如何讓初中生更好地理解有理數與無理數

【摘 要】《數與代數》中的實數的概念在小學與初中的數學知識中起著承上啟下的作用，是學生步入中學數學進行抽象化學習的重要一步。因此，通過本文，希望能幫助一些初中學生更好地理解有理數與無理數的區別。

【關鍵詞】有理數 分數 循環小數 無理數

【中圖分類號】O121 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）09-0130-01

在《數與代數》一章中，學生首先接觸到“實數”這一概念，在學習這一小節中，經常遇到“下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？”這樣的題目，對中學生來說顯得有些吃力，但這一類的小題目又不會在升學考試中碰到，因此不夠引起學生和老師的重視，本人希望通過下面幾個問題讓初中學生更好地理解有理數與無理數的區別。

一 有理數與循環小數

首先，有理數的定義是：（正整數、零、負整數統稱為整數，正分數和負分數統稱為分數），整數和分數統稱為有理數（整數不再贅述）。

在《高等數學》中，是這樣規定有理數的：

全體有理數的集合記做Q，即Q={ |p∈Z，q∈N+且p

與q互質}。

從這一定義可以看出：首先分數線上下的兩個數p、q都

為整數，并且p與q互質即沒有公約數，例如 、 當q=1，

q為任意整數時， 即為任意整數。可見，在中學數學規定

有理數即整數和分數就更條理化了。

有時還會碰到這樣的問題： 要等于 無限循環小數，因

此大家又規定無限循環小數也屬于有理數，如 ，在計算器上，

可將1除以17，從而得到0.05882352941176470588235294117 647……即以“0588235294117647”為循環節的無限循環小數。

等號兩邊是否相等，取決于左邊要等于右邊，同時，右邊也

要等于左邊。在 中，通過計算器首先將2除以3得到了 ，

即左邊等于右邊。如何證明 是否等于 呢？請看下面例題：

例題：將無限循環小數 化為分數。

解析： =0.12+0.0012+0.000012……，易判斷此數列表示一個無窮等比數列的各項和，而此數列首相a1=0.12，公比

q=0.01，則 =0.12+0.0012+0.000012+……= 。

使用數列求和公式方法是將無限循環小數化為分數的常

用方法，同樣的 也可以通過例題中的方法得到 。有人將

其總結成為一個數學小技巧：設 是個分數， 的循環節為6，把6設為這個分數的分子；在分母上給出與循環節的

位數相同的9的個數即分母為一個9，就是 。所以可將 化

為 這個分數，約分可得 。

這樣，就可以證明出右邊等于左邊了。所以無限循環小數一定可以寫成分數，則無限循環小數是有理數。顯然，所有的分數都可以寫成無限循環小數，而那些能化為無限循環小數的分數都是有理數。

所有分數都是有理數，有限小數或無限循環小數可以互化分數。因此，所有有限小數或無限循環小數都是有理數。有理數包括循環小數。

二 無理數與無限不循環小數

無限不循環小數不能通過上面的方法得到分數。項武義教授說：“無理數本該叫作‘非比數’，即無理數無法用分數表達。”單從字面上理解，學生們總會覺得無理數應該就是“無理的”。由于學生以往所學的概念中絕大部分是肯定概念，這就使得一部分學生學習無理數定義時很不習慣，認為無理數應該沒有什么存在的價值。圓周率就是無限不循環小數3.1415926……，它可以由一個希臘字母π表示。π在幾何學、物理學中應用十分廣泛。那么無理數就不是“無理的”。在中學數學中，無限不循環小數叫無理數。

在學習中，經常要通過把根式化為小數來查看大小，在中學，通過查表只可以得到它的近似值。可通過以下的證明 是無理數。

假設 是有理數，根據高等數學中有理數的定義，可

將 設為 ，p和q互質，然后將兩邊平方可得到2q2=p2。

由此式可知：p2里面有質數2，因而p中也應含有質因數2，所以可設p=2k（k是自然數），即有（2k）2=2q2化簡可得，2k2=q2那么q中也含有質數2的因數，那么p和q就不是互質的，這與題設是矛盾的，因此假設不成立。故有 在實數范圍內不是有理數，而是無理數。由此可以得出，只有當 根號下面的自然數n不是平方數，那么 就必為無理數。

三 結束語

在實數范圍內，相對于有理數來說，無理數不能用分數表示。無理數的這一屬性就是它的特有屬性。而對于有理數的循環小數來說，無理數的不循環性也是其特有的屬性。

需要注意的是，在數理化計算題中經常會要求把結果通過四舍五入化為與準確值有差異的近似數或者估計一個無理數的值。這樣容易誤導學生，錯誤認為分數可以化為無限不循環小數。數學教師應該多向學生強調，將某分數化為小數時，要求約值的意義并非等同于把分數化為小數。

參考文獻

[1]王昆揚.談中學數學課程中“實數”[J].數學通報，2006（12）

[2]舒興城.談談中學生理解無理數概念的困難[J].中等數學，1983（4）

[3]江紅光.從證明“2～（1/2）”是無理數所想到的[J].中學數學，1983（4）

〔責任編輯：高照〕