拉格朗日乘數法在求解多元最值問題中的應用

孫軍波 蔡小雄

摘 ?要：本文從一道二元最值問題入手，深入思考研究一般性的解法，引進高等數學的拉格朗日乘數法，并通過一些典型例題簡要介紹拉格朗日乘數法的運用，為學生解決問題提供一個新的思路.

關鍵詞：拉格朗日乘數法;多元最值;初等應用

多元函數的最值問題是活躍在高考、高校自主招生以及各類數學競賽中的一項重要內容. 由于該內容大都涉及函數、不等式、線性規劃、解析幾何等綜合知識，問題情境新穎，蘊涵背景深刻，求解方法靈活，因此，考生面對該類問題往往不知所措，解題思路狹窄. 本文通過一些典型例題簡要介紹拉格朗日乘數法在求解該類問題中的巧妙運用.

小題引路

例1（2012浙江重點中學協作體高三3月調研）若3x2-xy+3y2=20，則8x2+23y2的最大值是________.

分析：注意到160-8x2-23y2=8（3x2-xy+3y2）-8x2-23y2=（4x-y）2≥0，

所以8x2+23y2最大值為160.

評析：本解法計算簡單，但構思巧妙，不易入手. 因此，有必要考慮研究其一般情形，問題的實質是多元的條件極值問題，可以考慮選用拉格朗日乘數法使思路程序化.

問題拓展

一般所討論的極值問題，其極值點的搜索范圍是目標函數的定義域，但是還有很多極值問題，如例1中的變量x，y不僅要符合它們自身的要求（x∈R，y∈R），而且還需滿足條件“3x2-xy+3y2=20”，這類附有約束條件的極值問題其實就是條件極值問題.

條件極值問題的一般形式是在條件組φk（x1，x2，…，xn）=0，k=1，2，…，m（m

在高中階段遇到這類極值問題時，我們常常借助換元、消元，使用判別式、不等式等方法來求解，主要解決三元以內的問題. 然而，根據條件組（1）有些問題還不能靠上述方法解決. 而且，有些問題構思巧妙，解題技巧要求高. 下面我們從高等數學中引入一種求解條件極值問題的方法——拉格朗日乘數法來嘗試解決這類問題.

方法介紹

拉格朗日乘數法是高等數學中求多元函數條件極值的重要方法，方法程序性強，較易掌握. 但由于涉及求多元函數的偏微分，需將該法加以改進，方便學生掌握. 將這種方法初等化，首先需要理解為什么要構造拉格朗日函數，以f，φ皆為二元函數這一簡單情形入手來說明一下，其實就是將條件極值問題轉化為無條件極值問題，構造的拉格朗日函數L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），其中φ（x，y）=0，不難發現求f（x，y）的極值點，其實也就是求L（x，y）的極值點，兩者的極值是等價的，且與λ無關，至于為什么增加一個λ，其實就相當于用待定系數法來確定這個拉格朗日函數，求偏導數的目的是為了求出函數的可能極值點.

運用此法，例1的具體求解如下：

構造L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）=8x2+23y2+λ（3x2-xy+3y2-20），

由Lx（x，y，λ）=fx（x，y）+λφx（x，y）=0，Ly（x，y，λ）=fy（x，y）+λφy（x，y）=0，L（x，y，λ）=φ（x，y）=0？圯-λ==，φ（x，y）=0，即可解得極值點.

由f（x，y）=8x2+23y2，φ（x，y）=3x2-xy+3y2-20，

解得x=-y或x=y，代入φ（x，y）=0可得

所以f（x，y）=或160，根據函數性質，可知8x2+23y2的最大值是160.

小試牛刀

例2 （1993年全國聯賽試題）實數x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，設S=x2+y2，則的值為________.

分析：首先令f（x，y）=x2+y2，φ（x，y）=4x2-5xy+4y2-5，

解得x=-y或x=y，代入φ（x，y）=0可得：

例3 （2014年北約自主招生試題）設x，y均為負數，且滿足x+y=-1，則xy+具有（ ?）

分析：令f（x，y）=xy+，φ（x，y）=x+y+1，

據函數性質有xy+的最小值為，因此，選D.

逐步推廣

在解決了二元的一些極值問題后，將拉格朗日乘數法應用于帶有二元以上的最值問題也是可行的，下面我們試舉幾例：

例4 （2011年浙江省自選模塊3）設正數x，y，z滿足2x+2y+z=1，求3xy+yz+zx的最大值.

分析：令f（x，y，z）=3xy+yz+zx，φ（x，y，z）=2x+2y+z-1，

代入φ（x，y，z）=0，可得x=y=z=，因此，f（x，y，z）=，

根據函數的性質，可知3xy+yz+zx的最大值是.

例5 ?（2005年中國西部奧林匹克第二天試題）設正實數a，b，c滿足a+b+c=1，證明：10（a3+b3+c3）-9（a5+b5+c5）≥1.

分析：令f（a，b，c）=10（a3+b3+c3）-9（a5+b5+c5），φ（a，b，c）=a+b+c-1，

因為a，b，c∈（0，1），所以可得a=b=c，代入φ（a，b，c）=0，可得a=b=c=，

根據函數性質，知10（a3+b3+c3）-9（a5+b5+c5）的最小值是1，從而得證.

例6 ?（第三屆北方數學奧林匹克邀請賽）設△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a+b+c=3，求f（a，b，c）=a2+b2+c2+abc的最小值.

分析：令f（a，b，c）=a2+b2+c2+abc，φ（a，b，c）=a+b+c-3，

所以解得a=b=c，代入φ（a，b，c）=0，可得a=b=c=1，

根據函數特點，可得f（a，b，c）=a2+b2+c2+abc的最小值為.

華羅庚說：“新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要”，利用拉格朗日乘數法求解多元函數最值的確有其優越性，這對提高學生解題能力，拓寬學生的數學視野，深化其數學品質都將產生積極的影響.