函數(shù)性質(zhì)與基本函數(shù)

王健

知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)

●單調(diào)性的判斷方法

①定義法：在定義域內(nèi)先后進(jìn)行取值、作差、變形、判正負(fù).注意作差時(shí)須將差值f（x1）-f（x2）分解因式到可以判斷正負(fù)為止.

②導(dǎo)數(shù)法：對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性 （必修不作要求）.

③圖象法、復(fù)合函數(shù)法.其中復(fù)合函數(shù)法判斷單調(diào)性遵循“同增異減”的原則.

●奇偶性的判斷步驟

①先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);

②其次化簡(jiǎn)判斷函數(shù)值是否恒為零（既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)）;

③最后依據(jù)“同偶奇反”的原則，由定義判斷出函數(shù)f（x）與f（-x）的關(guān)系.

含有指數(shù)的函數(shù)的判斷過(guò)程需注意將f（x）與f（-x）用相同的形式來(lái)表示，如f（x）中含有ax，那么也要將f（-x）中的a-x化為來(lái)表示. 含有對(duì)數(shù)的函數(shù)可以通過(guò)觀察對(duì)數(shù)的真數(shù)部分相等還是互為倒數(shù)最終判斷出f（x）與f（-x）的關(guān)系，如lnx與ln互為相反數(shù).

●求周期的方法

①定義法：對(duì)定義域內(nèi)任意的x，存在非零常數(shù)T，使得f（x+T）=f（x）恒成立，則T即為函數(shù)y=f（x）的一個(gè)周期.如f（x+a）=-的周期T=2a.

②公式法：y=asin（ωx+φ），y=acos（ωx+φ）的最小正周期T=;y=tan（ωx+φ）的最小正周期T=.三角函數(shù)周期一般用公式法求.

③歸納法或圖象法：通過(guò)已知條件進(jìn)行歸納或直接觀察圖象得出周期.

【提醒】

（1） 注意函數(shù)單調(diào)性的隱性描述與應(yīng)用：

①符號(hào)乘積描述：任意a，b∈D，a≠b，（a-b）[f（a）-f（b）]的正負(fù)恒定.

②幾何描述：任意一點(diǎn)處的切線斜率的正負(fù)恒定（必修不作要求）.

③導(dǎo)數(shù)描述：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正負(fù)恒定（必修不作要求）.

常見(jiàn)的與單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題：比較函數(shù)值大小、解不等式、求函數(shù)值域、求參數(shù)的范圍等.注意所求單調(diào)區(qū)間不可超出定義……