高中數學數列問題常見錯解簡析

數列問題是高中數學的重要內容，是學習高中數學的重點、難點，也是歷屆高考必考的內容。數列問題中常見的錯解有以下幾類：

一 忽略了項數n的限定條件致錯

例題：已知數列{an}的前n項和sn=2n2-3n+1，求an的通項公式。

錯解：當n=1時，a1=s1=0；

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（2n2-3n+1）-[2（n-1）2-3（n-1）+1]=4n-5。

∴an=4 n-5。

錯解分析：由an=Sn-Sn-1求得an是n從2開始的自然數，必須驗證n=1時是否也成立，否則通項公式只能用

來表示。

正解：當n=1時，a1=s1=0。

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（2n2-3n+1）-[2（n-1）2-3（n-1）+1]=4n-5。

由于n=1時a1不適合上式，因此 。

二 對等差數列前n項和公式理解不透徹致錯

例題：已知兩個等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為

An和Bn，且 ，則使得 為整數的正整數n的個

數是（ ）。

A.3 B.4 C.5 D.6

錯解：由題意設An=（7n+45）k，Bn=（n+3）k，則

，得不到選項亂選一個或放棄。

錯解分析：錯解錯在對等差數列前n項和公式沒有理解透徹。錯解中令An=（7n+45）k，即將等差數列前n項和看成n的一次函數，顯然是錯誤的。

正解：方法一：由題意設An=（7n+45）nk，Bn=（n+3）nk。

則an=An-An-1=14nk+38k，bn=Bn-Bn-1=2nk+2k。

要使 為整數，則正整數n=1，2，

3，5，11，故選C。

方法二：

。

故n=1，2，3，5，11，故選C。

三 在應用等比數列求和公式時忽略q=1致錯

例題：在等比數列{an}中，前n項和為Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差數列，則am，am+2，am+1成等差數列。（1）寫出這個命題的逆命題。（2）判斷逆命題是否為真。

錯解：（1）逆命題：在等比數列中，前n項和為Sn，若am，am+2，am+1成等差數列，則Sm，Sm+2，Sm+1成等差數列。

（2）逆命題為真。證明如下：設{an}首項為a1，公比為q，由（1）得2am+2=am+am+1。

∴2a1q m+1=a1q m-1+a1q m

∵a1≠0，q≠0。∴2q2-q-1=0，∴q= 或q=1（舍）。

又

∴Sm+Sm+1=2Sm+2，∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差數列。

∴逆命題為真。

錯解分析：錯解錯誤在于求出 或q=1后，為了

保證能使用公式 ，而舍掉q=1。

正解：（1）逆命題：在等比數列{an}中，前n項和為Sn，若am，am+2，am+1成等差數列，則Sm，Sm+2，Sm+1成等差數列。

（2）設{an}的首項為a1，公比為q。

由（1）得2am+2=am+am+1，∴2a1q m+1=a1q m-1+a1q m。

∵a1≠0，q≠0。∴2q2-q-1=0，∴q= 或q=1。

當q=1時，∵Sm=ma1，Sm+2=（m+2）a1，Sm+1=（m+1）a1。

∴Sm+Sm+1≠2Sm+2。∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差數列。

當 時， 。

∴Sm+Sm+1=2Sm+2。∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差數列。

綜上得：當公比q=1時，逆命題為假，當公比q≠1時，逆命題為真。

四 忽視了通項an是關于項數n的分段函數致錯

例題：已知數列{an}滿足 ，試求其前n

項和。

錯解：Sn=a1+a2+a3+…+an=（a1+a3+a5+…+

an-1）+（a2+a4+a6+…+an）

。

錯解分析：這里數列的通項an是關于n的分段函數，當n為奇數或為偶數時對應不同的法則，因此求和必須對項數n進行分段討論。

正解：（1）當n為奇數時，Sn=（a1+a3+a5+…+an）+

（a2+a4+a6+…+an-1）

。

（2）當n為偶數時，Sn=（a1+a3+a5+…+an-1）+

（a2+a4+a6+…+an）

。

五 忽略n的取值范圍致錯

例題：已知數列{an}是遞增數列，且對任意的正整數n，an=n2+λn恒成立，求實數λ的取值范圍。

錯解：因an=n2+λn=（n+ ）2- ，由題意，{an}

是遞增數列，所以an=n2+λn在[1，+∞）上單調遞增，因

此可得 ≤1，λ≥-2，即所求λ的取值范圍。

錯解分析：錯解原因是忽略了n的取值范圍，在本題中，n∈N*，錯解中擴大到了n∈[1，+∞），需要注意的是，數列是特殊的函數，可以用動態的函數的觀點研究數列，但必須時刻注意其特殊性，即定義域為n∈N*。

正解：由于{an}是遞增數列，因此有an0，對任意n∈N*恒成立，將an=n2+λn，an+1=（n+1）2+λ（n+1）代入化簡可得，λ>-（2n+1）。

又因為-（2n+1）max=-3，因此λ>-3，即為所求實數λ的取值范圍。

六 對極限運算法則掌握理解不到位致錯

例題：求極限 。

錯解：原式 。

錯解分析：本題錯解在于對極限運算法則掌握理解不到位，運算法則成立的條件是：（1）必須對有限項的和，差，積，商求極限；（2）每個數列的極限都存在。在本題中，當

n→∞時， 是無限項的積。

正解：原式

。

〔責任編輯：高照〕