基于改進NLMS算法的諧波電流檢測方法

張文兵，趙鏡紅，吳旭升，高鍵鑫

(海軍工程大學電氣與信息工程學院，武漢430033)

0 引言

近年來，隨著科技的飛速發展，電力網絡中，以整流器、變頻器和其他各種電力電子設備為主的非線性負載使電力網絡受到了嚴重的污染。有源電力濾波器作為諧波抑制的有效手段，在研究中取得了明顯的發展[1]。諧波檢測技術是有源電力濾波器主要的性能指標之一，所以它一直是有源電力濾波器技術的研究重點。

從自適應對消原理[2]的提出，它就受到各領域的專家和學者的廣泛研究，隨后有人提出了最小均方誤差準則，由于該算法結構簡單，自適應學習能力較強的特點，在電力網絡諧波檢測中的應用越來越多。而傳統定步長 LMS算法很難滿足收斂速度快和穩態誤差小的目標，為了實現這個目標，有學者提出了一種變步長 LMS算法。如文獻[3]中變步長的思想就是在步長因子和均方誤差之間建立一種線性關系，即步長因子的大小隨著誤差的大小變化而變化。算法開始時，誤差較大，而此時步長因子也大，則收斂速度就很快，當誤差越來越小，步長因子也就越來越小，當誤差趨近于零時，步長也趨近于零，保證了較小的穩態誤差。但該算法抗干擾能力差，當輸入信號突變時，會導致系數的突變，使系統的穩定變差。為了解決輸入信號突變時帶來的系統系數突變，使得 LMS算法性能進一步提高，歸一化最小均方（NLMS）自適應濾波算法被提出，該算法比 LMS有更好的魯棒性且易于使用。它的成功應用關鍵在于如何選取可以折中算法的收斂速度和穩態誤差的步長。而如何選取最有且可靠的步長一直是一個難點，在現如今眾多選取步長的策略中，都是采取變步長的方法。通過對文獻[4-5]分析發現，盡管算法收斂速度的問題通過變步長算法得到了解決了，但是由于時變的步長不能收斂到零，而且大部分情況下步長大小是一個未知的數，所以很難確定最終穩態誤差的大小。

為此本文提出了將 LMS算法引入動量項的思想[6]融入到NLMS算法的諧波電流檢測方法，該方跟傳統NLMS的方法的不同之處就是使用了兩個步長參數（步長因子μ和動量步長β）來調整動態響應速度和穩態精度之間的平衡問題。即給定一個較小的步長因子μ來保證高的穩態精度的同時，通過調節時變的動量步長β來加快諧波檢測的響應速度，很好的解決了諧波電流檢測法的動態響應速度和穩態精度之間的平衡問題。

1 諧波電流檢測模型

圖1是一個典型的基于自適應噪聲對消技術的諧波電流檢測框圖[7]。其中，負載電流iL(n)是主要輸入，x(n)作為參考輸入，是負載電流基波頻率的單位正、余弦信號，即

一般由鎖相環（PLL）從電源電壓us(t)處獲得，記x(n)=[x1(n),x2(n)]T,w(n)為其對應的權系數，記為w(n)=[w1(n),w2(n)]T,ω為角速度，Ts為采樣周期，n為采樣時刻，T為數學轉置運算符。

設us(t)=sin(ωt),即為標準的正弦電壓,其中角速度ω=2πf（f為頻率）。對負載電流iL(n)進行傅立葉級數展開如下式：

上式中m代表諧波次數，最高次數為N；i1為基波電流，if是基波無功電流i1q和諧波電流ih之和，i1p是基波有功電流。

基于自適應噪聲對消技術的諧波電流檢測就是權系數w(n)使用某種自適應算法進行實時更新，用于跟蹤負載基波電流i1,使濾波器輸出y(n)通過公式（2）在自適應算法穩定后無限逼近i1，然后通過公式（3）就可以得到諧波電流ih的逼近值e(n),達到了檢測出諧波電流的目的。

圖1 諧波檢測原理框圖

2 算法原理

2.1 NLMS算法原理

NLMS算法是在 LMS算法的基礎上發展而來的，解決了 LMS算法因為輸入信號的突然改變而造成權系數w(n)的突變，從而影響系統穩定的問題。LMS算法的數學表達式如公式(2)-(5)：

權系數的更新表達式，如下：

其中，步長因子μ的約束條件為[2]：

五是加大社區矯正心理矯治工作的宣傳力度，爭取社區服刑人員親友的理解與支持，向這些身邊人普及心理健康常識，協助“定位”社區服刑人員的心理狀態，用親情友情感化社區服刑人員，幫助社區服刑人員重塑人生，回歸社會。

為了確保算法的收斂性，μ就應該在公式(5)所示的范圍為內選值，λmax是輸入信號相關矩陣R=E[x(n)x(n)T]的最大特征值。

NLMS算法就是在 LMS算法基礎上采用了可變因子，歸一化輸入向量，使瞬時誤差最小化。

在公式(4)所示的權系數更新過程中，權系數可改為：

為了使算法收斂時，瞬時誤差盡可能小，瞬時誤差可用下式表示：

若權系數可以由下式表示：

將式(8)代入式(7)得[2]：

為了加快算法收斂，則須得到最佳步長，使Δe2(n)最小。式(10)對步長求導得：

所以LMS的權系數更新方程變為：

實際應用中，更新方程中會引入兩個固定的參數，步長因子μ和正則化因子δ，所以就得到了NLMS算法的更新方程，如下：

上式中步長因子μ的取值為 0<μ<2，NLMS算法對輸入信號進行了歸一化，因而該算法相對于 LMS算法有很好的魯棒性，解決了輸入信號突變帶來的系統不穩定為問題。但是依然存在步長大小選取和穩態誤差大小之間的問題。

2.2 MLMS算法原理

動量項最小均方算法(MLMS)[6]也是在 LMS算法基礎上改進而來，因為按照經驗 LMS算法的步長一般選取的比較小，而這樣導致了收斂速度非常慢。為了解決這個問題，加快收斂速度，在式(4)權系數的更新的基礎上添加一個[8]或多個動量項，就得到了多步階梯下降算法的權系數更新方程，如下式：

上式中β，γ，…和μ一樣，都是步長參數。雖然該算法可以在一定程度上提高收斂速度，但是卻使算法的穩態誤差變大了。同時該算法成功應用的關鍵在于多個步長參數的選取，而通過查找文獻到目前為止還沒有很好的方法，導致了該算法的實用性太差。

2.3 改進的算法原理

步長在自適應算法中具有非常重要的作用。為了提高收斂速度，需要較大的步長參數，為了保證穩定性和減小穩態誤差卻需要較小的步長參數。為了解決NLMS算法的穩態誤差無法控制和多步階梯下降算法實用性太差的問題。本文通過將多步階梯下降算法思想和 NLMS算法結合起來，提出了基于多步階梯下降的NLMS算法。w(n)的更新方程為：

上式中有兩個步長參數梯度步長μ和動量步長β。相對于傳統的 NLMS算法(13)，改進的算法(15)中多了一個動量步長β。因為 NLMS算法的步長一般按照經驗選取的非常小，這樣收斂速度就會變得很慢，通過引入動量步長β來提高收斂速度，并能保證在算法收斂后具有較小的穩態誤差。改進的算法是在NLMS基礎上引入MLMS的思想，所以該算法的梯度依然使用歸一化的輸入信號，從而繼承了傳統NLMS算法較好的魯棒性。

圖2 負載電流曲線

圖3 基波電流理論值曲線

3 仿真分析

本實驗主要是為了驗證上述改進的NLMS算法在諧波電流檢測中優勢分析，即在NLMS的基礎上引入一個受控動量項β后，在提高收斂速度的同時保證較小的穩態誤差。

在 Matlab R2011b軟件環境下對改進型NLMS算法的諧波電流檢測方法進行仿真分析。實驗中，負載電流[7]如式(6)所示，其中，ω=2πf=100π；采樣頻率為 10 kHz,濾波器的權系數w(n)初值為 0，參考輸入x(n)為單位正，余弦信號。

從圖5中可以看出，在μ一定的情況下，不同的β所對應的收斂速度和穩態誤差。其中β=0

圖5 取μ=0.04時,選取不同β所對應的基波電流檢測值與理論值的誤差曲線

圖6 取μ=0.04時,選取不同β＞0所對應的誤差曲線與β=0的誤差曲線的比較

所對應曲線是傳統的NLMS算法，在μ=0.04的小步長下，算法的穩態誤差很小，但是收斂速度卻很慢。當β值逐漸增加時，收斂速度有明顯的提高，β=0.9時算法的收斂速度很快，但是穩態誤差也明顯增加了。圖6通過比較β=0與其他三個不同β值時的誤差曲線，發現在β=0.3,β=0.6時，穩態誤差大小與β=0的很接近，而收斂速度有很大提升，其中β=0.6的收斂速度大于β=0.3的收斂速度。從而驗證了，在NLMS的基礎上引入一個受控動量項β后，在提高收斂速度的同時保證較小的穩態誤差。

4 結論

本文針對傳統的NLMS算法的諧波電流檢測方法在步長μ較小的情況下，雖然有較小的穩態誤差，但是算法收斂速度很慢的問題，提出了一種改進型NLMS算法的諧波電流檢測方法。該方法通過引入一個受控動量項β，對動量項進行調整來加速算法的收斂速度，并且在算法收斂后不影響算法最終較小的穩態誤差。最后，用過仿真證明了本文所提出的改進算法的正確性及本文算法應用的有效性。

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