對互斥與獨立概念有關問題的幾點注記

摘要：關于互斥與獨立事件經常有一些模糊的概念和提法。本文分別對兩個概念在判斷中的問題，在應用情況表述中的問題，推廣中的問題及在多次試驗中的聯系等問題提出自己的觀點。并對教學提出建議。

關鍵詞：互斥與獨立事件； 彼此獨立

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1671-864X（2014）09-0101-02

關于互斥與獨立事件的相關文章有許多，其中有些概念或提法有些模糊。希望在本文中做些分析。

一、概念判斷問題

互斥概念清晰明確，這里不再贅述。一般只要判斷兩事件的關系即可。

對于獨立事件的概念的定義有如下幾種提法：（1）指事件A（或B）是否發生對事件B（或A）發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。又可表述為：在同一試驗下的兩個事件，如果一個事件是否發生對另一個事件發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。（見中學數學教材（人教版）。在下文中稱此定義為定義1。（2）當時，，稱事件B獨立于事件A。此時當時，可推，稱事件A獨立于事件B。即當事件A與B滿足，時，若，稱事件A與B相互獨立。在下文中稱此定義為定義2。（3）事件A與B相互獨立的一個充要條件是。在下文中稱此定義為定義3。說明：對于概率大于零的事件，定義2、3等價。且需要通過計算來判斷事件的獨立性。定義2不能用于概率為零的事件。

問題1：如何判斷兩個事件是否相互獨立？

（1）當利用已知或經驗能夠用定義1判斷事件的獨立性時，可由實際意義或題目說明。此法應用廣范。毋庸置疑，否則易陷入循環論證的矛盾中。

例如：某射手進行設計練習，設其擊中目標的概率為p，考慮2次射擊，求連中兩槍的概率。

解：由實際意義，我們一般把各次擊中看作相互獨立事件，故解為。

（2）當不能利用已知或經驗用定義1判斷時，不能輕易判斷兩個事件獨立與否。用定義2或3判斷事件的獨立性時，會出現很多我們事先無法直覺判斷的情況。舉例如下：

ⅰ、同一類事件可能獨立，也可能不獨立。

例如：袋中有4張相同的卡片，分別標有1、2、3、4，從中任取一張。設事件A=“取到1或2”，B=“取到1或3”，C=“取到1、2或3”，D=“取到2、3或4”，討論A與B、C與D的獨立性。

解：，。即事件相A、B相互獨立。

而，。即事件相C、D不獨立

用定義3來判斷也一樣。

ⅱ、同樣兩個事件，在不同的試驗下，可能獨立，也可能不獨立。

例如：在有兩個孩子的家庭中，假設生男孩和生女孩是等可能的。設A表示“一個家庭既有男孩又有女孩”，B表示“一個家庭至多有一個女孩”，討論A與B的獨立性。

解：對兩個孩子的家庭來說樣本空間

={（男、男），（男、女），（女、男），（女、女）}

A={（男、女），（女、男）}

B={（男、男），（男、女），（女、男）}

所以AB={（男、女），（女、男）}

顯然有，，而。所以

事件A、B相互不獨立。

若將上例改為三個孩子的家庭，做同樣的討論。

解：對三個孩子的家庭來說樣本空間

={（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男），（女、女、男），（女、男、女），（男、女、女），（女、女、女）}

A={（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男），（女、女、男），（女、男、女），（男、女、女），}

B={（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）}

所以AB={（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）}

顯然有，，，

事件A、B相互獨立。

由以上的討論可知，在對獨立性的判斷上，可用定義1判斷的不必再作其它判斷。如文①（ 概率計算中乘法問題的商榷 馬恩林 連四清 數學通報2007年 第8期）中例1。而不能用定義1判斷的則不能按經驗推理。此時對每兩個事件的獨立性判斷必須經過計算來判斷。

二、兩個概念在應用情況表述中的問題

關于兩個概念的關系有如下的一些提法：

文②（比較研究，相互獨立事件教學的有效舉措 馬林 數學通報2008年 第4期）認為兩者應用不同，互斥指一次試驗中的不同事件，而獨立指兩次或多次不同試驗下出現的不同事件。

問題2：上述說法正確嗎？正確的說法是什么？

本人認為上述說法不正確，反例如下：

（1）多次試驗中可有互斥事件。

例 現有10張分別寫有1至10數字的卡片.現從中依次取出兩張.觀察取出卡片的數字.設事件A=“第一次取得1號卡片”，B=“第二次取得1號卡片”.

解： 事件A=“第一次取得1號卡片”={12，13，14，…110}，

B=“第二次取得1號卡片” ={21，31，41，…101}.

顯然，事件A、B互斥。

（2）一次試驗中的兩個事件也可獨立。

例 現有10張分別寫有1至10數字的卡片.現從中任意取出一張.觀察取出卡片的數字.設事件A=“取得1或2號卡片”，B=“取得偶數號卡片”.

解：B=“取得偶數號卡片”=“取得2、4、6、8或10號卡片”.

則，P（A）==，，，即事件A、相互獨立。

由以上的討論可知，兩個互斥或獨立的事件即可以是同一試驗中的不同事件，也可以是兩次或多次不同試驗下出現的不同事件。

三、兩個概念在推廣中的問題

我們已經知道，幾個事件兩兩互斥則定義為彼此互斥。因此兩兩互斥則彼此互斥。反之亦然。而獨立則不同。彼此獨立則兩兩獨立，而兩兩獨立不能推出彼此獨立。反例很多，不再贅述。

問題3： 上述結論有例外嗎？

文③（淺析事件的互不相容與相互獨立 劉琳 數學通報2006年 第8期）中有如下例題

例 n對夫婦任意的排成一列，求每一個丈夫都排在他的妻子后面的概率。

此題可用古典概率求解，但解法較繁瑣。

此題另可應用事件間的獨立關系來求解，解法如下：

以A記事件第i對夫婦丈夫排在妻子的后面，則P（A）=，

進一步假設是相互獨立的，即默認每對夫婦都是獨立的，因而可得：P（）=.

顯然，上例應用了多個事件相互獨立的概念。那么何時能夠應用呢？

高中教材中（人教版）對于相互獨立概念的定義是，指事件A（或B）是否發生對事件B（或A）發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。又可表述為：在同一試驗下的兩個事件，如果一個事件是否發生對另一個事件發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。（見中學數學教材（人教版）。

中學教材（人教版）中對n個事件互斥的定義為：如果事件中的任何兩個都是互斥事件，此時即稱事件 彼此互斥。即承認只要由兩兩互斥即可推出彼此互斥。而對于n個事件相互獨立的概念，只是定義兩個事件獨立的概念（事件發生的概率彼此沒有影響），并不提及條件概率的定義，并由此直接應用n個事件相互獨立的概念。

實際上，對于概率大于零的事件，用中學教材中的獨立定義（我們在前文將其稱為定義1）所得的事件間的獨立，我們不妨稱為絕對獨立。用其它定義（我們在前文將其稱為定義2、3）所推出的獨立我們不妨稱為相對獨立。顯然，兩個事件絕對獨立一定相對獨立。反之不成立。而且對于絕對獨立的事件只要兩兩獨立一定相互獨立。這一條顯然成立不需要證明。而這一條也是應用的重要依據，可用來解很多較為復雜的題，如上例。而相對獨立事件不存在這樣的性質。

四、兩個概念在多次試驗中的聯系問題

如上所述文②（比較研究，相互獨立事件教學的有效舉措 馬林 數學通報2008年 第4期）認為兩者應用不同，互斥指一次試驗中的不同事件，而獨立指兩次或多次不同試驗下出現的不同事件。此說法不妥上文已指出。文④（淺談獨立事件 許景彥 石家莊職業技術學院學報 2002年6月）認為：對于分別來自n次試驗的事件，一定兩兩獨立且相互獨立。此種提法正確嗎？由此我們得到如下的問題。

問題4：一次試驗中的兩個事件，在多次試驗有怎樣的關系？

（1）一次試驗中的兩個事件，即使是互斥的關系，在多次試驗中也不一定是相互獨立的。

例如：一個盒子里放有3個紅球，4個黃球，現從中依次取出兩個球。事件A：第一次摸出的是紅球；事件B：第二次摸出的是黃球，顯然有：事件A、B并不相互獨立。

（2）一次試驗中的任何兩個事件，即使非互斥的關系，在多次獨立重復試驗中的不同次試驗中一定是相互獨立的。

例如：一個盒子里放有3個紅球，4個黃球，6個綠球。現從中每次取出一個球，取后放回，連取4次。事件A：第一次摸出的是紅球；事件B：第四摸出的不是綠球，顯然有：事件A、B相互獨立。

顯然，對于不是來自同一次試驗的兩個事件不一定是相互獨立的，更無法判斷其兩兩獨立一定相互獨立。因而，關鍵不是是否來自幾次試驗，關鍵是是否來自幾次不同的獨立重復試驗。而且對于來自幾次不同的獨立重復試驗的事件，兩兩獨立且相互獨立。

五、教學中的建議

可見兩個概念既有相同又有不同，同時還有聯系。簡單總結如下：

相同點：同樣是描述兩個事件間的關系；都可以是指在同一次試驗中，也都可以指多次試驗中的不同事件。

不同點：定義不同；判斷方法不同；推廣條件不同；一個多應用在事件加的概率計算中，一個多應用在事件乘的概率計算中。

針對概率大于零的事件，“絕對獨立”的事件間兩兩獨立即相互獨立。而“相對獨立”的事件不具有這樣的性質。而且對于來自幾次不同的獨立重復試驗的事件，兩兩獨立一定相互獨立。而對于不是來自幾次不同的獨立重復試驗的事件間不一定具有這樣的性質。

在教學中需要注意兩個概念的異同，避免出現錯誤概念。同時還要在比較和應用中加強兩個概念的理解和應用能力。

事件獨立的定義和判斷顯然更為復雜。故本文針對概率大于零的事件提出了“絕對獨立”與“相對獨立”的概念，以避免不必要的混亂。在數學教學中宜更多應用“絕對獨立”概念（不一定提出此名詞），但對“相對獨立”概念應以舉例說明為宜。互斥與獨立的區別與聯系也較為復雜，教學中可根據情況注意比較、滲透，幫助學生建立正確清晰的知識脈絡，培養學生的能力。

參考文獻：

[1]馬恩林.連四清 概率計算中概率乘法問題的商榷[J].數學通報，2007年，第8 期.

[2]馬林.比較研究，相互獨立事件教學的有效舉措[J]. 數學通報2008年，第4期.

[3]劉琳.淺析事件的互不相容與相互獨立[J]. 數學通報2006年 第8期.

[4]許景彥.淺談獨立事件[J]. 石家莊職業技術學院學報 2002年6月.

[5]金天壽.對事件獨立性的再認識[J]. 數學通報2012年，第3期.

[6]人民教育出版社中學數學室編著.全日制不同高級中學教科書數學[M].北京：人民教育出版社，2004.

作者簡介：左峰輝（1963-），女，北京電子科技職業技術學院數學教師，主要研究方向：數學教育。