變尺度法進行管網狀態模擬的精度分析

張 卉，黃廷林，徐金蘭

（西安建筑科技大學 環境與市政工程學院，陜西 西安710055）

供水管網的狀態模擬就是利用數學模型及其優化方法，推求各狀態參數最佳估計值的過程［1-4］.采用的數學模型通常是改進的帶權重最小二乘數學模型，其解法包括Marquardt法和變尺度法.由于Marquardt法具有全局搜索能力欠佳、易陷入局部最優解等缺陷，因此，變尺度法的求解更為有效［5-7］.本文針對變尺度法的求解過程，從管網規模、測點數量和節點流量偽測量值的選取等方面，分析其對模擬精度的影響，并提出合理的解決方案.

1 狀態模擬模型及其求解

1.1 目標函數

采用改進的帶權重最小二乘數學模型進行管網運行狀態的模擬，其目標函數為［8］：

式中NH為測壓點數；NQ為測流管數；JD為節點總數；H0i為實測節點水壓；q0i為實測管段流量；Hi為節點水壓估計值；qi為管段流量估計值；w1（i）為節點水壓參數權重；w2（i）為管段流量參數權重；H0為參照水壓；Qd為管網總用水量；Qm為節點流量估計值；Q0m為節點流量偽測量值；w3（m）為節點流量偽測量參數權重.

1.2 變尺度法的求解過程

首先，利用式（2）將管網中的某一個節點流量表示成另外JD-1個節點流量的函數.為了表達方便，設該節點編號為JD，相互之間的關系如下式所示：

而編號為JD的節點流量，則可由式（3）計算得出.

得到了所有的節點流量Q之后，即可通過平差計算求出節點水壓H和管段流量q，從而了解管網的運行全貌.

2 精度分析

在描述供水管網運行狀態的水力參數中，節點水壓是一個重要指標，且節點水壓估計值與真值之間總存在一定的誤差，這種誤差對管網運行管理及優化調度起關鍵作用.因此，采用各節點水壓誤差的平方和或方均根，來表示這種誤差，以衡量狀態模擬結果的準確性［10］，即

式中σ2為所有節點水壓誤差平方和；β為所有節點水壓誤差方均根；Hi為i節點水壓真值；H＊i為i節點水壓估計值；其余符號意義同前.

為了驗證變尺度法在管網狀態模擬中的應用，分別從以下幾方面對模擬結果進行分析與比較：

（1）迭代終止準則 由于目標函數（1）中含有3類不同的變量，且引入了H0、參數權重和節點流量偽測量值等參數，因此目標函數值的意義已不是一般的工程概念，很難確定統一的終止準則.而測壓點水壓誤差平方和與目標函數值具有很好的一致性且意義明確，可作為狀態模擬計算的終止準則.其表達式為

式中m為系數；H0i為i節點水壓測量值為i節點水壓估計值；其余符號意義同前.

利用變尺度法對不同規模、不同數量測點的管網進行狀態模擬，結果表明，當m值達到0.1左右時，誤差趨于穩定，因此將其作為終止準則.

（2）管網規模的影響 一個城市的供水管網規模，可以通過其節點數、管段數、環數、供水范圍以及變化工況等方面來體現.管網規模越大，其構成元素就越多，所以它的復雜性也會越高，從而在一定程度上對狀態模擬的精度與迭代過程產生影響.

為了分析管網規模對狀態模擬結果所造成的影響，分別選取小、中、大型三個管網進行仿真計算，其中，小型管網包含23個節點、35個管道和13個環，中型管網包含55個節點、94個管段和40個環，大型管網包含167個節點、281個管段和115個環.三個管網的拓撲結構如圖1～3所示.

圖1 某小型管網結構圖Fig.1 Structure of a small-scale network

圖2 某中型管網結構圖 Fig.2 Structure of a medium-scale network

3種不同規模的城市供水管網的模擬計算結果如圖4所示.由圖4可以看出，無論對小型管網，還是大中型管網，節點水壓誤差方均根都呈現逐漸降低的趨勢，且整個迭代計算的過程都可以分成2部分，即直線下降區（5步以內）和階梯下降區（5步以后）.在直線下降區，節點水壓誤差方均根迅速減小，一般在5步后就可減小50%以上；而在階梯下降區，節點水壓誤差方均根則下降緩慢.此外，隨著管網規模的增大，模擬計算的迭代次數在不斷提高，相同迭代次數下的模擬精度有所降低.

（3）測點數量的影響 供水管網的測點包括測壓點和測流管.顯然，測點數量越多、位置越恰當，狀態模擬的精度就越高，誤差越小，但增加測點數量會增加管網投資和運行費用.因此，合理確定測點數量，科學選擇測點位置是保證狀態模擬精度、降低投資和運行費用的關鍵.為了明確測點的數量，假定測壓點和測流管均為最優布置.

圖3 某大型管網結構圖Fig.3 Structure of a large-scale network

分別進行不同測壓點數和測流管數情況下的狀態模擬，模擬精度與測壓點數、測流管數的關系.如圖5～6所示.

由圖5可以看出，測壓點的數量越多，狀態模擬的精度就越高，誤差越小，這一點與理論相一致.在圖2中，測壓點數存在一個閾值，當測壓點數小于該閾值時，模擬精度變化較大，而當超過該值時，模擬精度趨于穩定.此閾值近似為：大型管網測壓點數為節點總數的1／9～1／8，中小型管網測壓點數為節點總數的1／6～1／5.

由圖6可以看出，測流管數量與模擬精度的關系并不明顯，但是整體上仍然是隨著測流管數量的增多，狀態模擬的精度逐漸提高.當測流管數小于最小覆蓋集所確定的數量時［11］，狀態模擬精度較低；而當超過這一數值時，模擬精度均得到了提高.因此，在保證模擬精度的前提下，選擇最小覆蓋集所確定的管段作為測流管，能夠使管網總體費用達到最省.

（4）節點流量偽測量值選取的影響 盡管自變量的非負約束和一定數量的監測數據會大幅度縮小目標函數可能解的范圍，但不同的節點流量偽測量值會使最終的解不同，也影響著求解的過程.隨機生成不同的節點流量偽測量值，并在此基礎上對管網進行狀態模擬，模擬精度與偽測量值的關系如圖7所示.其中，節點流量偽測量值與真值之間的差別，用節點流量誤差方均根來衡量，其定義為

式中δ為節點流量誤差方均根為節點流量真值；其余符號意義同前.

由圖7可以看出，管網的狀態模擬精度隨偽測量值誤差方均根的增大而降低，也就是說節點流量偽測量值越偏離真值，模擬精度就越低.其中，大中型管網所受的影響較大，而小型管網的模擬精度基本保持穩定.在圖中，各管網的節點水壓誤差方均根均能降到0.8m以下，其精度能夠滿足管網模擬的要求.因此，實際應用時，若缺乏相關資料而無法估計出節點流量的偽測量值時，可采用計算機隨機生成的方法，模擬管網的運行狀態.

3 結 論

利用變尺度法模擬供水管網的運行狀態，并對其計算精度進行了分析：

（1）提出了迭代計算的終止準則；

（2）隨著管網規模的增大，狀態模擬的迭代次數不斷提高，相同迭代次數下，其精度有所降低；

（3）測點數量越多，狀態模擬的精度就越高，同時提出了滿足精度要求的合理測點數量；

（4）模擬精度隨偽測量值誤差方均根的增大而降低，但基本滿足管網模擬的要求，因此，實際應用時可采用計算機隨機生成偽測量值的方法，獲取管網的運行狀態.

［1］ DAVIDSON J W，BOUCHART F J C.Adjusting nodal demands in SCADA constrained real-time water distribution network models［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2006，132（1）：102-110.

［2］ 邰明明.基于地統計的給水管網狀態分析方法研究［D］.重慶：重慶大學，2013：4-11.TAI Mingming.Study on the state analysis method of water supply network based on the geostatistics［D］.Chongqing：Chongqing University，2013：4-11.

［3］ 張新波，賈輝，王捷，等.基于城市供水管網變態物理模型的管網試驗研究［J］.天津工業大學學報，2013，32（3）：61-65.ZHANG Xinbo，JIA Hui，WANG Jie，et al.Simulation tests of municipal water distribution system based on distorted physical model［J］.Journal of Tianjin Polytechnic University，2013，32（3）：61-65.

［4］ 童建舟.給水管網水力狀態模擬中GASA算法優化的研究［D］.南昌：南昌大學，2010：4-10.TONG Jianzhou.Study on GASA algorithm optimization in hydraulic simulation of water supply networks［D］.Nanchang：Nanchang University，2010：4-10.

［5］ 吳祈宗，侯福均.運籌學與最優化方法［M］.北京：機械工業出版社，2013：112-116.WU Qizong，HOU Fujun.Operations research and optimization methods［M］.Beijing：China Machine Press，2013：112-116.

［6］ 房亞東，陳樺.現代設計方法與應用［M］.北京：機械工業出版社，2013：94-101.FANG Yadong，CHEN Hua.Modern design method and application［M］.Beijing：China Machine Press，2013：94-101.

［7］ 李占利.最優化理論與方法［M］.北京：中國礦業大學出版社，2012：81-86.LI Zhanli.Optimization theory and method［M］.Beijing：China University of Mining and Technology Press，2012：81-86.

［8］ 叢海兵，黃廷林.給水管網的狀態模擬［J］.西安建筑科技大學學報：自然科學版，2003，35（4）：343-346.CONG Haibing，HUANG Tinglin.State simulation of water distribution network［J］.Journal of Xi′an University of Architecture &Technology：Natural Science Edition，2003，35（4）：343-346.

［9］ 叢海兵.供水管網測壓點優化布置及狀態估計［D］.西安：西安建筑科技大學，2002：28-30.CONG Haibing.The optimal distribution of pressure measure points and state estimation of water supply network［D］.Xi′an：Xi′an University of Architecture &Technology，2002：28-30.

［10］ 蘇饋足.給水管網現狀分析方法研究［D］.合肥：合肥工業大學，2003：19-26.SU Kuizu.Research of the methods of water-distribution networks′status analyzing［D］.Hefei：Hefei University of Technology，2003：19-26.

［11］ 張卉.基于SCADA系統的供水管網模擬與綜合管理系統開發［D］.西安：西安建筑科技大學，2009：68-74.ZHANG Hui.Development of simulation and management system of water supply networks based on SCADA system［D］.Xi′an：Xi′an University of Architecture &Techonlogy，2009：68-74.