基于統計線性化的確定采樣濾波器穩定性分析

叢源材，吳青坡，周紹磊

（海軍航空工程學院 控制科學與工程系，山東 煙臺 264001）

目前關于確定采樣濾波器的推導過程通常采用高斯假設下的貝葉斯法則[1-2]，得到的非線性高斯濾波器可以看作是這一類濾波器的統一結構，在該結構下只需要完成對一二階矩的近似就可得到相應的確定采樣濾波器。

確定采樣型濾波器在使用過程中經常會出現濾波發散的問題，這是由于確定采樣濾波器屬于局部濾波器，存在截斷誤差，誤差的大小直接影響濾波器的穩定性，而且在整個濾波過程中，不同時刻不同狀態值下誤差的大小不一樣，很難提前確定，需要在濾波過程中加以補償。通常情況下，為了保證濾波器的穩定性，通常會人為增大噪聲協方差矩陣，但是這樣會導致濾波收斂速度減慢和精度下降[3]。為了避免濾波器發散和精度降低，需要對濾波器的穩定性進行分析，從而找到避免濾波器發散的方法。

雖然通過遞推貝葉斯估計可以給出確定采樣型濾波器的統一結構，但是不便于對濾波器進行穩定性分析。目前對濾波器的穩定性研究，主要基于線性系統的穩定性理論。對于非線性濾波器，通常是對非線性系統經過一階泰勒級數展開線性化之后，判斷其穩定性[4-7]，因此只適用于一階連續可導的系統。本文采用統計線性化方法建立狀態誤差傳遞方程，對確定采樣型濾波器進行穩定性分析。

1 統計線性化

給定非線性系統狀態方程和量測方程

xk為n維狀態向量；yk為 m維量測向量；wk和vk分別為量測噪聲。

確定采樣型濾波器的濾波過程如下：

1）根據k時刻的狀態估計值x^k和協方差矩陣Pk選取采樣點{σi，ωi}i=1，…，l；

2）狀態傳遞方程：

3）量測更新方程：

給定非線性方程

對方程進行線性化得到

定義線性化誤差

定義二次型性能指標

將式（16）分別對A和b求導并令其結果為零

記 x=Ex、y=Ey、Pxx=E[（x－x）（x－x）T]、Pyx=E[（y－y）（x－x）T]，求解式和式可得使得該性能指標最小的A和b為

將和帶入到中得，

由于

因此，在統計意義下，式是式的最優線性化。

線性化誤差的方差陣

選取點集{xi}，通過非線性方程就存在著點集{yi}與之對應，在統計線性化時，所用到隨機變量的一二階矩通過一組點集{（xi，yi），i=1，…，r}得到。 如果隨機向量 x 與 y 之間存在著某種對應的關系，那么可以通過隨機向量的均值和協方差矩陣建立它們之間的線性關系。

2 統計線性化的采樣實現

對方程和進行統計線性化得到新的狀態方程和量測方程

在對非線性方程的統計線性化時需要用到的統計特征量通過采樣點來計算，其中xk和P^k為k時刻的狀態估計值x^k和協方差矩陣 Pk。 根據x^k和 Pk進行采樣，得到采樣點{σi，ωi}i=1，…，l，將采樣點代入系統狀態方程得到一組新的采樣點{ χi，ωi}i=1，…，l，再將{ χi，ωi}i=1，…，l代入量測方程中得到采樣點{ξi，ωi}i=1，…，l。

3 確定采樣型濾波器的穩定性分析

首先給出濾波器穩定的定義：

定義1濾波器是穩定的，要求估計誤差是有界的，即

定義2濾波器是穩定收斂的，則要求估計誤差是均方意義下指數有界的，即存在實數 β，υ＞0，0＜α＜1，使得

關于濾波器的穩定收斂問題，有如下引理：

引理 1 如果存在隨機過程 V（ek）和實數 vmin，vmax，μ＞0，以及 0＜α≤1，有下式成立

那么隨機過程ek是均方意義下指數有界的，即

根據引理1，首先在統計線性化的基礎上建立估計誤差的傳遞方程，從而將確定采樣型濾波器的穩定性分析問題轉化為對線性系統的濾波穩定性分析。

3.1 估計誤差傳遞方程

k時刻的狀態真實值為xk，估計值為x^k，估計誤差為x~k=xk－x^k，以輔助對角矩陣的形式表示線性化誤差[7]。

k+1時刻的預測誤差為

量測誤差為

預測協方差矩陣為

進一步分析，可以得到估計誤差傳遞方程

令 Ak+1=βk+1Fk+1，Bk+1=αk+1Hk+1，Ck+1=I－Kk+1αk+1Hk+1，Gk+1=αk+1Hk+1則式（41）簡寫為

濾波增益為

協方差矩陣為

由式（42）～（44）將確定采樣型濾波器的穩定性分析問題轉化為對線性系統的穩定性分析。

3.2 濾波器穩定性定理

根據前面建立的誤差傳遞方程，得到如下穩定性定理：定理1對于非線性隨機系統的確定采樣型濾波器，在每個時刻，滿足如下條件：

1）存在實數 amin，amax，bmin，bmax，cmax，gmin，gmax，使得如 下邊界條件成立

2）存 在 實 數 pmin，pmax，qmax，rmax，ξmin，ζmin，ζmax，使得如下邊 界條件成立

其中

定理 1 中要求矩陣 Ak+1、Bk+1、Ck+1、Gk+1是有界的， 在統計線性化的結構下，這些矩陣是由狀態量和量測量的協方差矩陣決定的，也就是說相關的協方差矩陣必須是有界的，當條件滿足的情況下，在有限能量系統中，通過一組有限個采樣點計算得到的協方差矩陣是有界的。條件是由線性系統的可觀測性決定的，文獻[8]中對此有詳細討論。非線性系統穩定工作的一個重要前提就是噪聲有界，因此條件和是滿足的。由于誤差矩陣和受初始誤差的影響較大，對于條件和并不能夠保證滿足，這也是導致濾波器不穩定的主要原因，考慮到誤差[9]矩陣中包含系統噪聲和量測噪聲的協方差矩陣，因此，可以對噪聲協方差矩陣進行調整，從而保證條件和可以滿足，但是有可能會導致濾波器的精度下降。

4 結 論

本文分析了基于線性回歸的確定性采樣濾波器的穩定性條件，在實際應用中，通常會采用各種方法使得初始誤差在系統可承受的范圍內，而導致確定采樣型濾波器發散的主要原因是協方差矩陣出現非正定或奇異的情況。

針對確定采樣型濾波器的穩定性分析，本文提出了一種基于統計線性化的穩定性進行分析方法。得到的結論與泰勒級數展開的方法一致，但是不需要系統方程一階連續可導，適用范圍更廣。

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