一類模型不確定非線性系統的反演預測控制

周衛東，鄭蘭，廖成毅

（1.哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱150001；2.中國船舶工業集團公司第七0八研究所，上海200011）

一類模型不確定非線性系統的反演預測控制

周衛東1，鄭蘭1，廖成毅2

（1.哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江哈爾濱150001；2.中國船舶工業集團公司第七0八研究所，上海200011）

針對一類模型不確定的單輸入單輸出仿射非線性系統，設計一種使得閉環系統穩定且滾動時域性能指標在線最小化的預測控制器。運用反演（Backstepping）設計思想獲得具有待定參數的控制器表達式，其誤差導數中的未知函數采用模糊邏輯系統來逼近，通過直接估計模糊系統最優參數向量的范數上界來設計控制器和自適應律，大大降低了在線計算量。理論證明該方法設計的控制器保證了閉環系統所有信號是半全局有界的，并且跟蹤誤差收斂于零的某一部域。仿真算例驗證了所提出算法的有效性。

模型不確定；滾動時域；模糊邏輯系統；反演設計；預測控制

0 引 言

在復雜工業過程中，不確定性是普遍存在的，且有可能使系統性能變差甚至導致系統不穩定。因而，含有不確定的非線性系統的控制器設計問題引起了學者的極大關注。由于Backstepping設計方法在處理具有嚴格反饋形式的不確定系統時所特有的優越性，已成為設計非線性系統控制器的主流工具［1-7］。但反步設計法對可調整的性能指標缺乏“自適應”能力。相反，預測控制在最優控制的框架內可以顯示地處理系統的控制目標，這使得預測控制無論在理論上還是在實際應用中都取得了令人矚目的發展。

模型預測控制或滾動時域控制是一類處理不確定問題的一種常用的方法。它通過在線優化給定的目標函數來設計控制器。由于其對模型要求低、魯棒性強，非常適用于實際工程控制。針對不確定系統的魯棒預測控制研究目前仍是一個熱點問題［8-15］。文獻［8］利用固定的狀態觀測器和動態輸出反饋方法研究了一類既有模型不確定又有外界擾動系統的輸出反饋控制器設計；文獻［9］基于多面體描述系統研究了一類具有不確定性和有界擾動的線性變參數（LPV）系統的動態輸出反饋魯棒模型預測控制；文獻［10］采用控制不變集方法討論了一類具有結構不確定性時滯系統的閉環魯棒預測控制算法，該算法增加了控制設計的自由度；文獻［11］基于次優解討論了非線性模型預測控制的魯棒性；文獻［12］針對一類模型不確定的離散時間非線性系統，提出一種基于多面體描述的魯棒非線性預測控制策略；文獻［13］針對一類同時具有狀態和輸入時滯的不確定廣義系統通過近似求解無窮時域二次性能指標優化問題，提出了魯棒預測控制器的設計方法；文獻［14］提出一種基于反步法的欠驅動UUV空間目標跟蹤非線性控制方法研究；文獻［15］針對模型不確定的非線性系統將預測控制與反步設計方法相結合，研究了一種預測控制器，該方法比傳統的預測控制算法更容易使閉環系統穩定，且具有良好的動態特性。但該方法是在假設系統的不確定性是有界且為已知的有界光滑函數的前提下研究的，使用范圍很有限。因此，針對更一般的系統設計相應的控制器是需要進一步解決的問題。

本文在文獻［15］的基礎上直接針對一類模型不確定的嚴格反饋非線性系統設計基于反步法的自適應模糊控制器。通過每一步對Lyapunov函數的構造以及對模糊邏輯系統的使用，最終得到實際的控制律和自適應律，與此同時系統的不確定性也得以解決。與以往所設計的控制器相比，本文所設計的控制器結構簡單，從而大大降低了在線計算量，減少了計算時間。仿真結果驗證了該算法的有效性。

1 問題描述

考慮一類單輸入單輸出非線性系統：

其中，x=［x1，x2，…，xn］T∈Rn表示系統狀態向量，=［x1，x2，…，xi］T，（i=1，2，…，n-1），u∈Rn是控制輸入（i=1，2，…，n-1）用來描述系統的未知非線性連續函數，fn（x），g（x）≠0是未知的光滑非線性函數，且g（x）分別為正常數）y∈R為系統輸出。控制目標是設計一個穩定的自適應控制器，使系統（1）所有的信號半全局有界。

在自適應模糊控制設計中，先引入誤差向量e1=x1-yd，ei=xi-xi d，i=2，…，n。其中：yd表示期望輸出；且假設yd的各階導數，…，有界；xi d是期望虛擬控制信號，將在第i+1步中給出。對于i=1，2，…，n-1）中的未知函數Hi（Zi）采用下列模糊邏輯系統來逼近：

其中：Zi為模糊系統輸入；Φi（Zi）表示模糊系統基函數向量；為滿足=arg［sup｜Hi（Zi）-）｜］的最優參數向量，為了進行理論證明引入mθ的值，這里，由最優參數向量的定義以及模糊逼近特性可知存在未知常數λi＞0，＞0，使得成立。引入≥0作為λi的估計量，估計誤差-λi，且采用如下形式的自適應律：

2 控制器設計

本節具體設計控制器，控制器設計分為n步，在每一步中將設計虛擬控制律xid，i=2，…，n。最后，在第n步時將會得到系統的控制律u。

第1步：引入誤差e1=x1-yd，對e1求導有

其中H1（Z1）=f1（x1）-，Z1=［x1，］T。因為H1（Z1）中的f1（x1）為未知函數，采用下列模糊系統來逼近

引入誤差變量e2=x2-x2d，并取虛擬控制

針對系統（1）的第一個子系統，考慮如下的Lyapunov候選函數

將式（3）、式（7）和式（8）代入式（10），整理可得

其中

在上述證明過程中用到不等式

引理2.1對于i（i=1，2，…，n），如果采用式（3）作為自適應律，且初始條件滿足0）＜mθ，

第k步（2≤k≤n-1），利用類似的推導過程并選擇Lyapunov候選函數為

經過簡單整理可得

定義

其中

第n步：定義en=xn-xnd，則

其中

設計期望控制律為

其中udc是誤差反饋控制項；uad用來消除未知函數Δ（X，u），uro是魯棒控制項，用來補償逼近誤差和外界干擾。

其中

選擇udc，uro具有下列形式

針對系統（1），選取如下Lyapunov候選函數

則由上面的推導同理可得

其中

3 控制器參數在線優化

提出一種非線性預測控制算法，利用在線滾動優化確定控制器參數。在以前的Backstepping設計中控制器參數c1，c2，…，cn'＞0為時變的，在滾動優化過程中通過在線調整參數c1，c2，…，cn'，使得預測控制的目標函數最小。

用差分的方法把系統（1）（6）（14）（29）離散化，采樣時間為T：

考慮取目標函數為

其中：Δu為輸入量的變化量；Q，S為正定矩陣；R為正實數；P為預測時域。基于Backstepping設計思想的非線性預測控制算法為

其中f1（x1，k），…，fn（x，k），g（x，k）為在第k步預測時f1，…，fn，g的近似函數，定義為

可以通過在線求解有約束非線性規劃的方法，得到使目標函數最優的控制器參數矩陣C，進而得到基于Backstepping設計思想的非線性預測控制器。在這里我們采用序列二次規劃的方法求解［16-17］。

4 仿真研究

考慮如下非線性系統：

期望跟蹤信號yd定義為yd=sin t+cos（0.5t）。初始狀態為x0=［x10，x20］=［1，-0.5］，設定的期望平衡點為：x=［x1，x2］=［0，0］。通過仿真實驗來驗證所設計的控制器的跟蹤特性。

圖1 系統輸出與期望信號曲線軌跡Fig.1 System output and the desired signal curve

圖2 跟蹤誤差曲線Fig.2 Tracking error curve

圖3 控制輸入曲線Fig.3 Conrol input curve

由圖1、圖2可以看出系統輸出能跟蹤給定的期望信號，跟蹤誤差收斂于零的某一鄰域，圖3表示本算例控制輸入，由圖可知控制輸入有界。圖4為系統性能指標，由圖可知在所設計的控制器的作用下，模型不確定非線性系統滾動時域預測性能指標在線最小化。

圖4 性能指標曲線Fig.4 Performance curve

5 結 論

針對模型的不確定性，本文研究了一類嚴格反饋非線性系統的自適應模糊反步預測控制算法。用微分幾何方法雖然也可以解決此類系統的控制器設計問題，但本文反步設計方法與模糊系統的引入既解決了模型的不確定性，又降低了控制器的設計難度。考慮萬能逼近特性，本文所設計的控制器結構簡單，且有效降低了預測控制在線優化的計算量。仿真算例驗證了所提出控制器設計方法的有效性。

［1］KANELLAKOPOULOS I，KOKOTOVIC PV，MORSE A S.Systematic Design of adaptive controllers for feedback linearizable systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1991，36（11）：1241-1253.

［2］ZHANG Tao，GE SS，HANG C C.Adaptive neural network control for strictfeedback nonlinear systems using backstepping design ［J］.Automatica，2000，36（12）：1835-1845.

［3］ZHOU Jing，WEN Changyun，Wang Wei.Adaptive backstepping control of uncertain systems with unknown input time-delay［J］.Automatica，2009，45（6）：1415-1422.

［4］LIYongming，REN Chang’e，TONG Shaocheng.Adaptive fuzzy backstepping output feedback control for a class ofMIMO time-delay nonlinear systems based on high-gain observer［J］.Nonlinear Dynamic，2012，67：1175-1191.

［5］REN Chang’e，TONG Shaocheng，LIYongming.Fuzzy adaptive high-gain-based observer back-stepping control for SISO nonlinear systems with dynamical uncertainties［J］.Nonlinear Dynam ic.2012，67：941-955.

［6］TONG Shaocheng，LIYongming.Adaptive Fuzzy output feedback control of MIMO nonlinear systemswith unknown dead-zone inputs ［J］.IEEE Transactions on Fuzzy System，2013，21（1）：134 -146.

［7］文杰.非仿射非線性不確定系統的自適應模糊控制研究及應用［D］.南京：南京航空航天大學.2011.

［8］DING Baocang.Constrained robutmodel predictive control via parameter-dependent dynamic output feedback［J］.Automatica，2010，46（9）：1517-1523.

［9］PING Xubin，DING Baocang.Dynamic output feedback robust model predictive control based on ellipsoidal estimation error bound for quasi-LPV systems［C］//Proceedings of the 25th Chinese Control and Decision Conference（CCDC），Guiyang，China，2013，726-731.

［10］ZHENG Pengyuan，XI Yugeng，LIDewei.Closed-loop robust model predictive control for time-delay systems with structured uncer-tainties［J］.Control Theory＆amp；Applications，2013，30（6）：683-692.

［11］WAN Jiaona，ZHANG Tiejun，WANGKexin，etal.Robustnonlinearmodel predictive control algorithm based on reduced precision solution criteria［C］//Proceedings of the 10th World Congress on Intelligent Control and Automation Beijing，China.2012，2033-2038.

［12］黃驊，何德峰，俞力.基于多面體描述系統的魯棒非線性預測控制［J］自動化學報，2012，38（12）：1906-1912.HUANG hua，HE Defeng，YU Li.Robust nonlinear predictive control based on polytopic description systems［J］.Automatica，2012，38（12）：1906-1912.

［13］劉曉華，王利杰.帶有狀態和輸入時滯的不確定廣義系統的魯棒預測控制［J］.控制理論與應用，2010，27（4）：527 -532.LIU Xiaohua，WANG Lijie.Robust predictive control of uncertain singular systemswith both state and input delays［J］.Control Theory＆amp；Applications，2010，27（4）：527-532.

［14］賈鶴鳴.基于反步法的欠驅動UUV空間目標跟蹤非線性控制方法研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工程大學.2012.

［15］楊青，李樹榮.基于Backstepping設計的不確定非線性系統的預測控制［J］.控制理論與應用，2007，24（4）：525-529.YANG qing，LIShurong.Model predictive control for nonlinear systemswith uncertainty by using backstepping design［J］.Control Theory＆amp；Applications，2007，24（4）：525-529.

［16］袁亞湘，孫文瑜.最優化理論與方法［M］.北京：科學出版社，2001.

［17］趙敏，李少遠.基于信賴域二次規劃的非線性模型預測控制優化算法［J］.控制理論與應用，2009，26（6）：634-640.ZHAOMin，LIShaoyuan.Nonlinearmodel predictive control optimization algorithm based on the trust-region quadratic programming［J］.Control Theory＆amp；Applications，2009，26（6）：634-640.

（編輯：劉素菊）

Backstepping predictive control for one type of nonlinear system s w ith model uncertainty

ZHOUWei-dong1，ZHENG Lan1，LIAO Cheng-yi2

（1.College of Automation，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China；2.China 708 Institute of China State Shipbuilding Corporation，Shanghai200011，China）

Aiming at a class of uncertain SISO affine nonlinear system，a predictive controller which can make the system stable and can minimize an on-line receding horizon guaranteed cost was designed.By using backstepping technique the controller expression with undetermined parameterswas acquired.Within the design procedure，the fuzzy logic system（FLS）was utilized to approximate the unknown function in error derivative.By directly estimating the norm bound of the FLSoptimal parameter vector the controller and the adaptive lawswere obtained，then the online computation complexity was reduced and the calculation was overcome.Theoretically，applying the controller proposed can guarantee that all signals in closed-loop system are semi-globally bounded and the tracking error converges to a neighbourhood of origin.Finally，the simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed control scheme.

model uncertain；receding horizon；fuzzy logic system；backstepping design；prediction control

10.15938/j.emc.2015.10.013

TP 273

A

1007-449X（2015）10-0087-06

2013-10-28

國家自然科學基金（61102107；61374208）

周衛東（1966—），男，博士，教授，研究方向為艦船綜合導航技術及非線性系統控制；鄭 蘭（1982—），女，博士研究生，研究方向為非線性系統預測控制；廖成毅（1986—），男，博士，研究方向為非線性系統控制。

鄭 蘭