(dǎo)，則該函數(shù)的彈性為，常稱為需求彈性，記為，即，需求彈性表示某商品的需求量Q對價格p變化的反應(yīng)程度：當(dāng)商品的價格上漲（或下跌）1%時，需求量將減少（或增加）[2]。下面以一個例子來說明導(dǎo)數(shù)在彈性分析中的應(yīng)用。

例4：設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=1000-50p（Q是需求量，p是價格），求p=5，10，15時的需求彈性，并給以適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟解釋。

解：需求彈性

。

（1）當(dāng)p=5時，，此時價格上漲（或下跌）1%，其需求量將減少（或增加） 0.33%，這時需求量的變化小于價格的變化，稱為是低彈性的情況。

（2）當(dāng)p=10時，，此時價格上漲（或下跌）1%，其需求量將減少（或增加）1%，這時需求量的變化與價格的變化相當(dāng)，稱為是單位彈性的情況。

（3）當(dāng)p=15時，，此時價格上漲（或下跌）1%，其需求量將減少（或增加）3%，這時需求量的變化大于價格的變化，稱為是高彈性的情況。

由此可看出，應(yīng)用需求函數(shù)的彈性來分析價格對需求量的影響是很方便的。

3 積分在投資問題中的應(yīng)用

積分在經(jīng)濟中的一個重要應(yīng)用是計算投資問題中收入現(xiàn)值與投資回收期。在投資問題中，假若現(xiàn)有資金a萬元，投入t年，按年利率r作連續(xù)復(fù)利計算，則t年后的本息共為aert萬元；反之，假若t年后的本息和為a萬元，則現(xiàn)應(yīng)有資金為ae-rt萬元，這稱之為資本現(xiàn)值[2]。

3.1 總收入現(xiàn)值的計算

設(shè)在時間段0到T年內(nèi)的收入率f（t）（單位時間內(nèi)的收入）是均勻的，即f（t）=A（A為常數(shù)），年利率r也是常數(shù)，按連續(xù)復(fù)利計算，則在[0，T]內(nèi)的資本現(xiàn)值為

[2]。

3.2 純收入（貼）現(xiàn)值的計算

投資T年后獲總收入現(xiàn)值為，所以投資獲得的純收入（貼）現(xiàn)值為

[2]。

3.3 投資回收期的計算

投資回收期是指用投資項目所得的凈收益償還原始投資所需要的年限，即總收入現(xiàn)值等投資，即有，解之得：[2]。

例4：若某企業(yè)投資為500萬元，年利率r=10%，預(yù)計在10年內(nèi)的均勻收入率為120萬元/年，試求：（1）該投資的純收入（貼）現(xiàn)值；（2）收回該筆投資的年限是多少。

解：（1）由2知該投資中a=500，A=120，r=10%=0.1，T=10，所以純收入（貼）現(xiàn)值為

（萬元）

（2）由3知投資回收期

（年）。

應(yīng)用積分得出的結(jié)論可以很容易解決投資中的收入現(xiàn)值及投資回收期的計算問題。

4 結(jié)論

由上述分析可得出，高職院校學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識在經(jīng)濟問題中的應(yīng)用是很廣泛的，數(shù)學(xué)知識為解決某些經(jīng)濟問題提供了新的方法，它可從數(shù)學(xué)的角度去分析解決經(jīng)濟問題，有時還能剖析某些問題的實質(zhì)。

在高職經(jīng)濟類專業(yè)的數(shù)學(xué)課教學(xué)中應(yīng)注重與專業(yè)課的銜接，讓學(xué)生體會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識及方法解決經(jīng)濟問題的方便之處，讓學(xué)生學(xué)以致用。

參考文獻

[1] 陳堅.淺談微積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用[J].科技風(fēng)，2009（7）：102-103.

[2] 李宏家.激流中的智慧—— 論威廉·配第[D].長春：東北師范大學(xué)，2006.

[3] 竇連江，林漪.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2011.