尷尬的循環論證

摘 ?要：在解答2014年高考北京卷理科第18題時，容易想到用分離常數法，這樣就需要求一個“型”問題的極限. 若用導數的定義求這個極限，就很容易犯循環論證的錯誤. 而循環論證是解題中應當杜絕的，防止循環論證的方法就是要清楚相應的知識體系.

關鍵詞：循環論證;高考題;函數;導數;不等式;恒成立

2014年高考北京卷理科第18題？搖已知函數f（x）=xcosx-sinx，x∈0， ?，

（1）求證：f（x）≤0;

（2）若a<

官方給出的參考答案（略有改動）？搖（1）由導數公式

（sinx）′=cosx①，（cosx）′=-sinx②，

可求得f ′（x）=-xsinx≤00≤x≤ ?，所以函數f（x）是減函數. 由此，得f（x）≤f（0）=00≤x≤ ?.

（2）設g（x）=sinx-ax0

題設中的a< ?對x∈0， ?恒成立，即g（x）>00

易知a≤0時成立：g（x）≥sinx>00

g′（x）=cosx-a0

當a≥1時，g′（x）<00

當000

所以a的取值范圍為-∞， ?，得a的最大值是 ?.

設h（x）=sinx-bx0

題設中的

易知b≤0時不成立：h（x）≥sinx>00

h′（x）=cosx-b0

當b≥1時成立：h′（x）<00

當0g（0）=0，這與題設矛盾！

所以b的取值范圍[1，+∞），得b的最小值是1.

（筆者認為此題的背景是約當不等式：若0

筆者對第（2）問解答的注記

1）以上對第（2）問的解答沒用到第（1）問的結論，這似乎不合常理.可這樣求解第（2）問：

設g（x）= ?0

a的最大值是g ?= ?，b的最小值是 ? ?.

下面求 ? ?（此解法源于權威的高校教材第86頁例2）.

如圖1， ?是以點O為圓心、半徑為1的圓弧. 過點A作 ?的切線與射線OB交于點C，作BD⊥OA于D.

圖1

設∠DOB=x（rad）0

2S△AOB<2S扇形AOB<2S△AOC，

sinx

cosx< ?<1，

1= ?cosx≤ ? ?≤1，

=1，

所以a的最大值是 ?，b的最小值是1.

可以用導數的定義求以上極限嗎？

= ? ?=（sinx）′ ?=cosx ?=cos0=1③，

所以 ? ?=1.

實際上，這是不對的！因為犯了循環論證的錯誤！

在③中運用了導數公式①，而證明此公式需要用到極限 ? ?=1④.

這可見高校教材第147頁的例4：（sinx）′= ? ?= ? ?= ?cosx+ ?· ? ?=cosx.

但普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修2-2·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）（下簡稱《選修2-2》）第14頁只給出了導數公式①，而沒有證明，考生用導數的定義求極限的方法犯了循環論證的錯誤. 何況考生可能還會這樣認為：解答第（1）問時可以用導數公式①，為什么解答第（2）問時就不能用導數公式①呢？

實際上這很正常：因為前者沒有犯循環論證的錯誤，而后者犯了這種錯誤.

《選修2-2》第32頁B組第1題第（1）小題：利用函數的單調性，證明不等式sinx

與《選修2-2》配套使用的《教師教學用書》（人民教育出版社，2007年第2版）第28頁給出了這道題的解答，但該解答中運用了導數公式①，而證明此公式需要先用圖1的面積法證明sinx

所以此證法也是循環論證！

普通高中課程標準實驗教科書《數學4·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）（下簡稱《必修4》）第108頁第4題是：

求證：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）.

文獻（甘志國，對人教版教科書《數學·A版必修④》的幾點建議）指出了與《必修4》配套使用的《教師教學用書》第97頁給出的該題的證法二也是循環論證.

專著（甘志國著，三角與平面向量）還指出了一些權威文獻及高考試題中出現的循環論證的例子.

要想避免循環論證不容易！只有弄清了各定理、公式、定義之間的關系，才能有效地避免犯循環論證的錯誤.

親愛的老師，你的學生知道何謂循環論證嗎？應向他們適當介紹一點，以免他們犯了這樣的錯誤卻不知道.