高等數學教學中的數學模型思想滲透與學生應用能力培養

摘 要： 高等數學是大學數學學習中的一門重要的基礎課程，也是理工類等非數學專業學生的必修科目。日常的高等數學教學無太多的實踐應用，更側重于書本知識的傳授與講解。本文從數學模型的角度，闡述了高等數學相關知識點的數學模型的思想滲透與教學實例，為高等數學的學習及教學搭建了一個應用型、實踐型平臺，探討了新時期培養學生創新與實踐相關能力的一個有效途徑。

關鍵詞： 高等數學 概念教學 思想滲透 應用能力培養

《高等數學》是各大院校非數學專業學生的數學類主干課程。一直以來，在高等數學的教與學中，存在若干誤區。一方面，教師在講臺上不遺余力，全身心地投入。另一方面，眾多學生拋出了數學無用論的語調，認為學習數學根本就沒有什么用途與前途，對日后的工作、就業、生活無太多的幫助與作用，認為大學數學、高等數學不需要花太多心思與精力去學習，因為其離自己很遠，更有學生形成了學習高等數學無用論的錯誤觀念。

數學建模在近幾十年的應用越來越廣泛，是數學知識在各個領域運用的最典型的體現。在抽象、嚴密的數學理論知識與實際應用的一些問題之間架起了橋梁，起到了紐帶的作用。數學建模的運用反映了數學的各科知識，又解決了實際問題。越來越多的教師在各個基礎學科的教學中開始滲透與運用建模的思想和方法。著名的院士李大潛說過，要將數學建模、數學模型的一些理論、方法、觀念、思維和大學數學的一些課程相結合，相融合、相滲透。安排具體的實踐課程，構建具體的實踐案例應用于實際教學過程。這對于學生提高課堂的參與性、互動性、主動性，對于學生在快樂、愉悅、實際的環境中體會數學的美、數學的樂趣、數學的應用價值，對于學生通過數學與生活的實際結合領會數學知識、學習高等數學相關內容，由此培養學生解決實際應用問題的能力有非常大的促進與推動作用。下面將分類別從幾個方面說明數學建模思想在高等數學各個知識點領域的滲透與運用。

1.在高等數學的概念教學中滲透數學建模思想

高等數學的概念教學是大學數學教學中的難點與重點，大學數學學習不同于中學階段的數學學習，中學數學教學側重于理解，需要大量的練習輔助。而大學數學教學很多知識點的學習，更側重的是對于概念的理解與運用，掌握與延伸。譬如，高等數學中的一個模塊線性代數的學習，線性代數的線性相關性、線性無關等概念，更側重的是定義的掌握與性質的理解。而這些，在傳統的教學課堂上，學生是不太容易理解和掌握的，甚至學生有的時候不知道你在說什么，講什么，為什么。因此，具有實際背景的實踐與實際應用實例會讓學生更有興趣，對于所學的知識有求知欲，特別是如果能在學習環節穿插或引用這些模型的思想，那就更是恰到好處，事半功倍。

舉個實例：在學習介值性定理的時候，對于連續函數，如果在一個連續的區間端點處的函數值異號，則在其區間內部一定存在一個點，這個點的函數值等于零。數學分析或者高等數學以至考研入學試題中經常會出現運用介值定理（或稱根的存在性定理）命題。可是很多同學在學習的時候會問：介值性定理到底有什么用，除了能用來解題外，在實際生活中有應用嗎？在經典的數學建模教學中，有一個模型：椅子能在不平的地面上放穩嗎？這個模型運用的是基本的函數思想，將椅子能在不平的地面上放穩的問題轉化為一個與實際應用密切相關的數學問題，最后運用函數的介值性定理解決問題。這就是一個非常好的在日常的概念與知識體系教學中融入數學建模思想的例子。當然，并不是所有的概念都一定要附和一個相關聯的數學模型，這不是我們的目的與教學的正確方法，應該有選擇性地穿插、引用經典的，或者在授課過程中，根據課堂的氣氛、學生反映、學生對知識掌握的程度適當、適時、適度地滲透數學模型的教學，達到有機、合理、互進式的整合。

2.在應用型知識與問題教學中滲透數學建模思想

在高等數學學習中，很多科目的學習本身就與實踐有著緊密聯系，譬如常微分方程、概率等的學習，我們在學習過程中本身就會接觸很多實際問題。只不過這些問題或作業或練習的目的是為了教材上知識點的邏輯推理與運用的掌握。在相關教學環節，教師應該全面而充分地了解與把握教材中相關問題的應用背景，讓學生了解并知曉這些問題的實用價值。對于一些本身就涉及與關聯實際生活或相關應用領域的例題和習題，通過引導、通過對這些問題的實際探討，使學生深刻體會到這其中所用的數學知識、方法和思想，同時結合各學科學生所學專業的實際問題，如物理、化學、生物、經濟等學科的實際背景，滲透數學建模思想。例如在講解高等數學的變化率的時候，可以結合實際生活中的經濟現象，在經濟管理專業的課程中，引入蛛網模型及相應的敏感度分析，讓學生與自己的學科相聯系，加深對問題的理解，進一步拓寬知識面。又如，對工科學生講變力做功時，就要用到定積分知識的數學建模，對于管理專業的學生，在安排生產、車輛調度時要應用到線性規劃模型。這樣結合學生所學專業的實際問題滲透數學建模思想，使數學知識直接應用于學生今后的專業學習中，有效地調動學生學習的積極性，極大地提高學生應用數學知識解決實際問題的能力。

3.在教學與課后作業環節適度運用數學軟件

多媒體的教學手段在現代教學中起到了不可或缺的推動作用。課堂上的多媒體教學對教師的教與學生的學起到明顯的促進與提升作用。學生學習環境的改善與學習相關資源的豐富、教學的硬件的提高為我們在日常的課堂教學中或課堂之后的學生的個人學習生活中進行數學建模思想的滲透與潛移默化的應用提供了現實的可能。在國外，很多學生并不會算復雜無比的算式，但他們會嫻熟地運用電腦軟件輔助課后學習，在學習與軟件使用的過程中發現相關的規律并更好、更深刻地理解了所學知識。如，在講解一些導數、方程、函數、我們可以借助軟件描繪相關的圖形、動態演示相關的變化過程，通過這樣一些建模與模型的主動滲透的意識主動性地借助于便捷、形象、生動的客觀軟件載體深化學習，更好地提高對實際問題的轉化與解決能力。

綜上，高等數學教學是大學學習數學教學中的最基礎最重要的一環，學好這門基礎課程對于掌握相關數學基礎知識及后續課程的學習有著非常重要的作用。教學的一個重要任務是培養學生運用數學解決實際問題的能力。數學建模在建立和處理相關數學問題的過程，實際上就是將相關的數學理論知識應用于實踐解題過程。任課老師應該在平時的日常教學組織管理中有意識地體現相關的數學模型、數學建模的思想，在教學過程中著力培養學生相關的數學模型意識，提高學生的興趣，強化求知意識，潛移默化地培養學生應用數學知識的能力、實踐及創造的能力。這對于培養新一代應用型大學生有很重大的現實意義。

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現主持國家自然科學基金數學天元基金（項目號：11226285）。