類最小二乘調度與控制的耦合設計

趙順利，尹遜和，魏學業，張紅

（1.北京交通大學電子信息工程學院，北京100044；2.北京市市政專業設計院股份責任公司，北京100037）

類最小二乘調度與控制的耦合設計

趙順利1，尹遜和1，魏學業1，張紅2

（1.北京交通大學電子信息工程學院，北京100044；2.北京市市政專業設計院股份責任公司，北京100037）

首先，提出一種將優先級調度與通信序列相結合的類最小二乘調度（LSLS）算法。在每個采樣周期內，傳感器的測量值傳送給LSLS調度器，LSLS調度器將由調度序列確定的測量值與當前時刻調度器內部的理想動態的狀態值進行比較，并計算其方差，方差比較大的狀態將獲得接入網絡的權限。其次，將具有媒質接入約束和隨機短時延的網絡控制系統建模為隨著調度信號進行切換的切換系統。借助Lyapunov穩定性理論和線性矩陣不等式方法（LMI）進行了穩定性分析以及控制與調度的耦合設計。最后，對LSLS與控制的耦合設計方法進行了仿真驗證，并與已有的最大誤差優先-嘗試一次丟棄（MEF-TOD）調度與控制的耦合設計方法進行了比較。結果表明，LSLS與控制的耦合設計方法在控制性能上優于MEF-TOD調度與控制的耦合設計方法。

網絡控制系統；類最小二乘調度；隨機短時延；Lyapunov穩定性；線性矩陣不等式

0 引 言

網絡控制系統（networked control system，NCS）是一種基于網絡的分布式系統。在該類控制系統中，被控對象、傳感器、控制器和執行器通過某種網絡彼此連結在一起［1］。與傳統的點到點控制系統相比，網絡控制系統具有成本低、布線方便、可靠性高、節點間信息共享方便等優點，受到了科研工作者和企業的廣泛關注；然而，網絡的引入給控制系統帶來優勢的同時，也給系統的分析和設計帶來了新的挑戰。在網絡中傳輸信號有可能會產生網絡誘導時延，比如傳輸時延、排隊等待時延等；同時，由于所使用的網絡并不是理想的通信網絡，它易受外界干擾的影響，從而出現了信號的衰減、數據的丟失和數據亂序等情況［2-3］。

在實際的NCS設計中，網絡的帶寬往往都是有限的。這些有限的帶寬對于節點和信息交換比較少的系統也許不會造成太大的影響，但當節點的數目達到成千上萬甚至更多的時候，即使每個節點傳輸少量的信息，整個系統的數據量也是非常大的。這時，有限的帶寬就成了提高系統性能的一大瓶頸。此時，整個NCS的性能不僅僅依賴于所設計的控制算法，同時也依賴于帶寬的合理利用。所以，在NCS中，如何在合理的安排節點接入網絡的同時還能保證系統的性能，已經成了一大研究熱點［4-7］。解決網絡的媒質接入約束（調度）問題（即，在同一個時刻只允許有限的節點接入網絡的情況下怎樣更好地保持NCS的控制性能）就是在此背景下提出來的，這是本文的研究重點。

媒質接入約束的處理方法起初是借鑒CPU任務調度的思想［8］。CPU在進行任務分配的時候，具有高優先級的任務可以搶占更多的CPU計算資源。當更高優先級的任務請求CPU資源時，正在運行的任務將被掛起，待更高優先級的任務完成以后，再根據任務棧中的任務優先級重新分配CPU的計算資源。這種基于優先級的調度方法有可能使得較低優先級的任務一直得不到調度。如果將此方法不加修改的移植到NCS的調度上來，則會造成嚴重的后果。不同于CPU的任務調度，NCS調度服務的對象是控制系統中的信息，并且網絡的傳輸是非搶占的，即當一個網絡數據包在傳輸的時候，其他的網絡節點是無法接入此網絡的，只有待此數據傳輸完成以后，其它的網絡節點才有機會接入此網絡。如果還是像CPU調度那樣采用固定的優先級，這就會有可能導致低優先級的控制子系統得到的信息很少，甚至長時間得不到信息；從而使這個子系統的控制性能降低，甚至導致不穩定。因此，雖然在一定程度上可以借鑒CPU調度的思想，如果要切實地處理NCS的調度問題，需要提出專門針對NCS的調度算法。這是擺在廣大科研工作者及自動化工程師面前的問題，幸運的是，在這個問題上已經得到了一些不錯的研究成果。

本文將控制與調度共同設計的方法分為兩類：控制與調度的聯合設計和控制與調度的耦合設計［9］。在控制與調度的聯合設計中，控制器和調度器是獨立設計的，相互之間沒有耦合關系，這在人們對控制與調度的認識還處于初步階段時多采用此方法，如文獻［10-11，26］。在控制與調度的聯合設計中，控制系統中雖然引入了調度策略，系統的性能在一定程度上也得到了改善，但通常認為所采用的調度策略能對控制算法的執行時間、任務響應時間等進行預測。由于網絡控制系統中存在著不確定性因素，如隨機時延、丟包等，致使調度算法很難對任務的執行時間做出準確的估計。因此，在設計控制器的過程中需要兼顧調度策略，控制與調度的耦合設計就是在此基礎上發展起來的。控制與調度的耦合設計是一種同時考慮控制與調度之間的相互影響并最大限度地發掘各自的優勢而進行設計的策略，如文獻［12-22］。本文所提出的方法屬于后者，在這類設計中，由于調度策略的設計考慮了控制系統的性能，控制器的設計又結合了調度策略，因此更能體現控制與調度之間的相關性，這樣設計出來的NCS運行起來比前者更有效率，從而對整個NCS性能的提高有所裨益。

在NCS中首先得到應用的是非搶先的速率單調（ratemonotonic，RM）調度算法［10］，此算法是把實時任務周期與在穩定前提下最差情況的傳輸周期相對應，使得實時任務的計算時間與信息傳輸時間相對應。后來，Branicky M S等人將RM調度算法應用到多個控制子系統的調度上，并研究了RM調度與NCS穩定性約束下的最優調度問題［23］。在文獻［11］中，作者將預測控制和RM調度進行了聯合設計，并提出了一種擴展的RM調度算法，此調度算法的適用范圍更加廣泛。近來，Woo K S和Yang JM還將RM調度算法應用于具有任意周期的多任務實時系統的檢測點部署問題［24］。為了描述系統的輸入和輸出之間的資源分配情況，Brockett R于1995年提出了通信序列（communication sequence）的概念。后來，很多研究者便基于此概念進行了控制與調度算法的耦合設計。Zhang L和Hristu-Varsakelis D研究了一種將控制和通信序列相結合的耦合設計方法，在此方法中，通信序列是周期性的并且沒有考慮時延帶來的影響［12-13］。在進一步的工作中，他們將時延的影響考慮進來并進行了控制與調度的耦合設計，只不過這里的時延是常時延［14］。Henrik R和Martin S研究了帶有有限帶寬的采樣數據系統的最優控制問題，通過優化線性二次（linear quadratic，LQ）性能指標得到最優的離線周期調度序列，并借助標準的LQ理論設計了與調度序列對應的控制器［15］。由于周期的調度序列會給系統的分析和設計帶來保守性，Guo G等人基于切換系統理論對存在隨機時延、媒質接入約束、丟包和量化的網絡控制系統進行了分析和設計，提出了更加一般化的動態通信序列設計方法，減小了系統分析和設計的保守性［16］。在文獻［16］中，作者僅考慮網絡存在于前向通道（即控制器到執行器）的情況，而在實際的NCS設計中，網絡不僅存在于前向通道，也存在于反向通道（即傳感器到控制器）中；此外，由于信道帶寬的限制，一個數據包的大小超過了網絡分配給此系統的帶寬時，單個數據包就需要拆分成多個數據包進行傳輸。文獻［17］就考慮了網絡既存在于前向通道又存在于反向通道且數據包進行多包傳輸的情況；同時作者注意到若將［16］的方法直接推廣到多包傳輸的情形會產生很多松弛變量，這就加大了系統設計的保守性。文獻［17］采用一種模型變換技術和改進的Lyapunov-Krasovskii泛函對存在時變時延、丟包、媒質接入約束和多包傳輸的NCS進行了動態輸出反饋和調度的耦合設計，所得到的結果具有更小的保守性。為了克服周期調度序列帶來的保守性，文獻［18］提出了一種靜態調度與動態調度相結合的設計方法。在前向通道和反向通道皆存在網絡且網絡中存在時變時延的情況下，分別設計使系統能控、能觀的調度序列集和使系統可鎮定的輸出反饋控制器，然后通過最小化給定的性能指標在線地選取控制器與調度序列的組合，此方法提高了整個系統的性能和設計的靈活性。文獻［19］將研究擴展到了傳感器和執行器采用Markov形式的隨機事件驅動方式的具有時延、網絡同時存在于前向通道和反饋通道的NCS中，作者采用了一個新的Lyapunov-Krasovskii泛函對被控對象中含有不確定性的NCS進行了穩定性分析和控制器設計。文獻［20］將通信序列和保持設備（hold device）應用于線性時不變的被控系統中，將其建模為具有更高階的omega-period系統，并進行了穩定性分析。文獻［21］研究了NCS中的魯棒離線調度問題，利用快速隨機算法（fast stochastic algorithms）找到使其L-2增益范數最小的周期通信序列。在文獻［22］中，作者研究了靜態通信序列下隨機線性系統的可觀測性問題，并分析了使系統保持可觀測的通信序列的存在性。

在現有的網絡中，應用層以下的調度協議都是固定的，用戶沒有權限對其進行修改。因此，一些學者就考慮在應用層上進行調度算法的設計，基于優先級的調度便是其中的一類。在文獻［25］中，作者提出了大誤差優先（large error first，LEF）的調度策略，在每一個任務周期內，調度器都將系統的輸出與期望值進行比較，誤差大的系統優先獲得接入網絡的權限。Walsh G C和Hong Y將所提出的最大誤差優先（maximum error first，MEF）調度算法與嘗試一次丟棄（try once discard，TOD）協議整合在一起，提出了最大誤差優先-嘗試一次丟棄MEF-TOD調度算法［26］。此算法把系統的當前狀態與上一時刻的狀態進行比較，具有最大偏差的狀態獲得優先調度，而那些沒有獲得調度的狀態將被當前的狀態所代替，即零階保持器（zero-order holder，ZOH）中保存的永遠都是系統最新的狀態值。文獻［27］將基于優先級的調度與通信序列的方法相結合，提出了基于MEF-TOD和通信序列的控制與調度耦合設計算法。

本文在MEF-TOD及其通信序列概念的基礎上提出了LSLS算法。在每一個采樣周期內，LSLS調度器都會將調度序列所確定的系統的當前狀態與理想動態的狀態進行比較，具有較大方差的狀態優先獲得接入網絡的權限。本文的主要貢獻如下：將具有隨機短時延和媒質接入約束的NCS建模為隨著調度信號進行切換的切換系統，詳細討論了調度器的結構、工作原理和實現問題；然后利用所提出的LSLS算法并結合Lyapunov穩定性理論和LMI方法進行了控制與調度的耦合設計，此方法的好處在于借助內點法可以找到保證系統穩定的全局最優解。最后，將本文所提出的耦合設計算法與文獻［27］中的算法進行了仿真對比，并對仿真結果進行了分析。

1 具有隨機短時延和媒質接入約束的系統模型

假定NCS中的被控對象可以用式（1）的線性時不變狀態方程描述為

其中：x（t）∈Rn，u（t）∈Rm分別表示系統的狀態和控制輸入。A，B為具有適當維數的定常矩陣。

圖1 具有媒質接入約束的NCS示意Fig.1 Diagram of NCSw ith medium access constraint

一般情況下，具有媒質接入約束的NCS的結構如圖1所示。其中：x（k）=（x1（k），x2（k），…，xn（k））∈Rn表示 k時刻系統的狀態；（k）=（（k），…，（k））∈Rn表示k時刻經網絡傳輸后系統的狀態，此狀態將會作為控制器的輸入值；u（k）=（u1（k），u2（k），…，um（k））∈Rm表示k時刻控制器的輸出；（k）=（（k），（k），…，（k））∈Rm表示k時刻執行器的輸入值；δ（k）=（δ1（k），δ2（k），…，δn（k））∈Rn表示k時刻傳感器輸出端的調度向量，其中δi（k）∈{0，1}，（i=1，2…n）。（δi（k）=1表示在k時刻調度器允許第i個傳感器接入網絡，δi（k）=0表示在k時刻調度器不允許第i個傳感器接入網絡）。類似的，σ（k）=（σ1（k），σ2（k），…，σm（k））∈Rm表示k時刻控制器輸出端的調度向量，其中σj（k）∈{0，1}，（j=1，2，…，m）（σj（k）=1表示在k時刻調度器允許第j個控制信號可以通過網絡傳輸，σj（k）=0表示在k時刻調度器不允許第j個控制信號通過網絡傳輸）。表示k時刻傳感器到控制器的時延，表示k時刻控制器到執行器的時延。

為了便于描述，作如下假設：

1）假定網絡只存在于傳感器與控制器之間，控制器與被控對象是集成在一起的。這種假設是合理的，例如，車載控制系統［28］，量化器設計［29］，無線NCS［30］等。

2）傳感器節點采用時間驅動方式，采樣周期為T，控制器和執行器采用事件驅動方式。

3）網絡誘導時延τk=是時變不確定的且小于一個采樣周期，即：τk∈（0，T）。此假設是成立的，如在多機器人系統中，由于機器人之間傳輸的信息量少且距離較短，其時延小于一個采樣周期［31-33］。

4）由于受到媒質接入約束的限制，在每一個采樣周期內至多有d（0＜d≤n）個狀態量可以接入網絡。

5）對于在k時刻沒有獲得接入權限的狀態量，控制器將會使用存儲于ZOH中的上一時刻的狀態量。

在完成了上述假設以后，圖1所示的具有媒質接入約束的NCS可以簡化為圖2所示的系統。

圖2 具有媒質接入約束的NCS的簡化示意Fig.2 Simplified diagram of NCSw ith medium access constraint

此時，系統的離散化狀態方程可以寫為

到目前為止，具有隨機短時延的網絡控制系統（2）可以等效為具有不確定參數的離散時間模型：

為了更加精確地描述具有媒質接入約束的NCS，需要將媒質接入的實際情形在系統模型中予以體現；也就是說，要將調度矢量δ（k）融合到系統模型（3）中。在以狀態方程描述的系統模型中，系統的增益往往以矩陣的形式體現；為此，令Λ（k）= diag（δ（k）），其中，diag（·）是一個用于構造對角矩陣的函數，它把自變量的值依次排列在對角線上，而非對角線上的元素則全部為零。那么，k時刻傳感器的測量值（系統狀態）在經過調度矢量δ（k）調度后，控制器端的輸入值可以表示為k）=Λ（k）x（k）；沒有獲得調度的狀態值則使用ZOH中的值（上一時刻的值k-1））。因此，控制器的輸入可以表示為

調度矢量δ（k）∈Rn表示在第k個采樣周期內哪些傳感器節點獲得接入網絡的權限。由于存在媒質接入約束，在每一個采樣周期內，只允許d個狀態量可以接入網絡；因此，δ（k）共有N==n!/［d!（n-d）!］種組合方式。很明顯，δ（k）是在具有N個元素的集合Ω中取值的向量。為了表示方便，定義一一映射：X：δ（k）∈Ω→ρ（k）∈Γ={1，2，…N}。在映射X中δ（k）與ρ（k）是一一對應的；為了方便起見并且不引起混淆的情況下，后文中用ρ代替ρ（k）。每一個ρ都反應了系統的一種形態，把這種形態稱之為模態。由于Λ（k）是由δ（k）轉化而來，因此δ（k）也將與Λ（k）一一對應。又由于δ（k）與ρ之間的一一映射關系，所以Λ（k）與ρ一一對應，于是可以將Λ（k）記為Λρ（k）。

至此，綜合式（3）、式（4），具有隨機短時延與媒質接入約束的開環NCS可以用模型（5）描述：

再考慮如式（6）的離散狀態反饋控制器：

綜合式（5）、式（6），具有隨機短時延與媒質接入約束的閉環NCS可以用廣義離散模型（7）加以描述：

選取增廣向量z（k）=［xT（k）k-1）］T，式（7）可以用增廣離散時間模型（8）表示：

其中，

由式（9）可知，具有隨機短時延與媒質接入約束的閉環NCS可以建模為以ρ為切換信號的切換系統。此系統的穩定性不僅與控制增益矩陣Kρ有關，還取決于切換信號ρ，而切換信號ρ又由調度矢量δ（k）決定。因此，需要進行控制與調度的耦合設計以確保系統（9）的穩定性。

2 類最小二乘調度

第1部分中已經假定在每個采樣周期內共有d個狀態量可以接入網絡，那么如何確定系統的n個狀態量中哪些狀態（d個）可以接入網絡呢？這種確定狀態量接入網絡的準則就是本節介紹的調度策略。

2.1 調度器結構及工作原理

所提出的LSLS調度器的基本思想是：將不受媒質接入約束的系統動態稱之為理想動態，在此動態下，用某種控制器設計方法計算出控制增益矩陣；在每一個采樣周期內，理想動態會根據所計算出的控制命令進行一步更新；傳感器端采集的狀態值先傳給調度器，調度器會把每一個δ（k）作用下的狀態與理想模型的狀態進行方差計算，選擇方差較大的狀態調度矢量δopt（k）作為此周期內的狀態調度命令。帶有LSLS的NCS結構如圖3所示。

圖3 LSLS結構Fig.3 Structure of LSLS

下面對LSLS調度器的工作原理進行進一步闡釋：具有隨機短時延而沒有媒質接入約束的NCS模型如式（2）所示，根據本節第一段的描述，式（2）就是所定義的理想動態。假定此模型下的控制增益矩陣為Kopt∈Rn×m；在第k個采樣周期內，理想動態（2）的狀態量為xopt（k）∈Rn；使用式（6）形式的離散狀態控制器，那么，此周期內的控制命令為uopt（k）=Kopt·xopt（k）∈Rm，uopt（k）將作用于式（2）的系統方程以得到第k+1時刻的系統狀態量xopt（k+1）。在得到了理想動態的狀態和控制命令以后，接下來就要開始確定調度策略了。

在第k個采樣周期內，假定被控對象的實際狀態量為xr（k）∈Rn，在不同的狀態調度矢量δ（k）下的狀態可以表示為Λρxr（k）∈Θ，把Θ稱之為調度狀態候選集，而把它的元素稱之為調度狀態。LSLS的目的就是在狀態候選集合Θ中選取使得系統性能最優的那個，即確定ρ的值。LSLS調度器S可以用下式描述：

其中，arg（·）表示索引函數。從式（10）可知，ρopt的值即是使得此方差最大的ρ。在確定了調度向量以后，最優狀態Λρoptxr（k）將通過網絡傳送給控制器。至此，調度器S完成了在第k個采樣周期中的工作。

從調度器的設計過程來看，調度算法的設計與控制系統的性能是息息相關的。LSLS調度算法用公式（10）描述，由公式（10）可知調度策略取決于實際被調度狀態與理想狀態之間的方差，方差最大者獲得接入網絡的權限。在控制系統中，若實際系統狀態與理想狀態的方差越大，則越需要進行控制；否則，這些狀態會由于沒有得到及時控制而使系統性能變差，甚至導致系統不穩定。

2.2 調度器實現

在實際應用中，通常需要考慮兩個比較重要的問題：調度器的拓撲與觸發方式。所提出的LSLS調度器被放置在傳感器與網絡之間，采用一個中心調度器調度整個網絡中的傳感器節點的信息。所有傳感器節點采集的數據都要先發送給調度器，然后由調度器決定哪些傳感器可以接入網絡。那些沒有被傳輸的傳感器的測量值被保存于調度器的ZOH（寄存器）中，如果下一個時刻此傳感器還是沒有獲得接入網絡的權限，ZOH中的值將會被離這個時刻最近的前面的測量值所代替；這樣，ZOH中保存的永遠都是最新的測量值。這么做是很有意義的，因為最新的系統測量值才最能體現系統當前的運行狀況。

通常調度器的觸發方式有時間觸發和事件觸發兩種方式。時間觸發方式設計起來較為簡單，但資源利用率不高；事件觸發方式設計起來較為復雜，對硬件的要求較高，當然效率也會更高一些。為了簡單起見，采用的調度器采用時間觸發的方式。既然是時間觸發，那么必然要考慮觸發時間的選擇問題，觸發時間的選擇應該既不會浪費太多的內存資源，又要考慮整個系統的效率。文中考慮的傳感器節點皆采用時間驅動方式且是同步采樣的，因此本調度器的觸發周期選擇為T；這樣，調度器就可以與傳感器節點同步起來。此外，調度器也可以選擇為事件觸發方式，待所有的傳感器測量值到達調度器以后，調度器便開始工作。顯然后一種方式更有效率，不像時間觸發方式那樣需要等待周期時鐘的觸發。

3 控制與調度的耦合設計

3.1 穩定性分析

為了進行穩定性分析，首先給出如下兩個引理。

引理1（Schur補引理）［35］對于給定的對稱矩陣X，并且可以寫為分塊矩陣形式為

其中，A和C是對稱非正定的方陣，那么以下的3個條件是等價的：①X是負半定的；②C≤0，ABCX-1BT≤0；③A≤0，C-BTA-1B≤0。

引理2［36］設W、M、N和F（k）為具有適當維數的實矩陣，其中F（k）滿足FT（k）F（k）≤I，W為對稱陣。則

當且僅當存在常數ε＞0，使得接下來對具有隨機時延和媒質接入約束的NCS進行穩定性分析。

定理1對于系統（8），在狀態調度矢量δ（k）的作用下，若存在對稱正定矩陣P使得不等式（11）

成立，則閉環NCS是漸近穩定的。

證明選取離散Lyapunov函數V（z（k））= zT（k）Pz（k），那么

由Lyapunov穩定性理論可知，若使系統（8）漸近穩定，需滿足ΔV（z（k））＜0，也即-P＜0。由引理1條件③，-P＜0與（11）等價。證畢。

3.2 含有調度序列的控制器設計

由于式（11）中的Φρ含有不確定項F（τk'），因此定理1的結論很難直接應用于控制器的設計，需要把此不確定項做進一步的處理（見定理2）。

定理2對于系統（8），在狀態調度矢量δ（k）的作用下，若存在對稱正定矩陣X，狀態反饋增益矩陣Kρ，以及一組標量ερ＞0，ρ∈Γ，使得矩陣不等式（12）：

成立，則閉環NCS（8）是漸近穩定的，其中“*”表示對稱矩陣塊。

證明將式（9）代入式式（11），經變換得式（13）：

由引理2，式（13）可轉換為式（14）

由引理1條件③，對式（14）作兩次變換后可得式（15）：

令X=P-1，將上式分別左乘、右乘diag（I X I），則得式（12）。證畢。

由于式（12）是關于Kρ與X的雙線性矩陣不等式，現有的方法無法對其直接進行求解。令Yρ= KρΔρX，式（12）就變成了線性矩陣不等式。在將式（12）轉化為線性矩陣不等式以后，就可以采用內點法求得其全局最優解。由于目前Matlab中的LMI工具箱多采用內點法求取線性矩陣不等式，因此借助此工具箱可以很方便地求得可行解Yρ與X。因為Yρ=KρΔρX，所以Kρ=YρX-1（Δρ）+，其中（Δρ）+表示廣義逆，可以用Matlab函數pinv（）進行求解。這樣，便得到了控制增益矩陣Kρ。

控制增益Kρ的值與切換信號ρ的值是一一對應的，而切換信號ρ又由調度矢量δ（k）決定。因此，Kρ與δ（k）是一一對應的。也就是說，Kρ的計算離不開δ（k）。由于ρ∈Γ={1，2，…，N}，所以，可以得到N個Kρ。在每個采樣周期內，ρ的值由所提出的調度算法決定，即式（10）。又由于Kρ的值與切換信號ρ的值是一一對應的，所以，此采樣周期內所要使用的控制增益Kρ也被確定了下來。至此，完成了控制與LSLS調度的耦合設計。

需要說明的是，在定理2的式（12）中，P矩陣是固定的，這是由所采用的公共Lyapunov函數的方法決定的，但P矩陣的求取則與調度ρ有關。具體來講，P矩陣的求取依賴于增廣矩陣Δρ，Δρ則依賴于矩陣Λρ，并且Λρ由調度矢量δ（k）經對角化所得，而δ（k）則與調度ρ是一一對應的，因而矩陣P就與調度ρ建立了聯系。在進行控制與調度的耦合設計中，矩陣P起到了橋梁的作用，一旦調度ρ確定，由公共Lyapunov函數法可知（文中選擇V（z（k））= zT（k）Pz（k）為Lyapunov函數），公共Lyapunov函數的矩陣P也確定了。例如，在有5種切換模態的系統中，即ρ={1，2，3，4，5}。對于每一個模態，都可以建立如式（12）形式的LMI，一共可以建立5個LMI，通過聯合求解這5個LMI，得到矩陣P。最終目的是建立控制器與調度策略之間的關系，在求得公共Lyapunov函數的矩陣P以后，通過公式Kρ= YρX-1（Δρ）+便可以得到控制器的增益Kρ。控制器增益Kρ的計算與增廣矩陣Δρ有關，而Δρ與調度ρ一一對應，因而控制器增益Kρ與調度ρ一一對應。例如，在有5種切換模態的系統中，ρ=1對應K1、ρ =2對應K2…ρ=5對應K5，而調度ρ的選取則由具體的調度策略決定，文中調度ρ是由LSLS確定的。所以，控制器增益Kρ便與調度序列建立了一一對應關系。總之，控制器的設計離不開公共Lyapunov函數的矩陣P，它架起了控制與調度耦合設計的橋梁。

在2.1節中，LSLS調度器是在考慮了系統性能的基礎上進行設計的，而從3.2節控制器的設計過程可以看出，控制器的設計又依賴于所選擇的調度算法。因此，所設計的控制與調度是耦合在一起的。

4 仿真示例

為了從原理上驗證本文所提出的LSLS算法與控制的耦合設計的有效性，此部分僅選取一個簡單的二維系統的例子進行仿真驗證。假定NCS中被控對象的狀態方程為

設傳感器的采樣周期T=0.2 s，根據第1部分的假設條件3）可知，系統時延應滿足τk∈［0，0.2］，且是時變不確定的。對系統（16）進行離散化，可得到形如式（3）的離散時間狀態方程，其中：

由于存在媒質接入約束，在每個采樣周期內只有部分傳感器可以接入網絡。假定在每個采樣周期內只允許一個傳感器可以接入網絡，即第1部分假設4）中的d=1。因此，系統共有N=2種模態，進而得知δ（k）={［1 0］，［0 1］}，ρ={1，2}。在調度策略確定以后，根據系統增廣模型（8）和定理2，就可以得到對應ρ=1和ρ=2的公共Lyapunov函數矩陣P為

利用Kρ=YρX-1（Δρ）+，可得每種模態下的控制增益為：當ρ=1時，K1=［-4.279 8 0.807 5］；當ρ=2時，K2=［-0.098 5 -1.658 7］。至此，控制器的增益與調度序列就建立了一一對應關系。當調度序列選為ρ=1時，控制器切換到增益K1；當調度序列選為ρ=2時，控制器切換到增益K2，而如何選擇調度序列則由所提出的LSLS算法決定。由于LSLS算法需要理想動態（2）的狀態量xopt（k），因此必須得到Kopt。令δ（k）=［1 1］，根據定理2即可得到Kopt=［-1.437 6 -0.843 1］。假定初始狀態為x（0）=［-1 1］T，系統的隨機時延如圖4所示，狀態響應如圖5所示。

圖4 系統隨機時延Fig.4 Random delay of NCS

圖5 系統的狀態響應Fig.5 State response of NCS

從圖5可以看出，所提出的LSLS與控制的耦合設計算法在控制性能上超過了文獻［27］中的MEF -TOD調度與控制的耦合設計算法。在LSLS調度下，x1和x2大約需要15 s收斂到平衡點。而在MET-TOD調度下，x1和x2則大約需要38 s才收斂到平衡點。因此，不管是使用MEF-TOD調度與控制的耦合設計算法還是LSLS與控制的耦合設計算法都能使系統穩定，但后者的控制性能在很大程度上優于前者。

造成以上結果的最主要原因是兩種調度算法的設計思想不同。具體來講，MEF-TOD調度算法關注的是相鄰時刻狀態的變化，即當前時刻的狀態與上一時刻的狀態之間的偏差。最終，偏差較大的狀態獲得接入網絡的權限。而LSLS算法則關注的是當前時刻的狀態與最優狀態之間的關系，即當前時刻的狀態與理想動態的狀態之間的偏差，方差最大者獲得接入網絡的權限。也就是說，LSLS調度算法在設計上已經考慮了系統的最優性能，并且每次獲得調度的狀態都是與理想動態的狀態的方差較大者。因此，其性能才會優于MEF-TOD調度算法。

MET-TOD調度序列如圖6所示，LSLS調度序列如圖7所示，其中縱坐標的1，2表示采用的切換序列，即ρ=1和ρ=2。注意，這里的1和2不是指幅度值，而是指系統的模態。從以上兩個調度序列圖中可以看出，采用LSLS算法的調度器的切換頻率大于采用MET-TOD調度算法的調度器的切換頻率。因此，可以認為LSLS算法相較于METTOD調度算法會增加切換設備的負擔。

圖6 M ET-TOD調度序列Fig.6 Scheduling sequence of MEF-TOD

圖7 LSLS調度序列Fig.7 Scheduling sequence of LSLS

綜上所述，所提出的LSLS調度與控制的耦合設計在控制性能上優于MEF-TOD調度與控制的耦合設計方法，但LSLS調度算法卻會消耗更多的系統資源。任何算法都不是十全十美的，評價一個算法的好壞要將其放到特定的環境中。有些算法在某些條件下會表現出比較好的性能，而在某些條件下，其性能則有可能會比較差。正如所提出的LSLS算法所表現的那樣，雖然其控制性能好于MEF-TOD調度算法，卻是以增加切換設備的負擔為代價的。

5 結 論

在具有網絡隨機誘導時延和媒質接入約束的NCS中，為了合理地調度網絡節點以保證系統達到穩定，本文提出了一種新的調度算法——LSLS算法，并且在此基礎上進行了LSLS與控制的耦合設計。文中不僅詳細地分析了LSLS調度器的結構和工作原理，還討論了其實現問題。然后，將具有網絡隨機誘導時延和媒質接入約束的NCS建模為按照調度信號進行切換的切換系統，利用Lyapunov穩定性理論和LMI方法進行了穩定性分析和控制器設計，得到了控制器的增益與調度序列的一一對應關系；此方法的好處在于借助內點法可以找到保證系統穩定的全局最優解。最后，將LSLS與控制的耦合設計算法與MEF-TOD調度與控制的耦合設計算法進行了仿真比較，并對仿真結果的差異及其原因進行了分析。結果表明，本文所提出的LSLS與控制的耦合設計方法的控制性能優于MEF-TOD調度與控制的耦合設計方法。

值得一提的是，由于網絡誘導時延的隨機性，理想動態（2）中的時延很難與實際系統中的隨機時延相一致，這在一定的程度上增大了此算法的保守性。這將是我們的后續工作所要考慮的問題。

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（編輯：劉素菊）

Coup ling design of least-square-like scheduling and control

ZHAO Shun-li1，YIN Xun-he1，WEIXue-ye1，ZHANG Hong2

（1.School of Electronic and Information Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China 2.Beijing Municipal Engineering Professional Design Institute Co.Ltd，Beijing 100037，China）

First，a new scheduling scheme called least-square-like scheduling（LSLS）scheme，which combines priority-based scheduling with communication sequence（or scheduling sequence），was proposed.Measurements from sensors were sent to LSLS scheduler in each sampling period，and then the scheduler was compared with themeasurements determined by the scheduling sequence of LSLSwith the states of the ideal dynamics which are determined by the same sequence.The variances between actual states and ideal stateswere hence calculated.In this context，the states corresponding to the scheduling sequence of bigger variance gained the access to network.Second，the networked control system withmedium access constraint and short random delay wasmodeled as a switched system that switches according to the scheduling sequence.The stability was analyzed and the coupling design of control and scheduling was completed by Lyapunov stability theory and linear matrix inequalities（LMI）method.Finally，the control performance of the proposed coupling design of LSLSand control is demonstrated by simulation.It is shown that the control performance of the proposed coupling design algorithm is better than the one of the coupling design ofmaximum error firstwith try once discard（MEF-TOD）scheduling and control.

networked control systems；least-square-like scheduling；short random delay；lyapunov stability；linearmatrix inequalities

10.15938/j.emc.2015.10.016

TP 272

A

1007-449X（2015）10-0107-10

2015-01-14

國家自然科學基金（61172022）

趙順利（1984—），男，博士研究生，研究方向為網絡化控制系統；尹遜和（1966—），男，教授，研究方向為智能電網中的通信與控制、網絡控制系統理論與應用、控制理論在網絡通信中的應用；魏學業（1963—），男，教授，博士生導師，研究方向為再生能源技術，測量與過程控制，智能控制理論與技術，物聯網技術及其應用；張 紅（1968—），女，經濟師，研究方向為基于網絡的工程檔案管理、網絡經濟。

尹遜和