“多邊形面積整理和復(fù)習(xí)”教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析

教學(xué)內(nèi)容：人教版數(shù)學(xué)五年上冊(cè)。

教學(xué)目標(biāo)：

通過(guò)對(duì)多邊形面積這一單元的知識(shí)梳理，清晰平行四邊形、三角形、梯形及組合圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并能熟練地掌握它們的面積計(jì)算公式。

通過(guò)回憶、交流、操作、比較等整理復(fù)習(xí)，體會(huì)整理方法的多樣性及各種整理形式的特點(diǎn)，深刻體會(huì)并理解轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。培養(yǎng)學(xué)生與人交流的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)重點(diǎn)：

學(xué)生自主梳理并完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用。

教學(xué)難點(diǎn)：

理解并體會(huì)知識(shí)間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，并能合理地進(jìn)行分類整理。

教學(xué)準(zhǔn)備：課前預(yù)習(xí)單

教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，激趣引入

師：同學(xué)們，你們玩過(guò)七巧板嗎？（玩過(guò)）那你們知道七巧板里還藏著很多的數(shù)學(xué)知識(shí)呢！想不想自己動(dòng)手親自擺一擺呢？

出示： 溫馨提示

1. 擺一擺：從七巧板中任意選擇3個(gè)圖形，進(jìn)行拼擺，看看你能拼出什么圖形？看誰(shuí)擺出的圖形多？

2. 想一想：這些圖形之間有什么關(guān)系？

3. 議一議：在拼擺中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生動(dòng)手操作，師巡視。）

生展示自己的作品：

師：同學(xué)們動(dòng)手能力真強(qiáng)，拼出了我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形、梯形，還有一個(gè)組合圖形。

師：這些圖形都是我們這一單元主要研究的圖形，請(qǐng)你仔細(xì)觀察一下，想一想這些圖形之間有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)嗎？

生1：我發(fā)現(xiàn)，它們都是由3個(gè)圖形拼成的。

生2：我發(fā)現(xiàn)它們的形狀不一樣，其中還有一個(gè)是不規(guī)則的圖形。

師：是啊！大家觀察得很仔細(xì)，想一想它們的面積怎樣？

生：我認(rèn)為它們的面積是相等的！

師：為什么呢？能說(shuō)說(shuō)你的想法嗎？

生：雖然它們的形狀不同，但是它們都是用3個(gè)一樣的圖形拼成的，所以它們的面積是相等的。

師：說(shuō)的真好！它們的周長(zhǎng)相等嗎？

生：它們的周長(zhǎng)不相等。

師：大家同意他的意見(jiàn)嗎？（師生驗(yàn)證。）

師：你真善于發(fā)現(xiàn)。相同的三個(gè)圖形，由于位置發(fā)生了改變，拼出圖形的形狀是不一樣的，它們的周長(zhǎng)是不同的，但是它們的面積卻是相等的，這就是圖形間的轉(zhuǎn)化。這節(jié)課我們就重點(diǎn)運(yùn)用這種轉(zhuǎn)化的思想，一起走進(jìn)“多邊形面積”這一單元，進(jìn)行“整理和復(fù)習(xí)”。（板書(shū)課題。）

【評(píng)析：教師從有趣的智力學(xué)具七巧板入手，導(dǎo)入復(fù)習(xí)課，使學(xué)生積極投入到學(xué)習(xí)中來(lái)，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生在拼擺中回顧所學(xué)過(guò)的知識(shí)，在等積變形中發(fā)現(xiàn)了變與不變，滲透了轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想。】

二、知識(shí)梳理，形成網(wǎng)絡(luò)

師：課前，同學(xué)們進(jìn)行了本單元的知識(shí)梳理，結(jié)合你的“整理學(xué)習(xí)單”來(lái)匯報(bào)一下，這一單元都學(xué)習(xí)哪些知識(shí)呢？

整理學(xué)習(xí)單

梳理本單元的知識(shí)要點(diǎn)，找到它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。

本單元的圖形面積計(jì)算公式分別是什么？你能說(shuō)出它們面積的公式推導(dǎo)過(guò)程嗎？

用自己的喜歡的方式進(jìn)行知識(shí)歸類梳理。并與小組中的同學(xué)進(jìn)行交流，說(shuō)一說(shuō)自己的想法。

生：我們學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積，還有組合圖形的面積。

師：能結(jié)合教材的編排順序進(jìn)行梳理，這是很好的整理方法。這些圖形之間有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系呢？它們的面積計(jì)算公式又是如何推導(dǎo)來(lái)的呢？把你的想法跟小組的同學(xué)說(shuō)說(shuō)，在交流之前，我們來(lái)看看溫馨提示：

溫馨提示

（1）與小組同學(xué)互相說(shuō)說(shuō)你的整理方法，并共同完善梳理內(nèi)容。

（2）每組要在交流后選一位代表進(jìn)行匯報(bào)。

（小組交流，完善自己的整理。）

師：哪個(gè)小組愿意來(lái)匯報(bào)一下你們的想法。

生1：我們組是這樣梳理的，我們按照教材的學(xué)習(xí)順序進(jìn)行整理的，先整理的是平行四邊形的面積，平行四邊形的面積=底×高，然后是三角形的面積=底×高÷2，接著是梯形的面積=（上底+下底）×高÷2，然后是組合圖形的面積，我們要把組合圖形利用輔助線將它們分割成我們學(xué)過(guò)的規(guī)則圖形，再來(lái)計(jì)算，還有面積的估算。

師：這組同學(xué)能夠結(jié)合數(shù)學(xué)書(shū)上的內(nèi)容，將本單元的圖形的面積進(jìn)行整理和歸納，比較全面。我們看他們的整理匯報(bào)單是這樣呈現(xiàn)的。（出示第一組的整理報(bào)告單。）

生2：我們組是這樣整理的，也是根據(jù)數(shù)學(xué)書(shū)的順序進(jìn)行整理的。（出示第二組的整理報(bào)告單。）

生3：我們組是這樣整理的，我們發(fā)現(xiàn)前面的平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積都是單一的圖形，而把它們合在一起，就是組合圖形了。（出示第三組的整理報(bào)告單。）

師：我們看，你們更喜歡哪組的知識(shí)梳理？還有哪組同學(xué)也是這樣梳理的？（反饋。）

第一組：知識(shí)點(diǎn)摘錄式

多邊形的面積

平行四邊形的面積：S=ah

三角形的面積：S=ah÷2

梯形的面積：S=（a+b）h÷2

組合圖形的面積：估算

第二組：圖文并茂式

多邊形的面積

S=ah

S=ah÷2

S=（a+b）h÷2

組合圖形的面積：估算

第三組：網(wǎng)絡(luò)式

S=ab S=ah S=ah÷2 S=（a+b）h÷2

組合圖形的面積

【評(píng)析：這部分內(nèi)容的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的新課程教育理念。學(xué)生在自主梳理知識(shí)時(shí)的思考，更多的是按照教材教學(xué)內(nèi)容的先后順序來(lái)梳理的，這樣梳理符合學(xué)生思維的有序性，是初步整理知識(shí)的基礎(chǔ)。】

三、討論交流，形成知識(shí)脈絡(luò)圖

師：我們看第三組的知識(shí)梳理（網(wǎng)絡(luò)式），他們的這種梳理，很明顯地是將本單元的知識(shí)分成了兩類，你知道是按什么分類的嗎？

生：我想是按圖形的個(gè)數(shù)來(lái)分類的，單一的基本圖形和組合圖形。

師：大家同意嗎？真善于觀察，我們先來(lái)看基本的圖形，我們一起再來(lái)回顧，本單元我們認(rèn)識(shí)的平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積，它們的面積公式又是如何推導(dǎo)來(lái)的呢？這幾個(gè)圖形之間又有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系呢？把你們的想法用自己喜歡的方式記錄下來(lái)，并把你的想法先在小組內(nèi)交流一下！

（小組交流、討論，并形成自己組的知識(shí)脈絡(luò)圖。）

師：哪個(gè)小組愿意來(lái)匯報(bào)一下？

生1：我們先學(xué)習(xí)的是平行四邊形的面積，我們是通過(guò)轉(zhuǎn)化的方法，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，然后發(fā)現(xiàn)：平行四邊形的底相當(dāng)于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，平行四邊形的高相當(dāng)于長(zhǎng)方形的寬，從而推導(dǎo)出平行四邊形的面積是：S=ah。（配課件演示。）

師：你是如何將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的呢？

生：我是先做出平行四邊形的高，沿高剪下，將得到的三角形向右平移，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的。

師：（追問(wèn)）為什么你要沿高剪下呢？

生：因?yàn)橹挥醒馗呒粝拢拍艿玫街苯牵拍苻D(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。

師：看來(lái)這部分知識(shí)你掌握得很好，謝謝你。

生2：我們組發(fā)現(xiàn)兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，所以三角形的面積就是平行四邊形面積的一半： S=ah÷2。 （配課件演示。）

生3：我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)完全一樣的梯形也能拼成一個(gè)平行四邊形，所以梯形的面積是：S=（a+b）h÷2 。（配課件演示。）

師：我們通過(guò)剛才的匯報(bào)，看到無(wú)論是三角形還是梯形，都可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形，這讓我們看到平行四邊形是我們學(xué)習(xí)三角形和梯形的知識(shí)基礎(chǔ)。

師：大家說(shuō)得真好，正方形、平行四邊形和三角形以及梯形，它們之間有什么關(guān)系呢？我們?cè)撛鯓訑[放它們的位置？（師生討論，進(jìn)行知識(shí)的系統(tǒng)梳理。）

生：我發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積是根據(jù)長(zhǎng)方形的面積推導(dǎo)來(lái)的，而三角形的面積和梯形的面積都是由平行四邊形的面積推導(dǎo)來(lái)的，所以我認(rèn)為應(yīng)該是由長(zhǎng)方形的面積推出平行四邊形的面積，而平行四邊形的面積又是三角形和梯形面積公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)。

師： 同學(xué)們，我們?cè)賮?lái)看這四個(gè)圖形，它們之間還存在哪些深層的聯(lián)系呢？請(qǐng)同學(xué)們?cè)俅谓柚种械摹捌咔砂濉眮?lái)拼一拼，擺一擺，看看還有什么新發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生拼擺。）

生1：我們組發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成平行四邊形和長(zhǎng)方形。

生2：我補(bǔ)充，我們學(xué)過(guò)平行四邊形是特殊的長(zhǎng)方形。

師：（追問(wèn)）當(dāng)平行四邊形怎樣變化的時(shí)候才能成為長(zhǎng)方形呢？

生：就是當(dāng)左右兩條平行邊與底邊成直角的時(shí)候，就是長(zhǎng)方形了。

師：你的意思是說(shuō)當(dāng)平行四邊形的四個(gè)角都是直角的時(shí)候，這兩組平行邊互相垂直的時(shí)候，平行四邊形就轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方形。

師：其實(shí)兩個(gè)三角形還可以拼成一個(gè)更大的三角形呢！

師：那梯形和三角形之間又有什么關(guān)系呢？

生：梯形可以分成兩個(gè)三角形。

師：說(shuō)得對(duì)，添加輔助線后，梯形就可以分割成兩個(gè)三角形。

師（追問(wèn)）：如果不添加輔助線，想一想：梯形在什么情況下可以變成三角形呢？（此時(shí)，課件出現(xiàn)梯形的上、下兩條邊的變化，啟發(fā)學(xué)生思考。）

生：如果梯形的上底不斷地變短，最后上底的長(zhǎng)度為0的時(shí)候，梯形就變成了三角形。

師：（用幾何畫(huà)板演示。）是這樣嗎？

師：真了不起！我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)平行四邊形通過(guò)改變角度轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，梯形通過(guò)改變上底的長(zhǎng)度，轉(zhuǎn)化成三角形，那梯形怎樣變化能轉(zhuǎn)化成平行四邊形呢？（幾何畫(huà)板演示。）

生：我發(fā)現(xiàn)我們可以改變梯形的下底的長(zhǎng)度，讓下底的長(zhǎng)度與上底一樣長(zhǎng)的時(shí)候，就轉(zhuǎn)化成了平行四邊形。因?yàn)槠叫兴倪呅伪仨毷莾山M對(duì)邊平行且相等。

師：你真了不起，能抓住平行四邊形的特點(diǎn)來(lái)思考。我們驗(yàn)證一下（幾何畫(huà)板驗(yàn)證。）

師：通過(guò)剛才的分析，我們發(fā)現(xiàn)這四個(gè)圖形之間，還存在著能相互轉(zhuǎn)化的內(nèi)在聯(lián)系，而這轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想在其中起著重要的作用。此時(shí)，它們之間的關(guān)系還可以怎樣表示？

（學(xué)生到黑板進(jìn)行重新的梳理，找到它們之間的內(nèi)在聯(lián)系）。

師：看來(lái)知識(shí)之間是有內(nèi)在聯(lián)系的，通過(guò)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想可以幫助我們更加深入地理解知識(shí)、掌握知識(shí)。

師：（補(bǔ)充）大家看，其實(shí)還有這樣的方法也可以進(jìn)行圖形間的轉(zhuǎn)化，不僅讓我們看到圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)，我們可以根據(jù)這個(gè)聯(lián)系，記住它們的面積計(jì)算公式。（師課件演示并講解。）

下面僅以三角形為例，我們來(lái)看看圖形間的內(nèi)在聯(lián)系。

師：通過(guò)剛才的演示，我們可以看到三角形既可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形，又可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，而這其中轉(zhuǎn)化的方法還不止一種，可見(jiàn)，圖形間存在著密切的聯(lián)系，這些內(nèi)在的聯(lián)系可以幫助我們更好地理解知識(shí)，將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通。

【評(píng)析：這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，在充分尊重了學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位，在與學(xué)生交流中，通過(guò)說(shuō)一說(shuō)、擺一擺、想一想、議一議等多種數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生看到圖形之間除了可以用我們學(xué)過(guò)的割補(bǔ)法進(jìn)行圖形間的轉(zhuǎn)化，改變邊的長(zhǎng)度，角的度數(shù)，同樣可以進(jìn)行圖形間的轉(zhuǎn)換，從而深層地挖掘知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。同時(shí)滲透了極限的數(shù)學(xué)思想方法。】

四、綜合運(yùn)用 拓展延伸

師：我們?nèi)绾蝸?lái)求組合圖形的面積呢？請(qǐng)看這個(gè)圖形，你能想出幾種方法？

（生在課堂練習(xí)單上進(jìn)行嘗試計(jì)算，想出了4種不同的算法。）

重點(diǎn)匯報(bào)方法一，師追問(wèn)：你是如何分的？

生：我是從頂點(diǎn)開(kāi)始，向?qū)呑隽艘粭l垂線，將組合圖形分成了兩個(gè)梯形。

師：為什么要做高呢？

生：因?yàn)樽龈咧螅拍鼙ＷC梯形的上下底邊平行。

師：看來(lái)只有沿高分，才能出現(xiàn)直角，才能與上底平行，從而實(shí)現(xiàn)分成兩個(gè)梯形的目的。看來(lái)輔助線的添加方法是需要我們仔細(xì)思考的。如果是沿高分開(kāi)的要注意添加直角符號(hào)。

師：我們看這四種方法，前三種方法都采用了“分割”的方法，將組合圖形利用輔助線，切割成了我們熟悉的圖形，而第四種方法用了“拼補(bǔ)”的方法，將組合圖形利用輔助線補(bǔ)成了一個(gè)長(zhǎng)方形，這就是我們求組合圖形常用到的“割補(bǔ)”的方法。

師：此外，我們還在組合圖形中學(xué)習(xí)了對(duì)面積的估算，這需要我們具有很豐富的生活經(jīng)驗(yàn)。還可以借助格子圖來(lái)先數(shù)一數(shù)，再來(lái)估一估。

【評(píng)析：這一環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)，借助組合圖形的多種解法，不僅訓(xùn)練了學(xué)生的發(fā)散思維，同時(shí)，也使學(xué)生強(qiáng)化了求組合圖形的面積經(jīng)常可以用到“割補(bǔ)”的方法，不僅發(fā)展了學(xué)生的空間觀念，同時(shí)也滲透了基本數(shù)學(xué)思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。】

五、鞏固練習(xí)

1.這是我們少先隊(duì)的隊(duì)旗，它的長(zhǎng)邊是30厘米，寬邊是20厘米，請(qǐng)你先估一估，再算一算，看誰(shuí)想出的方法多？

方法預(yù)設(shè)：

2.綠色（陰影）部分是需要綠化的區(qū)域，你知道它的面積嗎？

3.小小設(shè)計(jì)師

這是大家喜歡的“七巧板”，請(qǐng)你先拼出自己喜歡的圖案，再想辦法算一算拼出的圖案的面積。

作品展：

生：我拼出的圖案是小魚(yú)，它的面積就是七巧板的總面積，我量出它的邊長(zhǎng)是40厘米，它的面積就是40×40=1600（平方厘米）。

師：這是我們同學(xué)拼成的圖案，這個(gè)圖案的面積是多少？大家知道嗎？

生1：我們可以通過(guò)量一量每個(gè)圖形的底和高，再計(jì)算出它們的面積，最后相加就能求出圖案面積了。

生：我想應(yīng)該是1 600平方厘米的一半，是800平方厘米。

師：說(shuō)說(shuō)你的想法。

生：因?yàn)檫@個(gè)圖案用的是5個(gè)圖形，正好是整個(gè)七巧板面積的一半。

師：你真是個(gè)善于思考，更善于觀察的孩子。

師：你真聰明呀！巧妙地運(yùn)用了我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，就解決了這個(gè)問(wèn)題。通過(guò)這節(jié)復(fù)習(xí)課相信大家對(duì)本單元的知識(shí)有了更加深入的理解。

【評(píng)析：這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，比較開(kāi)放，給學(xué)生留有很大的思維空間，學(xué)生可以根據(jù)自己的想象拼成不同的圖形。在面積的計(jì)算上，體現(xiàn)了算法多樣化，合乎新課標(biāo)要求，照顧了知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)，拓展了學(xué)生的思維空間，培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。】

編輯/魏繼軍