風云再起，數(shù)學歸納法重現(xiàn)江湖

周漢軍

摘 ?要：數(shù)學歸納法是中學數(shù)學邏輯推理中不可缺少部分，是高考數(shù)學的熱點，但近年其證明方法發(fā)生了三大變化，本文以高考題與自主招生試題為例，對此進行說明.

關(guān)鍵詞：高考;數(shù)學歸納法;變化

高考完畢，縱觀各類試題，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學歸納法在試卷中占有很大的比例，為什么擱置數(shù)年之后的數(shù)學歸納法重現(xiàn)江湖呢？數(shù)學歸納法有固定的模式，用途廣泛，方法單一，沒有太多的技巧，學生不用花許多時間去構(gòu)造數(shù)學模型就能解決問題. 但是回歸后的數(shù)學歸納法已經(jīng)不是過去那種單純給定結(jié)論來證明的數(shù)學歸納法了，它要經(jīng)過一系列的變化，再猜想結(jié)論、證明結(jié)論. 證明方法主要有三大變化特點：

由“n=k”到“nk”三部分，三部分的性質(zhì)有時互相融合

例1 ?（2014年廣東卷理）設(shè)數(shù)列{an}的前n和為Sn，滿足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15.

（1）？搖求a1，a2，a3的值;

（2）求數(shù)列{an}的通項公式.

解：（1）a1=s1=2a2-3×12-4×1=2a2-7

①，

a1+a2=s2=4a3-3×22-4×2=4a3-20②，

a1+a2+a3=s3=15③，？搖？搖？搖

聯(lián)立①②③可解a1=3，a2=5，a3=7.

（2）由（1）可以猜想：an=2n+1（n∈N+），

數(shù)學歸納法證明：（Ⅰ）當n=1，a1=2×1+1=3，結(jié)論成立;

（Ⅱ）假設(shè)當n

sn= ?= ?=n（n+2）④，由題意可知

an+1= ? ⑤，即有當n=k+1時，由④⑤可知

ak+1= ?= ?=2k+3=2（k+1）+1，結(jié)論成立.

由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，猜想an=2n+1，（n∈N+）結(jié)論成立.

評注：在此例的歸納推理過程中，改頭換面的是由“n=k”到“n

由“n=k+1”到“n=k”的變化特點：表面上“n=k+1”收縮到“n=k”，歸納的起點前移了，實際上“n=k”擴充到“n=k+1”，歸納的起點后移了，滿足n=k+1歸納推理過程

例2？搖 （2014年“北約”試題）已知xi>0（i=1，2，3…，n）且x1x2…xn=1，求證：

（ ?+xi）≥（ ?+1）n.

證明：由題意可知，至少存在一對xi，xj，滿足0

（數(shù)學歸納法）（1）當n=1時，驗證結(jié)論顯然成立.

（2）假設(shè)當n=k時，結(jié)論也成立，即有 ?（ ?+xi）≥（ ?+1）k成立，從而當n=k+1時，

x1x2…（xkxk+1）=1， ?（ ?+xi）·（ ?+xkxk+1）≥（ ?+1）k（假設(shè)中的結(jié)論）

（ ?+xi）=（ ?+xk）（ ?+xk+1） ?（ ?+xi）=（2+ ?xi+ ?xk+1+xkxk+1） ?（ ?+xi）=（2+ ?xk+ ?·xk+1+ ?+xkxk+1- ?） ?（ ?+xi）=（ ?+xkxk+1） ?（ ?+xi）+ ?·（ ?+xk+xk+1-1） ?（ ?+xi）≥（ ?+1）k+ ?（ ?+xk） ?（ ?+xi）≥（ ?+1）k+ ?（ ?+1）k=（ ?+1）k+1，

即n=k+1時，結(jié)論也成立;

綜合（1）（2）知，對于任意n∈N*，原結(jié)論正確.

評注：在此例的歸納推理過程中，稍加分析，歸納奠基就出來了——同上題一樣改頭換面是：當n=k+1時的xk·xk+1相當于當n=k時的xk，xk+xk+1-1→xk，“終點”擴張了，這里巧用假設(shè)是證題關(guān)鍵.

同樣，推優(yōu)保送卷的命題者也對數(shù)學歸納法情有獨鐘，若知道數(shù)學歸納法的步驟，那么數(shù)學歸納法也保證你不會得很難堪的分數(shù)，這就是命題者喜歡數(shù)學歸納法的原因吧！

例3 （2006年復旦大學推優(yōu)保送題）對于任意n∈N，x1，x2，…，xn均為非負實數(shù)，且滿足x1+x2+…+xn≤ ?，試用數(shù)學歸納法證明：（1-x1）（1-x2）…（1-xn）≥ ?成立.

證明：由已知條件得，x1，x2，…，xn∈0， ?.

（1）當n=1時，x1≤ ?，則-x1≥- ?，則1-x1≥ ?，即此時結(jié)論成立.

（2）假設(shè)當n=k ? ?（k∈N*）時，結(jié)論正確，即當x1+x2+…+xk≤ ?，必有（1-x1）（1-x2）…（1-xk）≥ ?. 那么當n=k+1時，由于x1+x2+…+xk+xk+1≤ ?，即x1+x2+…+xk-1+（xk+xk+1）≤ ?，則（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）·（1-xk-xk+1）≥ ?（假設(shè)），

則？搖（1-x1）（1-x2）…（1-xk）（1-xk+1）=（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）（1-xk-xk+1+xkxk+1）≥（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）（1-xk-xk+1+0）≥ ?，？搖

即結(jié)論當n=k+1時也正確. ？搖

綜合（1）（2）知，對于任意n∈N*，原結(jié)論正確. ？搖？搖

評注：在此例的歸納推理過程中，數(shù)學歸納法的基本步驟沒變，改頭換面的是：當n=k+1時的xk+xk+1相當于當n=k時的xk，“終點”擴張了.

原題不能夠用常規(guī)方法或原題給的條件不全面，先猜測，再用數(shù)學歸納法加強條件，運用“特殊到一般”、“由點到面”的邏輯關(guān)系

例4 ?（2014年重慶卷理）設(shè)a1=1，an+1= ?+b（n∈N*）

（1）若b=1，求a2，a3及數(shù)列{an}的通項公式.

（2）若b=-1，問：是否存在實數(shù)c使得a2n

解：（1）a ?= ?+1（n∈N*）略.

（2）由題意可知：a1=1，an+1= ?-1，an<1;利用特征根法n→∞，an+1=an=λ，λ為常數(shù)，解得λ= ?. （也可以先算出a2，a3，a4…，再歸納猜想）

由此用數(shù)學歸納法證明命題：a2n

（Ⅰ）當n=1時，a2=0，a3= ?-1，即a2<

（Ⅱ）當n=k時，結(jié)論也成立，即a2k

由于an+1= ?-1（n∈N*）在（-∞，1]上為減函數(shù)，c= ?-1>a2k+2= ?-1>0=a2.

即1>c>a2k+2>a2，同理由函數(shù)的單調(diào)性，c= ?-1

評注：本題數(shù)學歸納法沒有“前置”或“后移”，嚴格按照數(shù)學歸納法的兩個步驟. 特征根法，易于說明本題數(shù)列收斂性，但歸納的結(jié)論需要利用函數(shù)性質(zhì)來加強條件.

數(shù)學歸納法是一種完全歸納法，有固定模式，條理清晰，步驟嚴密，過去數(shù)學試卷中運用數(shù)學歸納法，歸納奠基與歸納推理都死搬硬套，學生容易掌握. 近年來數(shù)學歸納法中“起點前移”、“起點后移”、“終點擴張”等等，是數(shù)學邏輯的外延，也是考查學生對數(shù)學邏輯的理解，選擇數(shù)學歸納法，遵循其邏輯關(guān)系中的步驟，對初學者是一種不錯的證明方法.