平面向量數(shù)量積的求法

徐祝慶

利用解三角形方法求解

例1 如圖1所示，在△ABC中，AD⊥AB，=，=1，求·的值.

解析： 向量的模已知，向量的模以及它與向量的夾角∠DAC未知，但是cos∠DAC可以通過解三角形知識求得.

由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式知： cos∠DAC=sin+∠DAC，因為AD⊥AB，所以∠BAD=，那么cos∠DAC=sin（∠BAD+∠DAC）=sin∠BAC.

在三角形ABC中，由正弦定理可得：=，則ACsin∠BAC=ACcos∠DAC=BCsinB.

因為=1，=，所以·=cos∠DAC=sin∠BAC=sinB=sinB==，即·的值是.

【點撥】 在向量數(shù)量積的運算中，若各相關(guān)向量模長及其夾角的余弦值可以通過三角形有關(guān)知識求得，可考慮運用解三角形的方法求解.

化歸為基向量求解

例2 如圖2所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點，DC=2BD，求·的值.

解析： 向量，的模長與夾角均未知，而向量，的模長及其夾角均已知，故可視，為基向量，通過向量的加、減法，將·“化歸”為基向量，之間的數(shù)量積，進行求解.

因為DC=2BD，所以=，·=（+）·=+·. 又=-，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，所以+·=+（-）·（-）=（+2）·（-）=（1-8+·）=（-7+2cos120°）=-，即·的值是-.

【點撥】 在所求的向量數(shù)量積中，向量的模長與夾角未知，但與此有關(guān)的向量的模長與夾角已知，此時可考慮利用“化歸”思想，把已知模長與夾角的向量作為基向量，將所求向量“化歸”為基向量再來求解.

利用向量的射影性質(zhì)求解

例3 ?如圖3-1所示，在圓O中，若弦AB=3，弦AC=5，求·的值.

解析： 例3中向量，的模長及夾角均未知，而，的模長已知，但夾角∠CAB又未知，難以以此作為基向量，考慮到圓的特性，選擇用向量數(shù)量積的射影性質(zhì)進行運算，是一個極好的途徑.

延長AO交圓O于點D，如圖3-2所示，則AD是圓O的直徑，故AC⊥CD，AB⊥BD. ·=·（-）=（·-·）.

由向量射影性質(zhì)可知： cos∠CAD=，又AC=5，所以·=cos∠CAD=2=25.同理可得：·=2=9.所以·=（25-9）=8，即·的值是8.

【提示】 =（+）是例3中BC經(jīng)過圓心時的特殊情況，若例3為選擇題或者填空題，可假設(shè)BC經(jīng)過圓心，能更快捷地得出答案，節(jié)約……