對(duì)互斥與獨(dú)立概念有關(guān)問題的幾點(diǎn)注記

摘要：關(guān)于互斥與獨(dú)立事件經(jīng)常有一些模糊的概念和提法。本文分別對(duì)兩個(gè)概念在判斷中的問題，在應(yīng)用情況表述中的問題，推廣中的問題及在多次試驗(yàn)中的聯(lián)系等問題提出自己的觀點(diǎn)。并對(duì)教學(xué)提出建議。

關(guān)鍵詞：互斥與獨(dú)立事件； 彼此獨(dú)立

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-864X（2014）09-0101-02

關(guān)于互斥與獨(dú)立事件的相關(guān)文章有許多，其中有些概念或提法有些模糊。希望在本文中做些分析。

一、概念判斷問題

互斥概念清晰明確，這里不再贅述。一般只要判斷兩事件的關(guān)系即可。

對(duì)于獨(dú)立事件的概念的定義有如下幾種提法：（1）指事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。又可表述為：在同一試驗(yàn)下的兩個(gè)事件，如果一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。（見中學(xué)數(shù)學(xué)教材（人教版）。在下文中稱此定義為定義1。（2）當(dāng)時(shí)，，稱事件B獨(dú)立于事件A。此時(shí)當(dāng)時(shí)，可推，稱事件A獨(dú)立于事件B。即當(dāng)事件A與B滿足，時(shí)，若，稱事件A與B相互獨(dú)立。在下文中稱此定義為定義2。（3）事件A與B相互獨(dú)立的一個(gè)充要條件是。在下文中稱此定義為定義3。說明：對(duì)于概率大于零的事件，定義2、3等價(jià)。且需要通過計(jì)算來判斷事件的獨(dú)立性。定義2不能用于概率為零的事件。

問題1：如何判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立？

（1）當(dāng)利用已知或經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛴枚x1判斷事件的獨(dú)立性時(shí)，可由實(shí)際意義或題目說明。此法應(yīng)用廣范。毋庸置疑，否則易陷入循環(huán)論證的矛盾中。

例如：某射手進(jìn)行設(shè)計(jì)練習(xí)，設(shè)其擊中目標(biāo)的概率為p，考慮2次射擊，求連中兩槍的概率。

解：由實(shí)際意義，我們一般把各次擊中看作相互獨(dú)立事件，故解為。

（2）當(dāng)不能利用已知或經(jīng)驗(yàn)用定義1判斷時(shí)，不能輕易判斷兩個(gè)事件獨(dú)立與否。用定義2或3判斷事件的獨(dú)立性時(shí)，會(huì)出現(xiàn)很多我們事先無法直覺判斷的情況。舉例如下：

ⅰ、同一類事件可能獨(dú)立，也可能不獨(dú)立。

例如：袋中有4張相同的卡片，分別標(biāo)有1、2、3、4，從中任取一張。設(shè)事件A=“取到1或2”，B=“取到1或3”，C=“取到1、2或3”，D=“取到2、3或4”，討論A與B、C與D的獨(dú)立性。

解：，。即事件相A、B相互獨(dú)立。

而，。即事件相C、D不獨(dú)立

用定義3來判斷也一樣。

ⅱ、同樣兩個(gè)事件，在不同的試驗(yàn)下，可能獨(dú)立，也可能不獨(dú)立。

例如：在有兩個(gè)孩子的家庭中，假設(shè)生男孩和生女孩是等可能的。設(shè)A表示“一個(gè)家庭既有男孩又有女孩”，B表示“一個(gè)家庭至多有一個(gè)女孩”，討論A與B的獨(dú)立性。

解：對(duì)兩個(gè)孩子的家庭來說樣本空間

={（男、男），（男、女），（女、男），（女、女）}

A={（男、女），（女、男）}

B={（男、男），（男、女），（女、男）}

所以AB={（男、女），（女、男）}

顯然有，，而。所以

事件A、B相互不獨(dú)立。

若將上例改為三個(gè)孩子的家庭，做同樣的討論。

解：對(duì)三個(gè)孩子的家庭來說樣本空間

={（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男），（女、女、男），（女、男、女），（男、女、女），（女、女、女）}

A={（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男），（女、女、男），（女、男、女），（男、女、女），}

B={（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）}

所以AB={（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）}

顯然有，，，

事件A、B相互獨(dú)立。

由以上的討論可知，在對(duì)獨(dú)立性的判斷上，可用定義1判斷的不必再作其它判斷。如文①（ 概率計(jì)算中乘法問題的商榷 馬恩林 連四清 數(shù)學(xué)通報(bào)2007年 第8期）中例1。而不能用定義1判斷的則不能按經(jīng)驗(yàn)推理。此時(shí)對(duì)每?jī)蓚€(gè)事件的獨(dú)立性判斷必須經(jīng)過計(jì)算來判斷。

二、兩個(gè)概念在應(yīng)用情況表述中的問題

關(guān)于兩個(gè)概念的關(guān)系有如下的一些提法：

文②（比較研究，相互獨(dú)立事件教學(xué)的有效舉措 馬林 數(shù)學(xué)通報(bào)2008年 第4期）認(rèn)為兩者應(yīng)用不同，互斥指一次試驗(yàn)中的不同事件，而獨(dú)立指兩次或多次不同試驗(yàn)下出現(xiàn)的不同事件。

問題2：上述說法正確嗎？正確的說法是什么？

本人認(rèn)為上述說法不正確，反例如下：

（1）多次試驗(yàn)中可有互斥事件。

例 現(xiàn)有10張分別寫有1至10數(shù)字的卡片.現(xiàn)從中依次取出兩張.觀察取出卡片的數(shù)字.設(shè)事件A=“第一次取得1號(hào)卡片”，B=“第二次取得1號(hào)卡片”.

解： 事件A=“第一次取得1號(hào)卡片”={12，13，14，…110}，

B=“第二次取得1號(hào)卡片” ={21，31，41，…101}.

顯然，事件A、B互斥。

（2）一次試驗(yàn)中的兩個(gè)事件也可獨(dú)立。

例 現(xiàn)有10張分別寫有1至10數(shù)字的卡片.現(xiàn)從中任意取出一張.觀察取出卡片的數(shù)字.設(shè)事件A=“取得1或2號(hào)卡片”，B=“取得偶數(shù)號(hào)卡片”.

解：B=“取得偶數(shù)號(hào)卡片”=“取得2、4、6、8或10號(hào)卡片”.

則，P（A）==，，，即事件A、相互獨(dú)立。

由以上的討論可知，兩個(gè)互斥或獨(dú)立的事件即可以是同一試驗(yàn)中的不同事件，也可以是兩次或多次不同試驗(yàn)下出現(xiàn)的不同事件。

三、兩個(gè)概念在推廣中的問題

我們已經(jīng)知道，幾個(gè)事件兩兩互斥則定義為彼此互斥。因此兩兩互斥則彼此互斥。反之亦然。而獨(dú)立則不同。彼此獨(dú)立則兩兩獨(dú)立，而兩兩獨(dú)立不能推出彼此獨(dú)立。反例很多，不再贅述。

問題3： 上述結(jié)論有例外嗎？

文③（淺析事件的互不相容與相互獨(dú)立 劉琳 數(shù)學(xué)通報(bào)2006年 第8期）中有如下例題

例 n對(duì)夫婦任意的排成一列，求每一個(gè)丈夫都排在他的妻子后面的概率。

此題可用古典概率求解，但解法較繁瑣。

此題另可應(yīng)用事件間的獨(dú)立關(guān)系來求解，解法如下：

以A記事件第i對(duì)夫婦丈夫排在妻子的后面，則P（A）=，

進(jìn)一步假設(shè)是相互獨(dú)立的，即默認(rèn)每對(duì)夫婦都是獨(dú)立的，因而可得：P（）=.

顯然，上例應(yīng)用了多個(gè)事件相互獨(dú)立的概念。那么何時(shí)能夠應(yīng)用呢？

高中教材中（人教版）對(duì)于相互獨(dú)立概念的定義是，指事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。又可表述為：在同一試驗(yàn)下的兩個(gè)事件，如果一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。（見中學(xué)數(shù)學(xué)教材（人教版）。

中學(xué)教材（人教版）中對(duì)n個(gè)事件互斥的定義為：如果事件中的任何兩個(gè)都是互斥事件，此時(shí)即稱事件 彼此互斥。即承認(rèn)只要由兩兩互斥即可推出彼此互斥。而對(duì)于n個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，只是定義兩個(gè)事件獨(dú)立的概念（事件發(fā)生的概率彼此沒有影響），并不提及條件概率的定義，并由此直接應(yīng)用n個(gè)事件相互獨(dú)立的概念。

實(shí)際上，對(duì)于概率大于零的事件，用中學(xué)教材中的獨(dú)立定義（我們?cè)谇拔膶⑵浞Q為定義1）所得的事件間的獨(dú)立，我們不妨稱為絕對(duì)獨(dú)立。用其它定義（我們?cè)谇拔膶⑵浞Q為定義2、3）所推出的獨(dú)立我們不妨稱為相對(duì)獨(dú)立。顯然，兩個(gè)事件絕對(duì)獨(dú)立一定相對(duì)獨(dú)立。反之不成立。而且對(duì)于絕對(duì)獨(dú)立的事件只要兩兩獨(dú)立一定相互獨(dú)立。這一條顯然成立不需要證明。而這一條也是應(yīng)用的重要依據(jù)，可用來解很多較為復(fù)雜的題，如上例。而相對(duì)獨(dú)立事件不存在這樣的性質(zhì)。

四、兩個(gè)概念在多次試驗(yàn)中的聯(lián)系問題

如上所述文②（比較研究，相互獨(dú)立事件教學(xué)的有效舉措 馬林 數(shù)學(xué)通報(bào)2008年 第4期）認(rèn)為兩者應(yīng)用不同，互斥指一次試驗(yàn)中的不同事件，而獨(dú)立指兩次或多次不同試驗(yàn)下出現(xiàn)的不同事件。此說法不妥上文已指出。文④（淺談獨(dú)立事件 許景彥 石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào) 2002年6月）認(rèn)為：對(duì)于分別來自n次試驗(yàn)的事件，一定兩兩獨(dú)立且相互獨(dú)立。此種提法正確嗎？由此我們得到如下的問題。

問題4：一次試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，在多次試驗(yàn)有怎樣的關(guān)系？

（1）一次試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，即使是互斥的關(guān)系，在多次試驗(yàn)中也不一定是相互獨(dú)立的。

例如：一個(gè)盒子里放有3個(gè)紅球，4個(gè)黃球，現(xiàn)從中依次取出兩個(gè)球。事件A：第一次摸出的是紅球；事件B：第二次摸出的是黃球，顯然有：事件A、B并不相互獨(dú)立。

（2）一次試驗(yàn)中的任何兩個(gè)事件，即使非互斥的關(guān)系，在多次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的不同次試驗(yàn)中一定是相互獨(dú)立的。

例如：一個(gè)盒子里放有3個(gè)紅球，4個(gè)黃球，6個(gè)綠球。現(xiàn)從中每次取出一個(gè)球，取后放回，連取4次。事件A：第一次摸出的是紅球；事件B：第四摸出的不是綠球，顯然有：事件A、B相互獨(dú)立。

顯然，對(duì)于不是來自同一次試驗(yàn)的兩個(gè)事件不一定是相互獨(dú)立的，更無法判斷其兩兩獨(dú)立一定相互獨(dú)立。因而，關(guān)鍵不是是否來自幾次試驗(yàn)，關(guān)鍵是是否來自幾次不同的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。而且對(duì)于來自幾次不同的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的事件，兩兩獨(dú)立且相互獨(dú)立。

五、教學(xué)中的建議

可見兩個(gè)概念既有相同又有不同，同時(shí)還有聯(lián)系。簡(jiǎn)單總結(jié)如下：

相同點(diǎn)：同樣是描述兩個(gè)事件間的關(guān)系；都可以是指在同一次試驗(yàn)中，也都可以指多次試驗(yàn)中的不同事件。

不同點(diǎn)：定義不同；判斷方法不同；推廣條件不同；一個(gè)多應(yīng)用在事件加的概率計(jì)算中，一個(gè)多應(yīng)用在事件乘的概率計(jì)算中。

針對(duì)概率大于零的事件，“絕對(duì)獨(dú)立”的事件間兩兩獨(dú)立即相互獨(dú)立。而“相對(duì)獨(dú)立”的事件不具有這樣的性質(zhì)。而且對(duì)于來自幾次不同的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的事件，兩兩獨(dú)立一定相互獨(dú)立。而對(duì)于不是來自幾次不同的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的事件間不一定具有這樣的性質(zhì)。

在教學(xué)中需要注意兩個(gè)概念的異同，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤概念。同時(shí)還要在比較和應(yīng)用中加強(qiáng)兩個(gè)概念的理解和應(yīng)用能力。

事件獨(dú)立的定義和判斷顯然更為復(fù)雜。故本文針對(duì)概率大于零的事件提出了“絕對(duì)獨(dú)立”與“相對(duì)獨(dú)立”的概念，以避免不必要的混亂。在數(shù)學(xué)教學(xué)中宜更多應(yīng)用“絕對(duì)獨(dú)立”概念（不一定提出此名詞），但對(duì)“相對(duì)獨(dú)立”概念應(yīng)以舉例說明為宜。互斥與獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系也較為復(fù)雜，教學(xué)中可根據(jù)情況注意比較、滲透，幫助學(xué)生建立正確清晰的知識(shí)脈絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生的能力。

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作者簡(jiǎn)介：左峰輝（1963-），女，北京電子科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教師，主要研究方向：數(shù)學(xué)教育。